基于“幾何畫板”的四類平均數(shù)的再探究*

甘肅省通渭縣第二中學(xué)(743300)吳昱 王宗藩

1 引言

2020 年1 月,教育部頒布《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見》(教學(xué)[2020]1 號(hào)),也稱“強(qiáng)基計(jì)劃”,旨在選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生.數(shù)學(xué)學(xué)科是強(qiáng)基計(jì)劃的首選科目.因此,“強(qiáng)基計(jì)劃”必然對(duì)基礎(chǔ)教育改革產(chǎn)生影響,如何在高中數(shù)學(xué)的常態(tài)教學(xué)中,培養(yǎng)有志于參加強(qiáng)基計(jì)劃招生的學(xué)生,就成為數(shù)學(xué)教師思考的新課題.北京師范大學(xué)教育學(xué)部喬錦忠博士認(rèn)為:“無論是優(yōu)質(zhì)學(xué)校,還是普通學(xué)校都要加強(qiáng)基礎(chǔ)學(xué)科課程、課例和教學(xué)法的研究,盡快開發(fā)出能指導(dǎo)廣大師生按照新要求開展教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的范例[1],”數(shù)學(xué)探究活動(dòng)就是一種綜合實(shí)踐活動(dòng),是新時(shí)代數(shù)學(xué)教育倡導(dǎo)的重要主題,具體表現(xiàn)為:“發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題,猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論,提出解決問題的思路和方案,通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論[2].”根據(jù)學(xué)生已學(xué)過的知識(shí)內(nèi)容,適時(shí)地布置具有實(shí)踐性、綜合性、探究性的開放性作業(yè),并給予一定程度的點(diǎn)撥、輔導(dǎo),有利于學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變和科研意識(shí)的養(yǎng)成,是基礎(chǔ)教育階段培養(yǎng)數(shù)學(xué)拔尖人才的有效舉措.圍繞某一主題,若能借助信息技術(shù)開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行探究活動(dòng),不僅使他們獲得“四基”、提升“四能”,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),而且提高了實(shí)踐能力,創(chuàng)新意識(shí)以及信息技術(shù)素養(yǎng).

圖1

算術(shù)、幾何、調(diào)和、平方平均數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中都會(huì)涉及,而且在不同版本教材的“基本不等式”內(nèi)容中都有不同程度的呈現(xiàn),如蘇教版教材在章末復(fù)習(xí)題中“探究·拓展”欄目給出了四類平均數(shù)大小的梯形模型:“如圖1,ABDC為梯形,其中AB=a,CD=b,設(shè)O為對(duì)角線的交點(diǎn),GH表示平行于兩底且與它們等距離的線段(即梯形的中位線),KL表示平行于兩底且使梯形ABLK與梯形KLDC相似的線段,EF表示平行于兩底且過點(diǎn)O的線段,MN表示平行于兩底且將梯形ABDC分為面積相等的兩個(gè)梯形的線段[3]”.

調(diào)和平均數(shù)有現(xiàn)實(shí)背景,如汽車從甲地到乙地行駛的速度為a,從乙地到甲地行駛的速度為b,則汽車從甲地到乙地,又從乙地返回到甲地的平均速度是調(diào)和平均數(shù).另外,“概率與統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容中的“標(biāo)準(zhǔn)差”其實(shí)就是n個(gè)“距離”(絕對(duì)離差)的平方平均數(shù).

問題:在四類平均數(shù)有序性的基礎(chǔ)上,分別計(jì)算它們由大到小的遞差、遞商以及不能輕易判斷大小關(guān)系的兩組不同平均數(shù)的和或積,能否發(fā)現(xiàn)恒成立的不等關(guān)系?

下面立足于數(shù)學(xué)研究的實(shí)驗(yàn)歸納和演繹論證兩個(gè)側(cè)面,先利用“幾何畫板”對(duì)提出的問題進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究,再將探究結(jié)果用基本不等式予以證明.

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)想

利用“幾何畫板”作出表示四類平均數(shù)大小關(guān)系的半圓模型,將代數(shù)問題幾何化,借助軟件“度量”、“計(jì)算”、“動(dòng)畫”等功能開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)變化中的不變性,提出猜想,最后嘗試證明.

3 實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備

圖2

不等式中的四個(gè)代數(shù)式從左到右依次稱為兩個(gè)正數(shù)a,b的調(diào)和、幾何、算術(shù)、平方平均數(shù).在算術(shù)平均數(shù)為定值的情況下,隨著|a-b|的增大,平方平均數(shù)也增大,而調(diào)和、幾何平均數(shù)在減小.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及論證

4.1 四類平均數(shù)由大到小“遞差”的探究

圖3

可見,“基本不等式”中涉及的算術(shù)、幾何平均數(shù)的差最大,而幾何、調(diào)和平均數(shù)的差最小.

4.2 四類平均數(shù)有關(guān)“和”的結(jié)論

由實(shí)驗(yàn)一的結(jié)論,可得到如下兩個(gè)恒成立的不等式:

即較大的平方平均數(shù)與較小的調(diào)和平均數(shù)的和不小于夾在它們之間的算術(shù)、幾何平均數(shù)的和;兩個(gè)正數(shù)的平方平均數(shù)與幾何平均數(shù)的和不大于它們自身的和.

4.3 四類平均數(shù)“積”的探究

四類平均數(shù)中,調(diào)和平均數(shù)最小,平方平均數(shù)最大,那么,這二者的積與夾在它們之間的算術(shù)、幾何平均數(shù)的積,孰大孰小?

圖4

圖5

4.4 四類平均數(shù)“商”的探究

四類平均數(shù)由大到小的“相互數(shù)量之比”有又有什么變化規(guī)律?

圖6

在如圖7 的“鄭爽弦圖”中,正方形EFGH(外大方)的面積與其內(nèi)部8 個(gè)直角三角形的面積(朱實(shí))之比不小于正方形ABCD的面積(弦實(shí))與其內(nèi)部4 個(gè)直角三角形面積之比的算術(shù)根.

圖7

5 結(jié)束語

信息技術(shù)是一種認(rèn)知工具,延伸了大腦的思維,改進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式.它強(qiáng)大的作圖、度量、計(jì)算、動(dòng)畫、數(shù)據(jù)處理工具,使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)得到形象化的、動(dòng)態(tài)的表示,成為“可視化”的對(duì)象,借助信息技術(shù)進(jìn)行“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”,使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程,“看出”概念之間的聯(lián)系,發(fā)現(xiàn)一些新的結(jié)論,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究從實(shí)驗(yàn)歸納到演繹論證的過程.因此,信息技術(shù)是為學(xué)生開啟數(shù)學(xué)之門并進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的金鑰匙.給學(xué)生布置探究性課題,教師必須胸有成竹.本案例的幾何畫板操作并不復(fù)雜,只要適時(shí)點(diǎn)撥,講清楚實(shí)驗(yàn)的基本思路,學(xué)生是完全能夠獨(dú)立完成探究內(nèi)容的.另一方面,探究結(jié)果的證明除了應(yīng)用不等式的性質(zhì)及必要的代數(shù)運(yùn)算,關(guān)鍵步驟還是基本不等式的運(yùn)用,所以是學(xué)生學(xué)習(xí)了“基本不等式”之后開展探究活動(dòng)的一個(gè)案例.