三分思想,精準(zhǔn)突破
——高考中導(dǎo)數(shù)的恒成立問(wèn)題

廣東省梅州市平遠(yuǎn)縣教師發(fā)展中心(514699)余平

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出導(dǎo)數(shù)思想豐富,內(nèi)涵深刻,應(yīng)用廣泛,對(duì)學(xué)生的直觀想象,邏輯推理,數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)進(jìn)行了有效的考查.恒成立問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中常見(jiàn)的問(wèn)題,涉及到函數(shù)的性質(zhì),圖象,滲透著分類(lèi)討論思想、函數(shù)與方程的思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想等思想方法[1].恒成立問(wèn)題在高考中頻頻出現(xiàn),是高考的一個(gè)重難點(diǎn)、熱點(diǎn)問(wèn)題.此類(lèi)問(wèn)題既含參數(shù)又含變量,可以考察學(xué)生的思維能力,和對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通的情況.結(jié)合高考題,各地模擬試題及課堂教學(xué)實(shí)例,對(duì)恒成立問(wèn)題的處理策略,加以梳理總結(jié)如下:

1 分離參數(shù),最值轉(zhuǎn)化

恒成立的問(wèn)題,若能將式中的參數(shù)分離出來(lái),就可以把求參數(shù)范圍的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題[2],“山重水復(fù)疑無(wú)路,柳暗花明又一村”,從而使問(wèn)題迎刃而解.

例1若函數(shù)f(x)=a(x2-x)-lnx,(a∈R).

(1)若f(x)在x=1 處取得極值,求a的值.

(2)若f(x)≥0 在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.

分析(1)a=1.

2 分離函數(shù),數(shù)形結(jié)合

著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生,曾對(duì)數(shù)形結(jié)合思想,有過(guò)精彩入理的論述:數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬(wàn)事休! 恒成立問(wèn)題中,沒(méi)有辦法分離出參數(shù),這時(shí)候,我們可以考慮分離出兩個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),進(jìn)行數(shù)形結(jié)合.

說(shuō)明利用“分離函數(shù)”方法的關(guān)鍵是:構(gòu)造的兩個(gè)函數(shù)要恰當(dāng).一般情況下,一個(gè)為定函數(shù),一個(gè)為動(dòng)直線(過(guò)定點(diǎn)的直線系或者是平行直線系).數(shù)形結(jié)合與動(dòng)態(tài)思維相結(jié)合,可以更高效的將數(shù)學(xué)思維和方法傳達(dá)給學(xué)生,使學(xué)生更容易接受和理解,使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的美妙之處.

3 分類(lèi)討論,各個(gè)擊破

恒成立問(wèn)題中若是無(wú)法分離參數(shù)或分離函數(shù),我們可以借助分類(lèi)討論思想.分類(lèi)討論思想是生活中普遍使用的分析解決問(wèn)題的思想,是有序的體現(xiàn).分類(lèi)討論可以簡(jiǎn)化問(wèn)題,分散難點(diǎn),各個(gè)擊破,最終使整個(gè)問(wèn)題得以解決.

說(shuō)明分類(lèi)討論的一般原則:不重不漏.所以分類(lèi)時(shí)需要做到不重復(fù),不遺漏,標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一,分層不越級(jí).

下面我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例子:

例2若函數(shù)f(x)=ex-ax2-x-1,(a∈R).

(1)若a=0 時(shí),求f(x)的單調(diào)性.

(2)若f(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.

解(1)略

(2)法一分離參數(shù)

當(dāng)我們遇到恒成立問(wèn)題時(shí),我們可以從分離參數(shù),分離函數(shù),分類(lèi)討論三種方向去考慮,至于選擇哪一種方法會(huì)比較好,我們具體問(wèn)題具體分析:三分思想,精準(zhǔn)突破,高考中導(dǎo)數(shù)的恒成立問(wèn)題.

恒成立問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是對(duì)參數(shù)的討論,或者是對(duì)變量的討論,涉及的知識(shí)面廣,對(duì)能力要求高,它是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn).同時(shí)體現(xiàn)著在變化中把握不變量的數(shù)學(xué)特征,有利于考察學(xué)生的綜合解題能力,在培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的靈活性,創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用,故而成為高考的熱點(diǎn).若能總結(jié)其變化規(guī)律,掌握解答恒成立問(wèn)題的策略,定會(huì)收到事半功倍的效果.