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    對(duì)一道幾何題的解法探究及思考

    2018-06-26 10:13:42丁堅(jiān)鋒
    關(guān)鍵詞:解法探究最值

    丁堅(jiān)鋒

    [摘 要] 幾何動(dòng)態(tài)中的最值問題是初中生較難解決的一類問題,本文通過對(duì)一道試題多種解法的探究,讓學(xué)生從多個(gè)角度去認(rèn)識(shí)問題,洞悉問題的本質(zhì),使學(xué)生突破思維障礙,開闊思路,激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

    [關(guān)鍵詞] 幾何動(dòng)態(tài);最值;解法探究

    試題呈現(xiàn)

    (2016年江陰市某校月考卷第18題)如圖,Rt△ABC中,AB=AC=4,D為BC中點(diǎn),E是線段AD上任意一點(diǎn),將線段EC繞著點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,得到線段EF,連接DF,則DF的最小值是______.

    解法探究

    1. 利用旋轉(zhuǎn)找相似關(guān)系

    解法1:如圖2,連接CF,BF,延長(zhǎng)BF、AD交于點(diǎn)G.

    因?yàn)榫€段EC繞著點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到線段EF,所以∠ECF=∠EFC=45°.

    由Rt△ABC中AB=AC=4,得∠ABC=∠ACB=45°,所以∠ACE=∠BCF.

    又因?yàn)?,所以△BCF∽△ACE,則∠CBF=∠CAE=45°.

    當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A,點(diǎn)F與點(diǎn)B重合;當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D,點(diǎn)F與點(diǎn)G重合,所以點(diǎn)F在線段BG上運(yùn)動(dòng).

    根據(jù)垂線段最短知,當(dāng)DF⊥BG時(shí),DF的值最小,易求得最小值為2.

    2. 利用旋轉(zhuǎn)找全等關(guān)系

    解法2:如圖3,延長(zhǎng)AD至點(diǎn)H,使DH=CD,過點(diǎn)F作FG⊥AD,交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

    易證△CDE≌△EGF,則FG=ED,EG=CD=DH,所以GH=DE=FG,故∠FHG=45°.

    所以點(diǎn)F在線段BH上運(yùn)動(dòng). (下同解法1)

    解法3:如圖4,過點(diǎn)E作AC的垂線交AC于點(diǎn)G,過點(diǎn)F作FH⊥EG于點(diǎn)H,連接BH.

    易證△CGE≌△EHF,則EH=CG. 由∠GAE=∠AEG=45°得EG=AG,所以HG=AC=AB.

    又因?yàn)锳B∥HG,所以可得四邊形ABHG是矩形,則有∠ABH=∠BHG=90°,故B,H,F(xiàn)共線,∠CBF=45°. (下同解法1)

    解法4:如圖5,在CD上截取DG=DE,延長(zhǎng)AD至點(diǎn)H,使DH=CD,連接EG,F(xiàn)H.

    易證△CDE≌△HDG,則HG=CE=EF,∠DHG=∠DCE=∠FEH,所以EF∥HG,所以四邊形EFHG是平行四邊形,因而FH∥EG,故∠EHF=∠GED=45°. (下同解法1)

    3. 利用函數(shù)描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡

    解法5:如圖6,以BC所在直線為x軸,以AD所在直線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,過點(diǎn)F作FG⊥AD,交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.由△CDE≌△EGF知FG=ED,CD=EG.

    設(shè)F(x,y),則DE=FG=-x,DG=-y,又DG=EG-DE=CD-DE=2+x,所以-y=2+x,即y=-x-2.所以點(diǎn)F在線段y=-x-2(-2≤x≤0)上運(yùn)動(dòng). (下同解法1)

    4. 利用軸對(duì)稱尋找數(shù)量關(guān)系

    解法6:如圖7,連接BE,BF.

    設(shè)∠DCE=α,∠ACE=β,由軸對(duì)稱性知∠EBC=α,∠ABE=β,則∠BEC=90°+2β,∠BEF=∠BEC-∠CEF=2β,∠EBF=90°-β,所以∠DBF=∠EBF-∠DBE=90°-β-α=45°. (下同解法1)

    5. 構(gòu)建函數(shù)求最值

    解法7:如圖8,過點(diǎn)F作FG⊥AD,交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.由△CDE≌△EGF知FG=ED,CD=EG.

    設(shè)FG=x,則ED=x,DG=2-x,由FD2=FG2+DG2得FD2=2(x-)2+4,當(dāng)x=時(shí),F(xiàn)D的最小值為2.

    評(píng)注 筆者將此題作為課外作業(yè)讓學(xué)生去完成,在學(xué)生的解法中出現(xiàn)了解法1、6、7,但用這三種方法解答的學(xué)生不多.有些學(xué)生是用畫圖的方法去猜點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑. 可能是填空題的原因,不少學(xué)生沒有用合情推理或演繹推理的方法去認(rèn)真思考和分析.

    思考

    1. 對(duì)問題的再思考

    與此題類似的試題還有很多,如2012年北京卷第24題:在△ABC中,BA=BC,∠BAC=α,M是AC的中點(diǎn),P是線段BM上的動(dòng)點(diǎn),將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段PQ.

    (1)若α=60°且點(diǎn)P與點(diǎn)M重合(如圖9),線段CQ的延長(zhǎng)線交射線BM于點(diǎn)D,請(qǐng)補(bǔ)全圖形,并寫出∠CDB的度數(shù);

    (2)在圖10中,點(diǎn)P不與點(diǎn)B,M重合,線段CQ的延長(zhǎng)線與射線BM交于點(diǎn)D,猜想∠CDB的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示),并加以證明;

    (3)略.

    這題可以看作是將上題中的90°角作一般化處理,但保留了圖形中的數(shù)量關(guān)系.不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)α確定,點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中,點(diǎn)Q始終在一條直線上運(yùn)動(dòng).

    筆者通過對(duì)比,發(fā)現(xiàn)其中隱藏著一個(gè)本質(zhì)的東西,從中提煉出一個(gè)數(shù)學(xué)模型:如圖11,點(diǎn)P是線段AB的垂直平分線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接BP,將BP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α,則點(diǎn)Q一定是在經(jīng)過點(diǎn)A的直線上運(yùn)動(dòng),若點(diǎn)Q在直線AB下方,則∠BAQ=α;若點(diǎn)Q在直線AB上方,則∠BAQ=180°-α.

    如圖12,連接AP,AQ,結(jié)合三角形內(nèi)角和性質(zhì)不難證明結(jié)論.如果我們重新回到已知,換個(gè)角度看問題,就會(huì)柳暗花明又一村. 如圖13、14,點(diǎn)A,B,Q到點(diǎn)P的距離相等,所以這三個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上,點(diǎn)P是圓心. 由圓周角的性質(zhì)分別可以得出∠BAQ=∠BPQ=α和∠BAQ=(360°-∠BPQ)=180°-α,故點(diǎn)Q一定是在經(jīng)過點(diǎn)A的直線上運(yùn)動(dòng).這兩種方法具有一般性.

    在教學(xué)過程中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過試題的特征分析、對(duì)比、歸類,將所學(xué)的內(nèi)容整理歸納出類型和方法,經(jīng)過加工提煉出有指導(dǎo)價(jià)值與典型結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)學(xué)生模型識(shí)別能力,讓學(xué)生積累良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

    2. 對(duì)解法的再思考

    波利亞在《怎樣解題》一書中提到“尋找與你過去所獲知識(shí)之間的聯(lián)系,試著想想過去在類似情況下是什么幫助了你.試著在你考察的過程中認(rèn)出一些你熟悉的東西,試著在你認(rèn)清的東西中發(fā)現(xiàn)一些有用的東西.”這段話告訴我們?nèi)绾螌で笥杏玫慕忸}思路.用框圖表示,如圖15.

    例如問題中要求DF的最小值,就要思考點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑是什么,或者DF的數(shù)量與什么有關(guān),這個(gè)相關(guān)性可否用函數(shù)表示;經(jīng)歷對(duì)已知條件的分析可以聯(lián)系到軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)知識(shí),聯(lián)想常見的旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等和相似的方法,以及相關(guān)的基本圖形,如“一線三等角”模型.

    此題信息豐富,在進(jìn)行信息加工和整合過程中,要收集有益的信息,與要解決的問題進(jìn)行關(guān)聯(lián)比對(duì),甄別出有效的解題途徑.同時(shí),還要特別注意關(guān)鍵性的信息,如圖形的軸對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

    3. 對(duì)解題教學(xué)的再思考

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011版)中提出了10個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),核心素養(yǎng)基于數(shù)學(xué)知識(shí)技能,又高于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)技能. 核心素養(yǎng)反映數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想,是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的,具有綜合性、階段性和持久性的特征.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)和內(nèi)容直接相關(guān),故教師要思考如何通過教材與教學(xué),落實(shí)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),在對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)理解的基礎(chǔ)上,注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)科對(duì)學(xué)生的思維以及對(duì)其認(rèn)識(shí)問題、解決問題思想方法上的影響.

    解題訓(xùn)練是提高學(xué)生思維能力,落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng),形成數(shù)學(xué)智慧的主要途經(jīng).史寧中教授認(rèn)為,教學(xué)不僅要教給學(xué)生知識(shí),更要幫助學(xué)生形成智慧.因此解題教學(xué)應(yīng)重視如何分析條件、處理信息、整合信息的教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生找到問題的本質(zhì),發(fā)現(xiàn)解題的捷徑.

    一題多解作為一種有效的思維訓(xùn)練方法,教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí),要適時(shí)適量,要以揭示多解背后隱藏的數(shù)學(xué)思想和方法為側(cè)重點(diǎn),讓學(xué)生在解題過程中經(jīng)歷理解、內(nèi)化、領(lǐng)悟的過程,逐步將數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)具象化,并形成思維方式.

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