易凱軍,尹丹杰,張安付,朱 睿
(1.北京理工大學(xué)宇航學(xué)院,北京 100081;2.武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所,湖北 武漢 430064)
薄壁圓柱殼被廣泛用于航空航天、船舶、交通運(yùn)輸?shù)妊b備的主承力結(jié)構(gòu)。在內(nèi)部機(jī)械設(shè)備和外部流體的共同激勵(lì)下,圓柱殼結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的振動(dòng)不僅會(huì)干擾內(nèi)部精密儀器與敏感設(shè)備的工作,嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)l(fā)疲勞損傷[1],出現(xiàn)災(zāi)難性后果。因此,圓柱殼結(jié)構(gòu)在滿足靜承載能力的同時(shí),也需具備良好的振動(dòng)和聲學(xué)性能。
圓柱殼的振動(dòng)控制是工程應(yīng)用中的一個(gè)重要問題,并受到了廣泛研究。薄殼結(jié)構(gòu)減振技術(shù)主要包括粘彈性阻尼材料減振、磁流變阻尼減振、動(dòng)力吸振器、質(zhì)量阻振、主動(dòng)隔振系統(tǒng)、主動(dòng)約束阻尼、智能結(jié)構(gòu)等。例如,1999年,Boily等[2]通過研究飛機(jī)機(jī)身的振動(dòng)聲學(xué)特性,探究了圓柱殼結(jié)構(gòu)上粘貼粘彈性阻尼材料或多孔材料時(shí)對(duì)減振降噪的影響,并對(duì)比了兩種結(jié)構(gòu)的振動(dòng)聲行為。Ji等[3]提出了一種利用磁流變阻尼技術(shù)控制管類圓柱殼結(jié)構(gòu)低頻振動(dòng)的方案,測(cè)試了磁流變阻尼器的動(dòng)態(tài)特性,最后探究了不同振動(dòng)控制算法的控制效果。Zhang[4]研究了周期性和非周期性安裝動(dòng)力吸振器的圓柱殼振動(dòng)控制問題,優(yōu)化動(dòng)力吸振器的參數(shù)和坐標(biāo),對(duì)比了兩種情況下的減振效果。除了上述利用阻尼器進(jìn)行減振和吸振,還有隔振等振動(dòng)控制方法。王獻(xiàn)忠等[5]探究了阻振質(zhì)量基座對(duì)雙層圓柱殼結(jié)構(gòu)的隔振特性,證明采用含阻振質(zhì)量的基座結(jié)構(gòu)能有效阻隔結(jié)構(gòu)中振動(dòng)波的傳遞。Huang等[6]通過頻率響應(yīng)函數(shù)和阻抗綜合的數(shù)值模型,分析了帶主動(dòng)隔振器的水下加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制。為了進(jìn)一步提高阻尼層的性能和效果,Baz等[7]提出了普通粘彈性材料和兩層壓電約束層組成的主動(dòng)約束阻尼概念。Ray等[8]將主動(dòng)約束阻尼布置在大型結(jié)構(gòu)上,對(duì)阻尼處理的位置進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化。Plattenburg等[9]采用壓電片和分布式紙板襯墊粘貼在薄圓柱殼上,通過剪切錯(cuò)動(dòng)耗散動(dòng)能,并通過建立圓柱殼的瑞利-里茲模型來預(yù)測(cè)其在主動(dòng)和被動(dòng)阻尼處理下的響應(yīng)。此外,設(shè)計(jì)智能超結(jié)構(gòu)進(jìn)行減振也逐漸成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)。Jin等[10]設(shè)計(jì)了用于振動(dòng)抑制的圓柱蜂窩夾層超結(jié)構(gòu),通過引入局域諧振單元產(chǎn)生局域諧振進(jìn)行圓柱殼的減振,研究了具有局域諧振腔的正交各向異性圓柱殼的色散關(guān)系,并定義了用于工程設(shè)計(jì)的帶隙預(yù)測(cè)公式,該研究拓寬了局域共振超結(jié)構(gòu)在工程領(lǐng)域中的應(yīng)用。但是,目前這些方法實(shí)現(xiàn)圓柱殼在低頻段內(nèi)的減振比較困難,并且附加質(zhì)量高,不能滿足輕量化的設(shè)計(jì)要求,而且在實(shí)際環(huán)境中流激振動(dòng)也無法通過隔振來消除,因此針對(duì)圓柱殼結(jié)構(gòu)的低頻減振方法仍然需要進(jìn)一步探究。
隨著新型智能材料的發(fā)展,使用壓電材料進(jìn)行振動(dòng)抑制為解決這些問題帶來了可能。壓電材料所具有的機(jī)電耦合特性可以實(shí)現(xiàn)機(jī)械能與電能的相互轉(zhuǎn)換,并通過外接分流電路實(shí)現(xiàn)對(duì)電信號(hào)的控制。同時(shí),壓電片所具有的質(zhì)量小、體積小、易于制作安裝等特性也有助于結(jié)構(gòu)的輕量化與簡(jiǎn)單化,其反應(yīng)速度快、控制精確度高、使用頻率范圍廣等特點(diǎn)也有利于主動(dòng)控制的實(shí)現(xiàn)?;趬弘姴牧系姆至鳒p振技術(shù)被廣泛探索用于電子器件、航空航天、交通運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域[11]。近年來,將外接有分流電路的壓電片周期性排布在梁、板等結(jié)構(gòu)表面,能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)波的阻隔和消耗,達(dá)到振動(dòng)抑制的目的。基于壓電分流陣列的研究首先由Throp等[12]提出,他在彈性桿中實(shí)現(xiàn)了縱波的產(chǎn)生與調(diào)控,并通過添加壓電分流陣列同時(shí)觀測(cè)到了Bragg禁帶和局域諧振禁帶。Spadoni等[13]將這種方法拓展到了二維結(jié)構(gòu)中,并建立了壓電板的有限元模型。在此之后,壓電分流陣列技術(shù)受到了更廣泛的關(guān)注。Casadei等[14]對(duì)添加有壓電分流陣列的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究并得到了寬頻振動(dòng)控制。相比傳統(tǒng)的壓電分流減振技術(shù),力電耦合超材料用于大尺寸多模態(tài)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制時(shí)不必對(duì)壓電片幾何或位置進(jìn)行優(yōu)化,設(shè)計(jì)更簡(jiǎn)單。
2011年,Airoldi和Ruzzene[15]首次提出力電耦合超材料的概念,在對(duì)壓電分流陣列梁的研究中發(fā)現(xiàn),超材料梁的等效剛度受電路參數(shù)顯著影響,并在電路諧振頻率附近具有諧振特性。Sugino等[16]提出了一種分析有限力電耦合超材料板禁帶特性的理論模型,并對(duì)壓電片電極形狀以及分布對(duì)禁帶特性的影響進(jìn)行了研究。Zhang等[17]將分流壓電陣列粘貼在均質(zhì)薄板上下表面構(gòu)成了超材料板,并發(fā)現(xiàn)該超材料板聲傳播損耗的能力顯著提高。Chen等[18]將壓電片反對(duì)稱地粘貼于彈性梁的上下表面,發(fā)現(xiàn)縱波與彈性波產(chǎn)生耦合并提升了分流陣列的振動(dòng)隔離效果。Li等[19]提出了一種負(fù)反饋控制方法,在增加系統(tǒng)穩(wěn)定性的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了壓電超材料梁的動(dòng)態(tài)調(diào)控。Yi等[20]通過設(shè)定反饋控制傳函實(shí)現(xiàn)了對(duì)壓電陣列超材料梁的等效彎曲剛度的控制,從而實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)禁帶可調(diào)。然而,目前基于力電耦合超材料的研究多用于梁或板的減振,應(yīng)用在殼結(jié)構(gòu)上進(jìn)行低頻減振還缺少相關(guān)研究。
本文基于局域諧振力電耦合超材料,發(fā)展了圓柱殼結(jié)構(gòu)的低頻減振方法。首先,建立了復(fù)雜力電耦合圓柱殼模型減縮方法,并對(duì)該減縮方法進(jìn)行了修正;進(jìn)而,基于減縮模型研究了力電耦合超材料圓柱殼的禁帶特性,探究了電學(xué)參數(shù)對(duì)禁帶特性的影響規(guī)律;隨后,在此基礎(chǔ)上發(fā)展了電學(xué)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法實(shí)現(xiàn)圓柱殼結(jié)構(gòu)的低頻振動(dòng)抑制;最后,仿真驗(yàn)證了力電耦合超材料圓柱殼的低頻減振效果。
為了研究力電耦合超材料圓柱殼的振動(dòng)特性,本節(jié)發(fā)展力電耦合系統(tǒng)振動(dòng)特性的高效數(shù)值預(yù)報(bào)方法。首先得到壓電系統(tǒng)的有限元全模型,然后利用模態(tài)綜合法對(duì)全模型進(jìn)行減縮,最后對(duì)減縮模型進(jìn)行修正。利用有限元離散后,全耦合壓電系統(tǒng)的控制方程可表示為[21]
式中:Mdd和Kdd分別表示短路狀態(tài)下的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣;Θdv表示機(jī)電耦合系數(shù)矩陣;C和Q分別表示電容和電荷;F表示機(jī)械力;d和V分別代表結(jié)構(gòu)上任意點(diǎn)的位移和電極之間的電壓。
減縮模型通過將控制方程中物理空間的位移d轉(zhuǎn)換為模態(tài)空間的模態(tài)坐標(biāo)q獲得,轉(zhuǎn)換關(guān)系表示為
式中:Φ=[?1,?2,…?m],?i是壓電系統(tǒng)在短路條件下具有特定齊次狄利克雷邊界的第i階特征模態(tài),它可以通過求解壓電片短路時(shí)的特征值問題得到。
這里ωi表示第i階固有頻率。質(zhì)量矩陣和剛度矩陣經(jīng)過歸一化處理后分別得到單位矩陣和對(duì)角線元素為ωi的模態(tài)剛度矩陣
式中:E是單位矩陣。將式(4)和(5)代入方程(1)中可以得到用模態(tài)坐標(biāo)q表示的控制方程:
減縮模型中只保留了少量模態(tài),從而大大減少了所需求解的方程的個(gè)數(shù)。但是,高階模態(tài)的截?cái)鄷?huì)導(dǎo)致靜態(tài)減縮誤差,使得減縮模型不能準(zhǔn)確描述壓電系統(tǒng)的性能。完整模型和減縮模型的誤差可以表示為
式中:Tef,Ter分別代表在完整模型和減縮模型的V和Q之間的靜電傳遞矩陣。為了提高減縮模型的準(zhǔn)確性,并代替原始模型進(jìn)行求解,需要對(duì)其進(jìn)行修正。減縮模型的修正方法可以通過修正壓電單元的固有電容C來實(shí)現(xiàn)。根據(jù)式(1)和(6),得到修正后的電容矩陣:
將公式(6)中的C替換為C*,可以得到修正后的減縮模型控制方程:
修正后的減縮模型在保持較高準(zhǔn)確性的同時(shí)(其準(zhǔn)確性驗(yàn)證見4.2節(jié)),極大地提高了計(jì)算效率,為后續(xù)分析力電耦合超材料圓柱殼低頻減振效果提供了工具。
本節(jié)所研究的力電耦合超材料圓柱殼如圖1所示,圓柱殼外表面周期性排列壓電片,壓電片在周向和軸向的數(shù)量分別為12和20,共計(jì)240片。在有限元結(jié)構(gòu)中,壓電片和殼體的厚度分別為2、1 mm,壓電片的極化方向沿殼體的徑向方向,表1是結(jié)構(gòu)的幾何尺寸和材料屬性。壓電片與殼體的接觸面接地,外表面連接分流電路。在圖中A點(diǎn)施加單位載荷激勵(lì),在圓柱殼遠(yuǎn)場(chǎng)B點(diǎn)測(cè)量其位移響應(yīng),通過計(jì)算激勵(lì)點(diǎn)與測(cè)量點(diǎn)間的頻率響應(yīng)函數(shù)和輸出圓柱殼變形云圖來分析該結(jié)構(gòu)的禁帶效果。
圖1 力電耦合超材料圓柱殼結(jié)構(gòu)模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of electro-mechanical metamaterial cylindrical shell structure model
表1 材料屬性及幾何尺寸Tab.1 Material properties and geometry
通過調(diào)節(jié)外接電路,力電耦合超材料圓柱殼可以產(chǎn)生禁帶并阻隔彈性波的傳播,本小節(jié)對(duì)該結(jié)構(gòu)中的禁帶效果進(jìn)行了研究。以力電耦合超材料圓柱殼的第三階共振頻率為例,通過調(diào)節(jié)電路諧振頻率在該共振頻率處產(chǎn)生了禁帶,如圖2所示。在圖2a中,縱坐標(biāo)為測(cè)量點(diǎn)的法向位移。實(shí)線和虛線分別為壓電片短路和外接諧振電路時(shí)激勵(lì)與響應(yīng)間的頻率響應(yīng)曲線,陰影部分表示禁帶區(qū)域。可以發(fā)現(xiàn),頻率響應(yīng)函數(shù)在禁帶范圍內(nèi)存在明顯的低谷,這是由于彈性波在禁帶頻率范圍內(nèi)無法在圓柱殼中傳播,使得激勵(lì)點(diǎn)處產(chǎn)生的振動(dòng)無法傳播到遠(yuǎn)場(chǎng)的測(cè)量點(diǎn),測(cè)量點(diǎn)處的位移顯著減小導(dǎo)致的。
禁帶產(chǎn)生的振動(dòng)傳遞隔離效果同樣可以從力電耦合超材料圓柱殼的三維變形圖中觀測(cè)到,圖2b、圖2c、圖2d分別展示了超材料圓柱殼在禁帶前、中、后的三維變形圖??梢园l(fā)現(xiàn),在禁帶前后,激勵(lì)處所產(chǎn)生的彈性波在殼體中自由傳播并產(chǎn)生顯著變形;而在禁帶內(nèi)部,禁帶阻隔了激勵(lì)產(chǎn)生的彈性波的傳播,使得變形僅僅局域在激勵(lì)點(diǎn)位置。由此可知,由外接電路產(chǎn)生的禁帶可以阻隔力電耦合超材料圓柱殼中彈性波的傳播,從而有效降低遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域的振動(dòng),達(dá)到振動(dòng)傳遞隔離的效果。
圖2 力電耦合超材料圓柱殼結(jié)構(gòu)中的禁帶Fig.2 Bandgaps in electro-mechanical metamaterial cylindrical shell structures
當(dāng)壓電片外接電感電路時(shí),電感與壓電片的本征電容發(fā)生電磁振蕩,通過對(duì)其電諧振頻率進(jìn)行調(diào)節(jié),可以改變超材料的禁帶位置,達(dá)到在特定頻率下減振的目的。電諧振頻率是通過改變電路中的電感值實(shí)現(xiàn)的,圖3表示設(shè)定不同的電感值時(shí)對(duì)禁帶位置的影響,其中L=13 H、L1=9 H、L2=18.5 H,分別作出了在500~1 500 Hz頻率段內(nèi)相應(yīng)的頻率響應(yīng)曲線圖。從圖中可看出,改變電感參數(shù)會(huì)使禁帶位置發(fā)生變化,由于禁帶區(qū)域內(nèi)彈性波不能傳播,因此通過調(diào)節(jié)電感值可以實(shí)現(xiàn)目標(biāo)頻率內(nèi)的振動(dòng)控制。
圖3 電感參數(shù)對(duì)禁帶位置的影響Fig.3 Influence of inductance parameters on location of bandgap
在電路中只添加電感時(shí),在降低共振頻率處峰值的同時(shí),禁帶區(qū)域兩側(cè)產(chǎn)生了次生共振峰,這種現(xiàn)象的存在會(huì)引入過多的峰值響應(yīng),而這在工程實(shí)際中是不被采用的。為了取得更好的減振效果,考慮加入電阻形成電感電阻諧振電路,通過產(chǎn)生阻尼電諧振來耗散機(jī)械振動(dòng)能量,抑制主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。圖4表示外接電阻電感諧振電路時(shí)電阻參數(shù)對(duì)禁帶位置的影響,其中R1到R3的電阻值依次為R1=40 kΩ、R2=20 kΩ、R3=8 kΩ。從頻響曲線圖中可以看出,改變電阻值不會(huì)使禁帶位置發(fā)生變化,但會(huì)降低由于電感帶來的次生共振峰。因此選取合適的電感電阻值時(shí),可以得到在較寬的頻率范圍內(nèi)都有平滑無尖峰的減振效果。通過合理地設(shè)計(jì)電學(xué)參數(shù)求解方法,可以更方便快捷地實(shí)現(xiàn)特定頻率下的減振。
圖4 電阻參數(shù)對(duì)禁帶位置的影響Fig.4 Influence of resistor parameters on location of bandgap
在第2節(jié)的研究中發(fā)現(xiàn),電學(xué)參數(shù)對(duì)超材料的禁帶特性具有十分重要的影響。因此,為了取得優(yōu)異的減振效果,需要對(duì)電學(xué)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。電學(xué)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法主要有兩種,一種方法是基于最佳電學(xué)參數(shù)解析表達(dá)式的理論分析方法,另一種是基于搜索算法的參數(shù)優(yōu)化選取方法。本小節(jié)將分別對(duì)兩種方法進(jìn)行介紹,并在4.3和4.4小節(jié)中進(jìn)行對(duì)比。
考慮一個(gè)表面粘貼有壓電片的任意彈性結(jié)構(gòu),壓電片兩端外接有阻尼器或諧振分流器,通過有限元離散化可以獲得該機(jī)電耦合系統(tǒng)的多自由度模型。通過式(1)將位移d展開為N個(gè)本征模態(tài),得到降階模型:
因此,該問題的機(jī)電耦合模型由N個(gè)模態(tài)方程和一個(gè)電學(xué)平衡方程描述。這里(ωi,?i)分別表示第i個(gè)模態(tài)的短路固有頻率和模態(tài)振型。式中χi表示機(jī)電耦合系數(shù),表征了第i個(gè)模態(tài)振型與壓電片之間的耦合程度。C為壓電片固有電容,Q表示電荷,ξi為模態(tài)的阻尼。
若只考慮一個(gè)模態(tài),則方程(10)的N自由度模型被截?cái)酁榈趈個(gè)機(jī)械模態(tài)(qi=0,?i≠j)。當(dāng)外接電阻電感諧振電路時(shí),根據(jù)電壓V和電荷Q的關(guān)系為阻抗,R為電阻,L為電感),可以將式(10)作進(jìn)一步改進(jìn),具體推導(dǎo)過程見文獻(xiàn)[22]。
式(11)進(jìn)行了量綱一化處理,方程中變量的定義為
其中:表示量綱一化電壓;表示量綱一化電荷;ωe表示電諧振頻率;ωj表示第j階短路固有頻率;表示第j階開路固有頻率;kj表示機(jī)電耦合因子,其分別表示短路固有頻率和開路固有頻率,keff,j表示等效機(jī)電耦合因子。根據(jù)極點(diǎn)配置法可以求得實(shí)現(xiàn)最佳減振效果的電阻、電感值為
根據(jù)傳遞函數(shù)法可以求得實(shí)現(xiàn)最佳減振效果的電阻、電感值為
式(16)、式(17)中最佳電阻、電感的解析表達(dá)式總結(jié)在表2中。
表2 諧振分流的最佳電學(xué)參數(shù)解析表達(dá)式Tab.2 Optimal electrical parameters for resistor and resonant shunt
3.1 節(jié)中式(16)、式(17)為近似最佳電學(xué)參數(shù)的解析表達(dá)式,因?yàn)榍蠼鈺r(shí)假設(shè)模型為單自由度模型,且每個(gè)模態(tài)都是獨(dú)立的。但是,從公式(10)中第二個(gè)方程可以看出,當(dāng)只粘貼一片壓電片時(shí),壓電電容和電壓自由度都為標(biāo)量,若取前三階模態(tài)分析,有:
從方程(16)中可以看出各階模態(tài)通過電學(xué)自由度耦合在一起,這導(dǎo)致使用電感電阻值的近似解析表達(dá)式得到的優(yōu)化結(jié)果是近似的。實(shí)際應(yīng)用中遇到的典型柔性結(jié)構(gòu)的響應(yīng)特征都是多個(gè)模態(tài)貢獻(xiàn)的疊加。通常,在結(jié)構(gòu)振動(dòng)研究中,根據(jù)“模態(tài)重疊系數(shù)”對(duì)這一方面進(jìn)行量化,該系數(shù)表示結(jié)構(gòu)在每個(gè)頻率下響應(yīng)的模態(tài)數(shù)量。例如,圓柱殼彎曲響應(yīng)的模態(tài)重疊往往隨著頻率的增加而增加,每個(gè)頻率處的彎曲響應(yīng)可能是多模態(tài)貢獻(xiàn)疊加的結(jié)果,因此此時(shí)使用近似最佳電學(xué)參數(shù)進(jìn)行減振可能得不到最好的優(yōu)化效果。
在不計(jì)算模態(tài)重疊系數(shù)的情況下可以考慮使用優(yōu)化算法來搜索最優(yōu)電阻、電感值,使得結(jié)構(gòu)的彎曲響應(yīng)幅值最小,達(dá)到最優(yōu)減振優(yōu)化目的。圖5展示了優(yōu)化算法設(shè)計(jì)的流程圖,根據(jù)近似解析表達(dá)式確定電學(xué)參數(shù)的搜索范圍大大提高了計(jì)算效率。只要選取的初始搜索范圍足夠大,搜索步長逐漸縮小,就能夠找到具有最佳減振效果的電學(xué)參數(shù)。
圖5 優(yōu)化算法流程圖Fig.5 Flow chart of optimization algorithm to calculate optimal circuit parameters
殼體振動(dòng)的程度可以用法向振速級(jí)描述??紤]一個(gè)兩邊自由的圓柱殼體,以圓柱殼軸線為X軸建立如圖6所示的柱面坐標(biāo)系,分別用u,v,w表示圓柱殼中面上一點(diǎn)在軸向X、周向φ和徑向r的位移。
圖6 殼體坐標(biāo)系示意圖Fig.6 Schematic diagram of shell coordinate system
殼體表面的平均法向振速級(jí)可以定義為
其中參考振速為Vref=5×10-8m·s-1,表面平均法向振速表示為
由于圓柱殼外表面的法向位移是環(huán)向垂直于表面的,類似于極化方向,因此這里根據(jù)極化坐標(biāo)求解法向速度。圓柱殼中材料坐標(biāo)系(X,Y,Z)和柱坐標(biāo)系(x,φ,r)之間的關(guān)系可以表示為
將公式(26)代入方程(19)和(20)中即可得到殼體的均方法向振速級(jí)。
為了驗(yàn)證電學(xué)參數(shù)設(shè)計(jì)方法的可行性并驗(yàn)證整體結(jié)構(gòu)的減振效果,本節(jié)建立了力電耦合超材料雙層環(huán)肋圓柱殼模型(圖7)。雙層殼體和T形環(huán)肋選用鋼材料,雙層圓柱殼中間具有30個(gè)T形環(huán)肋,圓柱殼外表面周期性粘貼24片材料為PZT-5H的壓電片,且在設(shè)計(jì)中保證壓電片質(zhì)量與殼體質(zhì)量的比值小于1%,結(jié)構(gòu)的幾何尺寸和材料參數(shù)如表3所示,其中rin、rout分別表示圓柱殼的內(nèi)徑和外徑,hin、hout分別表示內(nèi)殼和外殼的厚度,hp表示壓電片的厚度,Tt1、Tt2分別表示T形環(huán)肋的上寬度和下寬度,Th1、Th2分別表示T形環(huán)肋的上高度和下高度。在超材料圓柱殼中,壓電片粘貼在殼體的外表面,壓電片與殼體的接觸面接地,外表面外接電阻電感電路進(jìn)行減振設(shè)計(jì)。仿真模型中,圓柱殼兩端自由,右端上表面一點(diǎn)施加簡(jiǎn)諧激勵(lì)(激勵(lì)位置如點(diǎn)O所示),用來模擬施加在結(jié)構(gòu)中的擾振源,并在該點(diǎn)測(cè)量位移響應(yīng)。
圖7 力電耦合超材料雙層環(huán)肋圓柱殼設(shè)計(jì)模型Fig.7 Design model of electro-mechanical metamaterial double-layer cylindrical shell with circular reinforcing ribs
表3 材料屬性和幾何尺寸Tab.3 Material properties and geometry
由2.3節(jié)的研究結(jié)果可知,電學(xué)參數(shù)對(duì)振動(dòng)控制具有重要影響,本節(jié)對(duì)電學(xué)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),這里采用文章第1節(jié)中提出的減縮修正模型計(jì)算響應(yīng)。首先需驗(yàn)證減縮模型相較于完整模型的準(zhǔn)確性。圖8a表示減縮模型和完整模型得到的開路固有頻率相對(duì)誤差,可以看到在每一階模態(tài)下相對(duì)誤差均遠(yuǎn)小于1%,一定程度證明了減縮模型的高精度。圖8b和圖8c進(jìn)一步對(duì)比了減縮模型和完整模型計(jì)算得到的O點(diǎn)的位移響應(yīng)以及它們之間的相對(duì)誤差??梢钥吹剑诠舱穹甯浇?,減縮模型和完整模型得到的結(jié)果有非常好的一致性;另外還能看到,在反共振頻率附近,減縮模型相較完整模型和有較大誤差,主要原因是進(jìn)行模態(tài)減縮時(shí)使用的短路頻率下的模態(tài)振型,它們與外接電路時(shí)的模態(tài)振型存在一定的差異,導(dǎo)致反共振點(diǎn)發(fā)生變化。但是需要指出的是,在進(jìn)行電學(xué)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí),影響最終優(yōu)化結(jié)果的因素主要是共振頻率附近的響應(yīng)峰值(減縮模型在這些頻率處有很高的精度)。因此,減縮模型在本文的研究中已經(jīng)滿足了精度的要求;同時(shí),通過完整模型計(jì)算10~400 Hz頻率范圍內(nèi)的位移響應(yīng)需要2 h左右的時(shí)間,而根據(jù)減縮模型計(jì)算僅花費(fèi)幾秒鐘,大大提高了計(jì)算效率。
圖8 減縮模型和完整模型的準(zhǔn)確性對(duì)比Fig.8 Accuracy comparison of simplified and full models
接下來基于搜索算法對(duì)電學(xué)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì),如圖9所示。通過對(duì)電阻、電感參數(shù)進(jìn)行掃描,得到了圓柱殼彎曲響應(yīng)峰值隨電路參數(shù)變化的二維云圖,云圖中顏色越深代表響應(yīng)峰值越小,即對(duì)應(yīng)的電路參數(shù)產(chǎn)生的減振效果更好。圖9表示了前三階共振頻率范圍內(nèi)響應(yīng)峰值隨電路參數(shù)的變化情況。二維云圖表明,位移響應(yīng)對(duì)電感的變化相當(dāng)敏感,電感值的微小變化將極大地影響控制效果。此外,為了準(zhǔn)確找到最優(yōu)的電感和電阻值,應(yīng)盡量擴(kuò)大參數(shù)搜索范圍同時(shí)減小參數(shù)掃描步長。
圖9 前三階共振響應(yīng)峰值隨電感值和電阻值變化的規(guī)律Fig.9 Variation of response peaks near the first,second,and third resonant frequencies as inductance and resistance values change
表4列出了利用近似理論解析表達(dá)式和優(yōu)化算法分別得到的前三階共振對(duì)應(yīng)的最佳電學(xué)參數(shù)值,可以看出兩種方法得到的電感值和電阻值相差不大,輕微差異對(duì)減振結(jié)果并沒有顯著影響,在工程實(shí)際中使用近似理論解析表達(dá)式求解最佳電學(xué)參數(shù)即可滿足優(yōu)化設(shè)計(jì)要求。
力電耦合超材料圓柱殼的減振效果可以通過對(duì)比分流電路控制前后系統(tǒng)的振速級(jí)得到,如圖10所示。以壓電片短路和開路情況(控制前)為參考,在分流電路中設(shè)置了不同電學(xué)參數(shù)實(shí)現(xiàn)了對(duì)不同模態(tài)的振動(dòng)控制,電學(xué)參數(shù)的取值如表4所示。圖10為力電耦合超材料圓柱殼的第一階至第三階模態(tài)的減振結(jié)果。通過圓柱殼的振速級(jí)曲線可以看出,采用近似理論解析方法或優(yōu)化算法得到的電學(xué)參數(shù)時(shí),圓柱殼前三階固有頻率處共振峰值分別下降26、25、28 dB,說明本文提出的針對(duì)殼體結(jié)構(gòu)的減振方法在低頻能夠?qū)崿F(xiàn)非常好的減振效果。從圖中還能看出,近似解析公式和優(yōu)化算法得到的電學(xué)參數(shù)實(shí)現(xiàn)的減振效果非常接近,說明兩種方法均能得到最優(yōu)的減振效果,另一方面也交叉驗(yàn)證了兩種減振優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性。
表4 諧振電路中兩種電學(xué)參數(shù)優(yōu)化方法結(jié)果對(duì)比Tab.4 Comparison of obtained electric parameters using theoretical method and optimization algorithm,respectively
圖10 力電耦合超材料圓柱殼的前三階振速級(jí)曲線圖Fig.10 Vibration velocity curves of electro-mechanical metamaterial cylindrical shell,near the first,second and third resonance frequencies
本文基于力電耦合超材料發(fā)展了一種圓柱殼結(jié)構(gòu)的低頻減振方法。提出了基于模態(tài)綜合法的力電耦合系統(tǒng)減縮模型,并對(duì)減縮模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行了修正;通過分析有限力電耦合超材料圓柱殼的振動(dòng)傳遞特性,揭示了其中的禁帶阻波效應(yīng),分析了電感和電阻參數(shù)對(duì)禁帶效果的影響規(guī)律,表明通過優(yōu)化設(shè)計(jì)電感和電阻值能夠?qū)崿F(xiàn)低頻振動(dòng)抑制;提出了面向低頻減振的電感和電阻參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法;以復(fù)雜雙層環(huán)肋圓柱殼為對(duì)象,分別針對(duì)其前三階共振進(jìn)行減振設(shè)計(jì),均得到了超過25 dB的振動(dòng)抑制效果,驗(yàn)證了基于力電耦合超材料的低頻減振方法的有效性。本文提出的低頻減振方法具有主動(dòng)可調(diào)、引入附加質(zhì)量少等優(yōu)點(diǎn),在航空航天以及水下裝備殼體的減振降噪方面有廣泛應(yīng)用前景。
作者貢獻(xiàn)聲明:
易凱軍:研究內(nèi)容制定、研究指導(dǎo)、經(jīng)費(fèi)支持、論文寫作和修改。
尹丹杰:模型建立、數(shù)值仿真、論文寫作。
張安付:研究指導(dǎo)、論文修改。
朱睿:研究指導(dǎo)、論文修改。