彎曲波-縱波彩虹捕獲效應(yīng)及其模式轉(zhuǎn)換

徐艷龍，王芳隆，沈一舟，楊智春

（1.西北工業(yè)大學(xué)深圳研究院，廣東 深圳 518057；2.西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院，陜西 西安 710072）

近些年來，可以實現(xiàn)彈性波操控的人工結(jié)構(gòu)，如聲子晶體與超材料［1］，聲鏡［2］，聲學(xué)黑洞［3］等，引起了研究者的廣泛關(guān)注。而寬帶彈性波在梯度人工結(jié)構(gòu)中傳播時會發(fā)生彩虹捕獲效應(yīng)，即不同的頻率的彈性波會在結(jié)構(gòu)的不同位置停止向前傳播并發(fā)生能量聚集，這種梯度人工結(jié)構(gòu)被稱為彩虹捕獲結(jié)構(gòu)［4-5］。它是Tsakmakidis等［6］于2007年在電磁波領(lǐng)域首次提出的，后來相關(guān)研究人員通過設(shè)計具有梯度色散關(guān)系的子胞來實現(xiàn)彩虹捕獲效應(yīng)，這種效應(yīng)很快被推廣到了聲學(xué)領(lǐng)域。在聲學(xué)領(lǐng)域［7-10］，研究者主要關(guān)注基于彩虹捕獲效應(yīng)的傳感和濾波［8］、寬帶吸聲［9］以及彩虹捕獲結(jié)構(gòu)的微型化和低頻化［10］。

2015年Xu等［4-5］首次將彩虹捕獲效應(yīng)應(yīng)用到彈性波領(lǐng)域，研究了瑞利波和水平剪切波（SH波）的彩虹捕獲效應(yīng)。在此之后，關(guān)于彈性波彩虹捕獲效應(yīng)的研究按照研究側(cè)重點可以分為兩類：第一類主要實現(xiàn)各種彈性波（蘭姆波、表面波、SH波等）的彩虹捕獲效應(yīng)［11-13］；第二類主要關(guān)注彈性波彩虹捕獲效應(yīng)的應(yīng)用，如基于此效應(yīng)的能量俘獲［14］、模式轉(zhuǎn)換［15-19］等。模式轉(zhuǎn)換是指彈性波在傳播的過程中極化方向發(fā)生改變的現(xiàn)象。Colombi等［15］在置于彈性半空間表面的共振梯度結(jié)構(gòu)上，最先發(fā)現(xiàn)了基于彩虹捕獲效應(yīng)的瑞利波到體剪切波的模式轉(zhuǎn)換；他們在隨后的研究工作［16］中對相關(guān)現(xiàn)象進行了實驗驗證。Skelton等［17］在流體載荷作用下的梯度結(jié)構(gòu)板中，發(fā)現(xiàn)了彎曲波到流體中體波的模式轉(zhuǎn)換。Ponti等［18］設(shè)計了一根不具有幾何對稱性的梯度結(jié)構(gòu)梁，發(fā)現(xiàn)了該結(jié)構(gòu)發(fā)生彩虹捕獲效應(yīng)時從入射的彎曲波到反射的扭轉(zhuǎn)波的模式轉(zhuǎn)換。

作為彈性波操控領(lǐng)域一個正在興起的研究方向，國內(nèi)外關(guān)于基于彈性波彩虹捕獲效應(yīng)的模式轉(zhuǎn)換的研究才剛剛起步。目前僅實現(xiàn)了從瑞利波向體波，從彎曲波向扭轉(zhuǎn)波的轉(zhuǎn)換。更多的現(xiàn)象、機理和應(yīng)用等待研究者去探索。本文提出了一種梯度結(jié)構(gòu)梁，通過傳遞矩陣法解析求解了子胞的能帶結(jié)構(gòu)，并利用有限元法驗證了其準(zhǔn)確性，根據(jù)子胞的能帶結(jié)構(gòu)從波數(shù)變化的角度，解釋了彎曲波-縱波彩虹捕獲效應(yīng)及其模式轉(zhuǎn)換的產(chǎn)生機理。通過有限元頻域仿真，驗證了彎曲波-縱波彩虹捕獲效應(yīng)，并通過有限元時域仿真，驗證了彩虹捕獲效應(yīng)發(fā)生時彎曲波和縱波的雙向模式轉(zhuǎn)換。

1 梯度結(jié)構(gòu)梁子胞的能帶結(jié)構(gòu)

1.1 梯度結(jié)構(gòu)梁

本文設(shè)計的可以實現(xiàn)彎曲波-縱波彩虹捕獲效應(yīng)的梯度結(jié)構(gòu)梁如圖1所示，其由1個基梁（圖中灰色部分）和16個高度梯度變化的立柱（圖中黑色部分）組成。可以將梯度結(jié)構(gòu)梁劃分為16個子胞，第1個子胞的立柱高度為H=2.0 mm，第n個子胞的立柱高度為Hn=H+（n－1）h，其中h=0.2 mm?；旱暮穸萒和立柱的厚度b都是2 mm；基梁和立柱的寬度都是20 mm；梯度結(jié)構(gòu)梁的晶格常數(shù)D是12 mm。材料選用光敏樹脂，其彈性模量Y為2.067 8 GPa，密度ρ為1 110 kg·m－3。

圖1 梯度結(jié)構(gòu)梁Fig.1 Beam with graded pillars

1.2 能帶結(jié)構(gòu)的求解

由于梯度結(jié)構(gòu)梁的立柱高度增量比較小，因此可借鑒研究周期結(jié)構(gòu)（即聲子晶體）中彈性波傳播的方法來研究梯度結(jié)構(gòu)梁中彈性波的傳播。為了分析彩虹捕獲效應(yīng)的產(chǎn)生機理，以及預(yù)測彩虹捕獲效應(yīng)在梯度結(jié)構(gòu)梁中的發(fā)生位置和相應(yīng)的頻率范圍，首先要得到相應(yīng)的周期結(jié)構(gòu)梁子胞的能帶結(jié)構(gòu)［4，12］。本文基于Cao等［19］的研究，通過傳遞矩陣法解析求解子胞的能帶結(jié)構(gòu)。任取圖1中所示的梯度結(jié)構(gòu)梁的一個子胞作為相應(yīng)周期結(jié)構(gòu)梁的一個子胞，并利用中性軸將子胞進行簡化，如圖2a所示。

圖2 用于計算能帶結(jié)構(gòu)的傳遞矩陣法子胞模型和有限元法（FEM）子胞模型Fig.2 Transfer matrix method model and finite element method(FEM)model of subunit used to calculate band structure

由于基梁和立柱的相互作用，子胞中同時存在彎曲波和縱波。從梁中的彎曲波和縱波的控制方程出發(fā)，結(jié)合以下三個力學(xué)條件：①立柱與基梁連接的結(jié)點處滿足連續(xù)性條件；②立柱與基梁連接的結(jié)點處滿足內(nèi)力平衡條件；③立柱的上端面滿足內(nèi)力為零的邊界條件，可以得到：

式 中：vR=[wR，uR，φR，F(xiàn)R，VR，MR]T和vL=[wL，uL，φL，F(xiàn)L，VL，ML]T，分別為基梁的右端面狀態(tài)向量和左端面狀態(tài)向量。其中，w為撓度，u為軸向位移，φ為轉(zhuǎn)角，F(xiàn)為軸力，V為剪力，M為彎矩。下標(biāo)R和L分別代表基梁的右端面和左端面，上標(biāo)T表示矩陣的轉(zhuǎn)置。N1、N2和N3為傳遞矩陣，它們的具體形式分別如式（2）—（4）所示，推導(dǎo)過程可以在參考文獻［19］中找到。

對于周期結(jié)構(gòu)梁，單個子胞具有周期性，子胞的基梁兩端的狀態(tài)向量滿足Floquet周期性邊界條件（也稱作Bloch邊界條件），即：

式中：k為Bloch波數(shù)。

聯(lián)立方程（1）和（7），可以得到一個特征值方程：

式中：E為六階單位陣。

求解方程（8），就可以得到在周期結(jié)構(gòu)梁中傳播的彈性波頻率f和波數(shù)k之間的關(guān)系曲線，即色散曲線。這些色散曲線構(gòu)成了子胞的能帶結(jié)構(gòu)。色散曲線的斜率代表了結(jié)構(gòu)中可以傳播的彈性波的群速度。

為了驗證傳遞矩陣法解析解的正確性，本文在有限元軟件COMSOL中建立了梁單元的子胞，如圖2b所示。圖3中展示了立柱高度分別為1.0 mm和50.0 mm的子胞在不可約布里淵區(qū)［0，πD-1］內(nèi)的能帶結(jié)構(gòu)（圖中橫軸表示的物理量為歸一化波數(shù)kDπ-1，其量綱為1）。黑色實心三角形點代表通過傳遞矩陣法求得的解析解，黑色空心正方形點線代表通過梁單元得到的有限元解?？梢钥闯?，傳遞矩陣法解析解與有限元法梁單元解完全重合。

圖3通過傳遞矩陣法和有限元法得到的能帶結(jié)構(gòu)圖的對比Fig.3 Comparison of band structures obtained by transfer matrix method and finite element method

1.3 能帶結(jié)構(gòu)的分析

圖4 中黑色圓形點線表示立柱高度H1=2.0 mm的子胞在0～25 kHz范圍內(nèi)的能帶結(jié)構(gòu)。圖中，Vg表示群速度。為了便于對比，圖中也繪出了均勻梁中彎曲波和縱波的色散曲線，分別用黑色實線和黑色點劃線表示。由圖可知，子胞能帶結(jié)構(gòu)的前兩階色散曲線和均勻梁的色散曲線的走勢大部分保持一致。仿照文獻［12］中的提法，將子胞的能帶結(jié)構(gòu)中與均勻梁的彎曲波色散曲線走勢一致的部分稱為偽彎曲波模式色散曲線，與均勻梁的縱波色散曲線走勢一致的部分稱為偽縱波模式色散曲線。從圖4中也可以看出，子胞中偽彎曲波模式和偽縱波模式的波形分別與均勻梁中的彎曲波模式和縱波模式的波形非常相似。但是需要注意的是，子胞中偽彎曲波和偽縱波模式與均勻梁中的彎曲波和縱波模式是有所區(qū)別的。首先，均勻梁的色散曲線是不間斷的，即在任何頻率下都會有相應(yīng)的彎曲波和縱波模式存在。而子胞的色散曲線在某些頻率段是間斷的，如圖4中灰色區(qū)域所示的既沒有偽彎曲波模式又沒有偽縱波模式的彎曲波-縱波全帶隙。在此帶隙內(nèi)子胞中不存在任何模式，子胞的基梁中當(dāng)然也不會存在任何模式。其次，當(dāng)子胞的立柱較高時，立柱的共振會與基梁中的波耦合在一起，雖然此時子胞的色散曲線與均勻梁的色散曲線走勢還保持一致，但子胞基梁中的波形與均勻梁中的波形相差比較大。

圖4 立柱高度為2.0 mm的子胞能帶結(jié)構(gòu)Fig.4 Band structure of the subunit with a pillar height of 2.0 mm

另外，在圖4中，子胞的二階色散曲線上存在一個特殊的點：偽彎曲波模式與偽縱波模式色散曲線的分界點，此點所對應(yīng)的頻率是彎曲波-縱波全帶隙的下邊界。同時，此點所對應(yīng)的群速度為0（Vg=0），因此將其稱為零群速度點。零群速度點處的模式既非偽彎曲波模式，也非偽縱波模式，而是耦合模式，其波形介于偽彎曲波模式波形和偽縱波模式波形之間。梯度結(jié)構(gòu)梁中16個子胞的立柱高度是漸變的，故其二階色散曲線和零群速度點也是漸變的。這就會導(dǎo)致彎曲波-縱波彩虹捕獲效應(yīng)及其模式轉(zhuǎn)換的發(fā)生。

2 彩虹捕獲效應(yīng)及模式轉(zhuǎn)換機理

本文將圖1所示的16個子胞的二階色散曲線依次繪制在一張圖中，并利用波矢量的周期性對能帶結(jié)構(gòu)做第二布里淵區(qū)的擴展，如圖5所示，其中k∈［-2πD-1，0］代表波的反向傳播。各子胞的二階色散曲線（IV區(qū)域中箭頭所指的1～16）由黑色曲線表示。子胞的立柱高度越大，其色散曲線頻率就越低?；疑珜嵕€和灰色點劃線分別代表均勻梁中的彎曲波和縱波的色散曲線；黑色水平虛線為一條等頻率線，代表待分析的入射波的頻率。

圖5 彎曲波-縱波彩虹捕獲效應(yīng)及其模式轉(zhuǎn)換機理Fig.5 Mechanism of flexural-longitudinal wave rainbow trapping and its mode conversion

在圖5的Ⅳ區(qū)域中，等頻率線與均勻梁中的彎曲波色散曲線相交于黑色實心圓點，這意味著入射的彎曲波在均勻梁中以黑色實心圓點所對應(yīng)的波數(shù)進行傳播。彎曲波從均勻梁中傳進梯度結(jié)構(gòu)梁后，遇到的子胞的立柱高度越來越大，等頻率線與色散曲線的交點沿著黑色箭頭逐漸從立柱高度較小的子胞色散曲線上移動到立柱高度較大的子胞色散曲線上，對應(yīng)的波數(shù)也逐漸變化，其模式逐漸從均勻梁的彎曲波模式轉(zhuǎn)變?yōu)樘荻冉Y(jié)構(gòu)梁子胞中的偽彎曲波模式。在這個過程中，其群速度越來越小。沿著黑色箭頭，黑色水平虛線與第14個子胞的色散曲線相切于黑色空心圓點。此時其模式為耦合模式。此處色散曲線的斜率為0，這說明波的群速度變成了0。由于波動量的守恒，零群速度的波將會反向傳播，波數(shù)k將會變?yōu)閗-2πD-1，即此時Ⅳ區(qū)域中的黑色空心圓點轉(zhuǎn)變成了Ⅱ區(qū)域中的黑色空心圓點。在反向傳播的過程中，反射波遇到的子胞的立柱高度越來越小，其模式逐漸從耦合模式轉(zhuǎn)變?yōu)樽影械膫慰v波模式和偽彎曲波模式。沿著黑色箭頭，最終等頻率線分別與均勻梁中的縱波色散曲線和彎曲波色散曲線相交于黑色實心方點和黑色實心圓點。這代表著反射波在傳出梯度結(jié)構(gòu)梁后，最終轉(zhuǎn)變?yōu)榫鶆蛄褐械目v波和彎曲波。即在這個過程中，完成了從彎曲波到縱波的模式轉(zhuǎn)換。

同樣，通過梯度結(jié)構(gòu)梁也能實現(xiàn)從縱波到彎曲波的模式轉(zhuǎn)換。在圖5的Ⅲ區(qū)域中，等頻率線與均勻梁中的縱波色散曲線相交于灰色實心方點。這代表著入射的縱波，在均勻梁中以灰色實心方點所表示的波數(shù)進行傳播?？v波從均勻梁中傳進梯度結(jié)構(gòu)梁后，遇到的子胞的立柱高度越來越大，等頻率線與色散曲線的交點沿著灰色箭頭逐漸從立柱高度較小的子胞色散曲線上移動到立柱高度較大的子胞色散曲線上，對應(yīng)的波數(shù)也逐漸變化，其模式逐漸從均勻梁的縱波模式轉(zhuǎn)變?yōu)樘荻冉Y(jié)構(gòu)梁子胞中的偽縱波模式。在這個過程中，其群速度越來越小。沿著灰色箭頭，黑色水平虛線與第14個子胞的色散曲線相切于群速度為0的灰色空心圓點。此時其模式為耦合模式。由于波動量的守恒，在反射時，波數(shù)k將會變?yōu)閗-2πD-1，這時Ⅲ區(qū)域中的灰色空心圓點轉(zhuǎn)變成了Ⅰ區(qū)域中的灰色空心圓點。在反向傳播過程中，反射波遇到的子胞的立柱高度越來越小，其模式逐漸從耦合模式轉(zhuǎn)變?yōu)樽影械膫螐澢Ｊ胶蛡慰v波模式。沿著灰色箭頭，最終等頻率線分別與均勻梁中的彎曲波色散曲線和縱波色散曲線相交于灰色實心圓點和灰色實心方點。這代表著反射波在傳出梯度結(jié)構(gòu)梁后，最終轉(zhuǎn)變?yōu)榫鶆蛄褐械膹澢ê涂v波。

通過本節(jié)的以上分析也可以知道，如果入射波是寬帶的，那么不同頻率成分的入射波將會在不同的子胞處達到零群速度，即會在結(jié)構(gòu)中不同的位置處停止向前傳播而發(fā)生反射。頻率越低，對應(yīng)子胞的立柱越高，發(fā)生反射的位置越靠后。這樣就產(chǎn)生了彎曲波-縱波彩虹捕獲效應(yīng)。入射彎曲波在發(fā)生彎曲波-縱波彩虹捕獲效應(yīng)后，反射波中會存在縱波；入射縱波在發(fā)生彎曲波-縱波彩虹捕獲效應(yīng)后，反射波中則會存在彎曲波，即彎曲波-縱波彩虹捕獲效應(yīng)發(fā)生時會伴隨著模式轉(zhuǎn)換。為了直觀地將彎曲波-縱波彩虹捕獲效應(yīng)的發(fā)生位置與入射波頻率對應(yīng)起來，本文把第n個子胞的二階色散曲線的零群速度點所對應(yīng)的頻率（簡稱為零群速度點頻率）fn和兩相鄰子胞的零群速度點頻率fn和fn+1的中間頻率fn，n+1列在表1中，后文中將以fn，n+1作為仿真的入射波頻率。

表1 子胞零群速度點頻率fn和兩相鄰子胞零群速度點頻率的中間頻率fn，n+1Tab.1 Frequency corresponding to point of zero group velocity of subunit and average frequency of points of zero group velocities of two adjacent subunits

3 彩虹捕獲效應(yīng)及模式轉(zhuǎn)換有限元仿真

基于第2節(jié)中所闡述的機理，本文在COMSOL中進行仿真分析，通過頻域仿真驗證彩虹捕獲效應(yīng)，通過時域仿真驗證模式轉(zhuǎn)換。

3.1 頻域仿真與彩虹捕獲效應(yīng)

本文在COMSOL中建立的模擬彩虹捕獲效應(yīng)的有限元仿真模型如圖6所示。通過在線源處施加各個中間頻率fn，n+1的z向激勵以產(chǎn)生相應(yīng)頻率的彎曲波。通過在結(jié)構(gòu)兩邊加合適長度的完美匹配層（PML）吸收傳播到邊界處的彎曲波，從而避免邊界產(chǎn)生反射波擾亂波場。圖7是不同頻率下基梁中的z向歸一化位移場（|w|）。可以看出彩虹捕獲效應(yīng)：不同頻率的入射波傳播到對應(yīng)的子胞位置后，幅值分別迅速減小至零。

圖6 有限元頻域仿真模型（單位：mm）Fig.6 Finite element simulation model in frequency domain(unit:mm)

圖7 彩虹捕獲效應(yīng)Fig.7 Rainbow trapping

3.2 時域仿真與模式轉(zhuǎn)換

本節(jié)將進行有限元時域仿真，通過波在梯度結(jié)構(gòu)梁中傳播時的z向位移幅值與x向位移幅值時間歷程云圖，驗證彎曲波-縱波彩虹捕獲效應(yīng)的模式轉(zhuǎn)換。由于COMSOL時域仿真中沒有完美匹配層設(shè)置，因此通過加長梯度結(jié)構(gòu)梁兩端的均勻梁長度，并讓仿真時間小于彎曲波傳播到邊界所需的時間，來避免彎曲波在邊界的反射。仿真中在線源處施加的位移載荷為5-cycle tone burst函數(shù)，其時域表達式如式（9）所示：

式中：f0為5-cycle tone burst函數(shù)的中心頻率。

圖8a為中心頻率f0=13 075 Hz的彎曲波作為入射波在梯度結(jié)構(gòu)梁中傳播的時間歷程云圖。

圖8 入射彎曲波向反射縱波的模式轉(zhuǎn)換Fig.8 Mode conversion of incident flexural waves to reflected longitudinal waves

其中左半部分為梁表面的z向歸一化位移幅值|w|的時間歷程，右半部分為梁表面x向歸一化位移幅值|u|的時間歷程。以0.3t0（t0=1/f0）為時間步長分別截取時域仿真結(jié)果中基梁的z向歸一化位移幅值|w|云圖和x向歸一化位移幅值|u|云圖，并將其按時間的先后順序進行組合就得到了圖8a。觀察圖8a，入射波的|w|很大。入射波在對應(yīng)的零群速度位置附近停止向前傳播并發(fā)生反射之后，反射波的|w|幾乎為0，而|u|比較大。入射波和反射波波形分別如圖8b和圖8c所示，可以明顯看出入射波和反射波的波形與波長都不同。另外，由于圖8a中每兩個云圖（圖中的小橫條）之間的時間間隔相同，都是0.3t0。故不同云圖中的同一波前連線的傾斜程度可以表征波速，連線越傾斜，波速越小，連線越平緩，波速越大?？梢园l(fā)現(xiàn)，在發(fā)生彩虹捕獲效應(yīng)后波速變大了。這是因為在同一波導(dǎo)中，縱波波速大于彎曲波波速。以上各種跡象表明，正向傳播的彎曲波在發(fā)生彎曲波-縱波彩虹捕獲效應(yīng)后轉(zhuǎn)換成了反向傳播的縱波。

圖9a為中心頻率f0=13 075 Hz的縱波作為入射波在梯度結(jié)構(gòu)梁中傳播的時間歷程云圖，其中左半部分為梁表面的x向歸一化位移幅值|u|的時間歷程，右半部分為梁表面z向歸一化位移幅值|w|的時間歷程。觀察圖9a，入射波的|u|很大，而|w|幾乎為0。反射波的z向位移幅值|w|很大，而|u|很小。入射波和反射波波形分別如圖9b和圖9c所示。入射波和反射波的波形、波長和波速都不同。以上各種跡象與圖8正好相反，這說明正向傳播的縱波在發(fā)生彎曲波-彩虹捕獲效應(yīng)后轉(zhuǎn)換成了反向傳播的彎曲波。

圖9 入射縱波向反射彎曲波的模式轉(zhuǎn)換Fig.9 Mode conversion of incident longitudinal waves to reflected flexural waves

4 結(jié)論

為了通過彩虹捕獲效應(yīng)實現(xiàn)工程結(jié)構(gòu)中常見的彎曲波和縱波的雙向模式轉(zhuǎn)換，本文提出了一種由基梁和立柱組成的梯度結(jié)構(gòu)梁。通過傳遞矩陣法解析求解了子胞的能帶結(jié)構(gòu)，并利用有限元法驗證了其求解過程的正確性。根據(jù)子胞的能帶結(jié)構(gòu)，從波數(shù)變化的角度解釋了彎曲波-縱波彩虹捕獲效應(yīng)及其模式轉(zhuǎn)換的產(chǎn)生機理。通過有限元仿真，驗證了彎曲波-縱波的彩虹捕獲效應(yīng)以及彩虹捕獲效應(yīng)發(fā)生時彎曲波和縱波的雙向模式轉(zhuǎn)換。

作者貢獻聲明：

徐艷龍：公式推導(dǎo)、機理分析、論文撰寫及修改。

王芳?。汗酵茖?dǎo)、有限元仿真、圖片繪制及論文撰寫。

沈一舟：文獻引證及論文修改。

楊智春：理論指導(dǎo)及論文審定。