基于三正交電偶極子天線的MUSIC 估計算法

肖 雄，劉桐辛，姜春華，楊國斌

（武漢大學(xué) 電子信息學(xué)院，湖北 武漢 430072）

0 引 言

利用天線陣列來測量電磁波的波達(dá)方向已經(jīng)有很多年的歷史，同時也演化出了多種不同的到達(dá)角估計方法大類，例如：比幅法[1]、干涉法[2]、最大似然法[3]以及信號子空間法[4-6]?；谔卣鞣纸獾男盘栕涌臻g分解法由于其具有較高的測量精度在實際工程中得到了廣泛的應(yīng)用。其中，MUSIC（Multiple Signal Classification）算法是信號子空間分解法求解波達(dá)方向的代表。

在傳統(tǒng)的陣列信號處理中，電磁波信號的波達(dá)方向（DOA）估計通常只會考慮電磁波信號的時域或者空域的特征信息，卻忽略了電磁波信號的另一種重要特征信息——信號的極化狀態(tài)[7-9]。電磁波信號的極化狀態(tài)是電磁波本身的固有特征信息，描述了電磁波的矢量運動特性。通過對電磁波信號的極化參數(shù)進(jìn)行分析利用，可以增強(qiáng)接收機(jī)系統(tǒng)的分辨能力，提高DOA 估計的性能。

本文提出一種基于三正交電偶極子天線的實虛部分離的MUSIC 估計算法，可以在引入極化信息的同時，降低算法的計算復(fù)雜度，提高了算法的估計性能，完成對波達(dá)方向和極化信息4 個參數(shù)的估計[10]。同時，對算法進(jìn)行了仿真，驗證了算法的可行性，詳細(xì)分析了信號信噪比、采樣快拍數(shù)等對算法估計性能的影響。

1 三正交電偶極子天線接收信號模型

三正交電偶極子天線[11]具有水平方向全向性的特點，通過三正交電偶極子天線可以完整接收到電磁波矢量，再分別對三根天線測出來的分量進(jìn)行正交解調(diào)，就能夠?qū)⑿盘柣夭ǖ膶嵅颗c虛部分離開來。三正交電偶極子天線主要具備以下三個方面的優(yōu)勢[12-13]：三正交電偶極子天線的同點極化分集接收的方式可以用來處理寬帶天線信號；天線具有全向性；天線的空間占用較小，可以同時使用三個互不相干的通道進(jìn)行接收。三正交電偶極子天線模型如圖1 所示。

假設(shè)電磁波信號沿-方向傳播，如圖2 所示，電磁波空間中的波達(dá)方向可以用參量（θ,φ）表示，θ∈[0,π/2 )，φ∈(0,π]分別表示仰角和方位角。用極化橢圓參量（α,ξ）表示電磁波的極化屬性，極化傾角α∈()，長短軸之比ξ∈(0,1)。

首先用極化屬性參數(shù)來表征電磁波。假設(shè)一個橢圓極化平面波，將其稱之為極化平面。在極化平面上，極化橢圓的長軸沿單位矢量方向，短軸沿方向，二者均與電磁波的傳播方向垂直。使這三個單位矢量構(gòu)成右手螺旋坐標(biāo)系，即。則橢圓極化場可以表示為：

在考慮三正交電偶極子天線接收信號的情況下，建立一個與天線方向平行的坐標(biāo)系，將波傳播方向矢量在這個天線坐標(biāo)系里表示出來，得到下式：

通過標(biāo)準(zhǔn)極化坐標(biāo)系向天線坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換可以得到：

綜合式（2）、式（3）、式（5），最終可以得到：

將式（6）展開可以得到：

2 波達(dá)方向和極化信息估計

多重信號分類（MUSIC）算法是一種非常典型的空間譜估計算法。它的基本原理可以解釋為：將陣列信號接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，分解出信號子空間和與有效信號分量正交的噪聲子空間，然后利用子空間之間相互正交的特性，完成波達(dá)方向的估計。

MUSIC 算法用于陣列的波達(dá)方向估計時有以下優(yōu)勢：

1）多個信號同時完成測向的能力；

2）高精度的測向能力；

3）在高速數(shù)據(jù)處理的技術(shù)下可以實現(xiàn)實時數(shù)據(jù)處理。

對于三正交電偶極子天線而言，三根天線所接收到的信號各不相同，可以表示為：

這樣得到的信號的簡化模型為：

其中：

在正常情況下，MUSIC 算法進(jìn)行空間譜估計時，估計的參數(shù)量需要大于或等于陣元數(shù)M，這樣才能使導(dǎo)向矢量矩陣為列滿秩，從而進(jìn)一步完成譜峰估計。但是，由于三正交電偶極子天線導(dǎo)向矢量的特殊性，A=Ar+jAi，Ar=Re(A) ,Ai=Im(A)，導(dǎo)向矢量Ar為列滿秩?？梢允紫葘π盘枌嵅窟M(jìn)行一次三維MUSIC 估計，將方位角、仰角、極化傾角三個參數(shù)解算出來，然后將以上3 個估計量代入導(dǎo)向矢量A中，再進(jìn)行一次一維MUSIC 估計，解算出最后一個參數(shù)長短軸之比，最終提出基于實部虛部分離的MUSIC 估計算法。

上述陣列信號實部的協(xié)方差矩陣可以表示為：

在式（10）中，把協(xié)方差矩陣分成了回波信號和干擾噪聲兩個獨立部分，加號之前的部分為回波信號，加號后面的部分為干擾噪聲部分，σ為噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差。

對協(xié)方差矩陣Rr進(jìn)行特征分解可以得到：

式中：US和UN分別對應(yīng)信號子空間和噪聲子空間，劃分依據(jù)是信號子空間所對應(yīng)的特征值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于噪聲子空間對應(yīng)的特征值。

因為是同一個協(xié)方差矩陣的特征向量所組成的矩陣，US和UN里的列向量是相互正交的，信號子空間代表三正交電偶極子天線接收的信號信息，因此，導(dǎo)向矢量與噪聲子空間亦是正交的。

由于噪聲的存在，導(dǎo)向矢量與噪聲子空間不完全正交，因此使用MUSIC 算法估計DOA 和極化傾角是以最小化搜索來實現(xiàn)的，即就是求得θMUSIC,φMUSIC,αMUSIC使得的值最小。

在解出θMUSIC,φMUSIC,αMUSIC后，將以上3 個參數(shù)代入A中，得到一個只有長短軸之比、一個未知量的導(dǎo)向矢量，對完整回波信號求協(xié)方差矩陣以及特征分解，完成對最后的長短軸之比的最小值搜索，得到ξMUSIC。此時便完成了對方位角、仰角、極化傾角、長短軸之比4 個未知量的求解。

使用基于MUSIC 算法估計DOA 和極化信息可以分為以下幾個步驟：

步驟1：根據(jù)地理坐標(biāo)系擺放三正交電偶極子天線，作為方向基準(zhǔn)；

步驟2：對接收到的三正交電偶極子天線回波矢量進(jìn)行實部虛部分解；

步驟3：對信號實部進(jìn)行特征分解，得到信號子空間和噪聲子空間，將之與導(dǎo)向矢量的實部結(jié)合來搜索出θMUSIC,φMUSIC,αMUSIC；

步驟4：將解算出的θMUSIC,φMUSIC,αMUSIC代入完整導(dǎo)向矢量，然后再對完整信號進(jìn)行特征分解，最后進(jìn)行一維搜索得到ξMUSIC。

算法流程如圖3 所示。

3 算法仿真及性能分析

3.1 可行性

本文首先針對基于三正交電偶極子天線的實虛部分離的MUSIC 算法進(jìn)行波達(dá)方向及極化信息估計的可行性進(jìn)行了驗證。在以三正交電偶極子天線作為接收天線的前提下，假設(shè)僅有一個入射信號來自于方位角φ=120°，仰角θ=10°，極化傾角α=45°，長短軸之比ξ=0.5時，取采樣快拍數(shù)為20 480，信噪比（SNR）為8 dB，可以得到仿真結(jié)果如圖4、圖5 所示。

可見，無論在波達(dá)方向或者是極化信息的二維空間譜中都有唯一的譜峰，并且出現(xiàn)位置的參量對應(yīng)于來波方向，在方位角和仰角截面上可以明顯看出尖銳譜峰，且空間譜峰峰值平均高于背景60 dB 左右，而在極化參數(shù)截面上則強(qiáng)度稍弱，同樣能看出明顯的空間譜譜峰，但是峰值平均大約高于背景25 dB。很顯然，基于三正交電偶極子天線的實虛部分離的MUSIC 算法在波達(dá)方向及極化信息估計上有很高的準(zhǔn)確性，采用這種算法進(jìn)行估計是可行的。

3.2 信噪比

為了進(jìn)一步考察基于三正交電偶極子天線的實虛部分離的MUSIC 算法在波達(dá)方向及極化信息上的估計能力，在不同的信噪比條件下進(jìn)行了仿真測試。在與上述仿真條件相同的情況下，控制SNR 變化范圍為-15～15 dB 時，得到不同的空間譜仿真結(jié)果，此處僅展示-15 dB 和15 dB 的結(jié)果，如圖6、圖7 所示。

可以看出，隨著信噪比的提升，波達(dá)方向和極化信息的空間譜峰變得更加尖銳，并且準(zhǔn)確性有了很大的提升。當(dāng)信噪比為-15 dB 時，對于三正交電偶極子天線而言，噪聲干擾過大，導(dǎo)致其估計結(jié)果并不準(zhǔn)確，與實際模擬的參數(shù)相差甚遠(yuǎn)。而在信噪比為15 dB 時，空間譜形狀尤其是極化參數(shù)空間譜有了極大的改善，且估計結(jié)果十分精準(zhǔn)。

若分別截取對應(yīng)空間譜截面則可以進(jìn)一步得到如圖8、圖9 所示結(jié)果圖。

可以清晰地看出：在信噪比較低的情況下，譜峰位置與初始設(shè)置的參數(shù)并不能一一對應(yīng)，估計結(jié)果存在較大的偏差；但是在信噪比提升的情況下，獲得的估計結(jié)果十分準(zhǔn)確，空間譜峰也變得更加尖銳，可以高于背景30 dB 以上，波達(dá)方向空間譜更是達(dá)到了40 dB。

使用蒙特卡羅方法[14]（Monte Carlo Method）進(jìn)行多次模擬，則可以得到各個參數(shù)的估計值標(biāo)準(zhǔn)差和均方根誤差隨信噪比的變化情況，如圖10、圖11 所示。

由圖10、圖11 可知，隨著信噪比的增大，各參數(shù)估計值的標(biāo)準(zhǔn)差和均方根誤差都逐漸減小，在信噪比大于10 dB 以后，標(biāo)準(zhǔn)差和均方根誤差都極小，角度誤差小于1°，長短軸之比的誤差幾乎為0。因此可以認(rèn)為，在10 dB 信噪比下，算法具有良好的估計精度，所以在實際應(yīng)用中應(yīng)盡可能保證信噪比高于10 dB。

同時為體現(xiàn)算法性能在信噪比上的優(yōu)化，在同等仿真條件下，采用蒙特卡羅方法對干涉法完成多次模擬，得到干涉法算出的空間角度估計值標(biāo)準(zhǔn)差和均方根誤差隨信噪比的變化情況，如圖12、圖13 所示。

由圖12、圖13 可知，干涉法在SNR=30 dB 時的測角誤差與測角標(biāo)準(zhǔn)差與本文提出算法在SNR=10 dB 時相當(dāng)，即干涉法只能在信噪比高于30 dB 時正常工作，擁有較為精準(zhǔn)的估計值，而基于三正交電偶極子天線的MUSIC 算法在信噪比為10 dB 時，就能擁有較準(zhǔn)的估計值。

3.3 快拍數(shù)

若控制其他條件不變進(jìn)而考察快拍數(shù)對算法估計性能的影響時，取信噪比為10 dB，設(shè)置快拍數(shù)N分別為1 280 和20 480，則可以得到如圖14、圖15 所示的仿真結(jié)果。

可以明顯看出，在信噪比較高的情況下，隨著快拍數(shù)增加，空間譜形狀有所優(yōu)化，空間譜峰變得更加尖銳，與背景的差值也會有所增大，當(dāng)快拍數(shù)達(dá)到N=20 480時，能更好地分辨出譜峰的位置。

再次使用蒙特卡羅方法進(jìn)行多次模擬，可以得到各個參數(shù)的估計值標(biāo)準(zhǔn)差和均方根誤差隨快拍數(shù)的變化情況，如圖16、圖17 所示。

從圖16、圖17 中可以看出，在信噪比為10 dB 的情況下，隨著快拍數(shù)的增加，各個參數(shù)的估計值標(biāo)準(zhǔn)差和均方根誤差隨之減小，在快拍數(shù)N大于7 680 時，角度值的估計值標(biāo)準(zhǔn)差和均方根誤差都小于1°，長短軸之比的誤差也幾乎為0?？梢员砻髟赟NR 一定的情況下，提高快拍數(shù)可以增加估計精度。

4 結(jié) 語

本文基于三正交電偶極子天線的理想導(dǎo)向矢量，提出了一種實虛部分離的MUSIC 算法，用于二維空間角和二維極化信息聯(lián)合估計。在引入極化信息的同時，不但沒有增加算法的計算復(fù)雜度，反而進(jìn)一步提高了算法的估計性能，完成對波達(dá)方向和極化信息4 個參數(shù)的估計。通過實驗仿真對算法可行性完成了驗證，同時詳細(xì)分析了多種參數(shù)變化對于算法估計性能的影響，為后續(xù)定位實驗打下堅實的理論基礎(chǔ)。