從一道平拋運(yùn)動練習(xí)題看數(shù)學(xué)與物理的結(jié)合

栗麒婷

筆者近期從一道平拋運(yùn)動練習(xí)題中，深刻體會到了數(shù)學(xué)知識在物理解題中的應(yīng)用，有些時(shí)候數(shù)學(xué)手段可以幫助我們更好地分析解決問題，現(xiàn)與大家分享。

題目如下：如圖所示，豎直平面內(nèi)有一個(gè)四分之一圓弧AB，0A為水平半徑，現(xiàn)從圓心0處以不同的初速度水平拋出一系列質(zhì)量相同的小球，這些小球都落到圓弧上，不計(jì)空氣阻力，則小球落到圓弧上時(shí)（D）

A.越靠近A點(diǎn)飛行時(shí)間越長

B.速度方向可能沿半徑向外

C.越靠近A點(diǎn)速度越大

D.越靠近A點(diǎn)初速度越大

解析如下：從排除法結(jié)合正確選項(xiàng)分析判斷的角度來講，此題很容易選出正確答案。A選項(xiàng)飛行時(shí)間的長短主要看豎直方向下落的距離，距離越大，下落時(shí)間越長，故A錯(cuò)誤。B選項(xiàng)：根據(jù)速度的反向延長線過水平位移的中點(diǎn)可知，速度方向不可能沿半徑向外，故B錯(cuò)誤。D選項(xiàng)：根據(jù)以及可知，越靠近A點(diǎn)，水平位移x越大，時(shí)間t越小，則初速度越大。故D正確。C選項(xiàng)：越靠近A點(diǎn)，水平速度（即初速度）越大；根據(jù)可知，越靠近A點(diǎn)，豎直方向速度越小，那么合速度怎樣變化呢，我們并不清楚。但不影響選出正確選項(xiàng)。

那C選項(xiàng)合速度究竟是怎樣的變化情況？我重新思考，寫出表達(dá)式并將數(shù)學(xué)和物理相結(jié)合進(jìn)行推導(dǎo)，得出合速度先減小再增大的結(jié)論，并求出了合速度的最小值。

推導(dǎo)過程如下，與大家分享：

設(shè)小球落在四分之一圓弧上的點(diǎn)與拋出點(diǎn)0的連線與水平方向的角為θ，則可列如下三個(gè)式子：

（1）

（2）

（3）

再帶入 （4）整理可得

（）? （5）

這個(gè)時(shí)候我們需要用到數(shù)學(xué)的處理方法，令，則，同時(shí)（5）式可整理為

（6）

從數(shù)學(xué)的角度看，這顯然是一個(gè)對號函數(shù)，當(dāng)（即，）時(shí)，速度有最小值，此時(shí)落點(diǎn)與水平方向的夾角為。當(dāng)時(shí)，速度隨角度的增大而減?。划?dāng)時(shí)，速度隨角度的增大而增大。綜上，在靠近A點(diǎn)的過程中，速度先減小再增大，C選項(xiàng)錯(cuò)誤。

從這個(gè)題目中，我們可以看到數(shù)學(xué)知識在物理學(xué)習(xí)和解題中的重要性，希望老師能有意識地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，并把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到物理解題中去。