關于區(qū)間值函數的Opial型不等式的進一步推廣

連俊勤，趙大方

(湖北師范大學 數學與統(tǒng)計學院，湖北 黃石 435002)

0 引言

1960年，波蘭數學家Opial[1]建立了下面的積分不等式：

假設f∈C1[0,h]滿足f(0)=f(h)=0，且f(x)>0對任意的x∈(0,h)都成立，則

此后，Beesack、華羅庚、Agarwal、趙長健等對Opial不等式進行了不同形式的推廣[2～5]。由于Opial不等式在微積分和微分方程等領域的重要應用，至今仍是不等式研究領域的熱點。國內外學者對Opial不等式及其應用進行了廣泛的研究，在右端系數的精確估計、連續(xù)型推廣以及離散化推廣等方面取得了豐碩的成果[5-10]。最近幾十年，區(qū)間分析作為一種新的解決不確定性問題的方法被廣泛應用，而且區(qū)間值函數的積分理論是區(qū)間分析的重要組成部分。近年來，一些經典的積分不等式被推廣到區(qū)間值函數的形式中，諸如Ostrowski不等式[11]、Beckenbach不等式[12]、Chebyshev不等式[13]等。2019年，Costa等人[14]建立了區(qū)間值函數的Opial型不等式，獲得了一些富有意義的結果，但其主要結論中不等式的右端系數并不是最優(yōu)的。2022年，Zhao等人[10]進一步推廣了文獻[14]中區(qū)間值函數的Opial型不等式。在文獻[10]和[14]的研究基礎上，我們對區(qū)間值函數的Opial型不等式的右端系數進行了進一步的優(yōu)化，得到了一些新的結論，所得結論也可作為進一步解決區(qū)間微分方程、區(qū)間差分方程以及模糊區(qū)間值函數不等式等相關問題的研究工具。

1 預備知識

令Kc()是上全體有界閉區(qū)間的集合，Kc()={[r,對任意的A=[a,b,()，λ∈，區(qū)間運算規(guī)定如下：

A?B=C?A=B+C

即對?A∈Kc()，有A?A=[0,0].但對于Kc()中任意兩個不同的區(qū)間，其H-差不一定存在。為解決這個問題，2009年，Stefanini和Bede[16]引入了gH-差：

即gH-差對Kc()中任意A,B都成立，有

顯然，(Kc(),d)是完備的度量空間，其中d為Kc()上的Hausdorff度量，對?A,B∈Kc()，有

此外，易知(Kc(),+,·)為擬線性空間，其中擬范數為：

定義1 (Stefanini和Bede[16])

定義2 (Stefanini和Bede[16])

設x0∈(s,t)，p在x0處是gH-可導。

若x0在的任意鄰域U內，存在x1

2 關于區(qū)間值函數的Opial型不等式的進一步推廣

定理1 假設P,Q∶[s,t]→是[s,t]上的實值絕對連續(xù)函數，μ1,μ2≥2.

1) 如果P(s)=Q(s)=0，則

|(P(x))μ1(Q′(x))μ2|+|(Q(x))μ1((P′(x))μ2|

)dx

(1)

2) 如果P(s)=P(t)=Q(s)=Q(t)=0，則

|(P(x))μ1(Q′(x))μ2|+|(Q(x))μ1(P′(x))μ2|

)dx

(2)

證明 若P(s)=Q(s)=0，則

從而有

因此，我們有

同理可得

從而即證(1)式。

從而即證(2)式。

例1 若P(x)=x,Q(x)=x(cosx-1)為[0,1]上的實值絕對連續(xù)函數，μ1=8,μ2=8.

(x)8·(cosx-xsinx-1)8+(x(cosx-1))8·18

)dx

≈0.36

≈0.84.

(3)

證明：根據范數的定義，有

由文獻[10]中的引理3.1，我們有

再根據定理1的(1),我們有

結合上面的三個式子，我們有

從而即證(3)式。

(4)

證明 定理3的證明與定理2的證明類似，故省略。

(5)

從而即證不等式(5).

3 結論

本文主要研究了關于區(qū)間值函數的Opial型不等式，推廣并改進了一些單變量的關于區(qū)間值函數的Opial型不等式，為今后研究多變量的關于區(qū)間值函數的 Opial型不等式做了一些基礎工作。

Further generalization of the Opial type inequalities for interval-valued functions

LIAN Jun-qin，ZHAO Da-fang