矩陣逆的教與學(xué)

劉曉冀，王宏興，嚴(yán) 慧

(1.廣西民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，廣西 南寧 53006；2.湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

0 引言

矩陣在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)與控制論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等各個(gè)數(shù)學(xué)分支都有著廣泛的存在，是諸多學(xué)科研究領(lǐng)域不可或缺的工具之一，是線性代數(shù)、高等代數(shù)等課程的主要組成部分。1858年，英國數(shù)學(xué)家阿瑟·凱萊(Arthur Cayley，1821-1895)在《矩陣論的研究報(bào)告》中引入矩陣逆的概念。在高等代數(shù)課程教學(xué)中，一般安排2個(gè)課時(shí)講解矩陣逆的定義、計(jì)算和基本性質(zhì)。值得注意的是，矩陣逆的相關(guān)理論及其應(yīng)用貫穿整個(gè)高等代數(shù)課程主要章節(jié)。授課教師對(duì)逆的理解和綜合應(yīng)用是高質(zhì)量完成該知識(shí)點(diǎn)課堂教學(xué)的關(guān)鍵。本文主要簡介矩陣逆、逆的性質(zhì)與計(jì)算、逆與其他知識(shí)點(diǎn)的關(guān)系、廣義逆及其應(yīng)用等。

1 逆的基本性質(zhì)

定義1 設(shè)A是n階方陣。若存在n階方陣B，使得AB=BA=En，其中En是n階單位矩陣，則稱A是可逆矩陣，B是A的逆，記為A-1.

矩陣逆的定義形式簡潔優(yōu)美且內(nèi)涵豐富。由上述定義，我們就可以得到可逆矩陣若干具有廣泛應(yīng)用的性質(zhì)，如：設(shè)A是n階可逆方陣，則對(duì)任意的n維列向量b，x=A-1b是矩陣方程Ax=b的唯一解；(AB)-1=B-1A-1；(A-1)-1=A；A的行列式的值不等于0等。值得強(qiáng)調(diào)的是可逆矩陣及其相關(guān)問題在各個(gè)章節(jié)都有討論，如：

1) 記f(x)=xt+a1xt-1+…+at-1x+at，t∈+其中at≠0.若f(A)=0則A是可逆的，且

著名的Cayley-Hamilton公式是其一個(gè)特例；

2)矩陣A可逆等價(jià)于其行列式的值不等于0；A-1的行列式的值等于原行列式值的倒數(shù)；伴隨矩陣法是求矩陣逆的方法之一；

3)n階可逆矩陣A的秩等于n；Ax=0只有零解；

4)實(shí)數(shù)域正定二次型對(duì)應(yīng)的正定矩陣A是可逆的，其順序主子式都大于0，且存在實(shí)可逆矩陣D使得A=DDT；

5)線性空間基變換對(duì)應(yīng)的過渡矩陣是可逆的；n階可逆矩陣A的列向量生成的空間是維數(shù)為n的線性空間；

6)可逆的線性變換與對(duì)應(yīng)的逆矩陣對(duì)應(yīng)，且逆變換對(duì)應(yīng)于逆矩陣；恒等變換、非零的數(shù)乘變換都屬于可逆變換；可逆矩陣的特征值都不為零等。

眾多特殊矩陣是可逆矩陣，如初等變換對(duì)應(yīng)的初等矩陣、快速傅里葉變換對(duì)應(yīng)的傅里葉矩陣等。部分特殊矩陣的逆與原矩陣有很好的關(guān)系，這些特殊矩陣應(yīng)用廣泛，也是鞏固相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的優(yōu)質(zhì)例題：如酉矩陣、友矩陣等。

2 求矩陣的逆

在求矩陣逆的時(shí)候首先要判定矩陣是可逆的。關(guān)于矩陣可逆的判定方法很多，如利用行列式、向量組、線性變換、核空間的維數(shù)、初等矩陣、等價(jià)性、矩陣方程的可解性、特征值、正定矩陣等。當(dāng)然還有一些其他的方法，如：特殊矩陣：分塊對(duì)角矩陣可逆等價(jià)于每個(gè)對(duì)角塊可逆：

即

我們也可以用初等變換法、伴隨矩陣法等方法求矩陣的逆。在高等代數(shù)學(xué)習(xí)中，矩陣分解也是一個(gè)有趣的方法。如：設(shè)A是一個(gè)n階可逆矩陣，U和V是n×r矩陣，X是r階可逆的，則A+UXV*可逆等價(jià)于X-1+V*A-1U可逆。且

(A+UXV*)-1=A-1-A-1U(X-1+V*A-1U)-1V*A-1

上述等式被稱為Sherman-Morrison-Woodbury公式。分塊矩陣的逆也是研究的重點(diǎn)之一：

關(guān)于四分塊矩陣逆的表示有許多，特別是在部分元素是特殊矩陣時(shí)，其逆的表達(dá)式十分有趣，更多細(xì)節(jié)參考文獻(xiàn)[1，2]。當(dāng)A是可逆矩陣時(shí)，可以給出Ax=b的精確解。這使得矩陣逆在理論上具有極為重要的意義。隨著矩陣階數(shù)的增加，應(yīng)用一般方法求給定矩陣逆非常困難(復(fù)雜度為O(n3))，這就需要針對(duì)具體問題和特殊矩陣提出相應(yīng)快速有效的計(jì)算方法，這也是后續(xù)矩陣計(jì)算重點(diǎn)研究的內(nèi)容之一[3,4]。

3 廣義逆

在上述定義1中，我們看到可逆矩陣是方陣。在實(shí)際的應(yīng)用中，眾多矩陣不是方陣。此時(shí)，這些矩陣不能討論其是不是可逆。

首先，把方陣的逆推廣到行(列)滿秩矩陣，引入右(左)逆。設(shè)A是m×n矩陣，若存在m×n矩陣B使得AB=Em，則稱A是右可逆的，B是A的右逆；若存在n×m矩陣C使得CA=En則稱A左可逆的，C是A的左逆。例如，設(shè)A=[1 0]，則B[1x]對(duì)任意的x都有AB*=E1.顯然，這里的B不是唯一的。由定義1可以得到，可逆方陣的左逆和右逆都是存在的且相等。在高等代數(shù)教材中有：方陣是可逆的等價(jià)于其是左(或右)逆存在。這也是我們?cè)谇蠓疥嘇的逆時(shí)，有時(shí)候只考慮AX=Em(或者XA=En)的理論依據(jù)。從這里也可以看到，逆推廣到廣義逆是自然的。高等代數(shù)中關(guān)于左(右)逆的學(xué)習(xí)為后續(xù)廣義逆的學(xué)習(xí)做了重要的鋪墊。下面介紹矩陣的Moore-Penrose逆。

1920年，E. H. Moore利用正交投影算子在復(fù)矩陣中定義了該逆。著名的數(shù)學(xué)物理學(xué)家、諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者R. Penrose在1955年給出了如下刻畫。

定義2 設(shè)A是m×n矩陣，則存在唯一的矩陣X滿足

AXA=A,XAX=X,(AX)*=AX,(XA)*=XA

稱之為A的Moore-Penrose逆，記為A.

在矩陣A是可逆方陣時(shí)，A-1是唯一滿足定義2中四個(gè)等式的矩陣。Moore-Penrose逆在矩陣計(jì)算、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、控制論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，是矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用研究中不可或缺的工具之一。如x=Ab是不相容矩陣方程的極小范數(shù)最小二乘解，且該解唯一。Moore-Penrose逆的理論及其應(yīng)用研究一直備受關(guān)注：2021年Fritzsche和M?dler給出四分塊矩陣Moore-Penrose逆的新的表達(dá)式；Bajo應(yīng)用多項(xiàng)式計(jì)算矩陣的Moore-Penrose逆；Zhuang、Lin和Toh 研究Moore-Penrose逆的算法及其應(yīng)用等，更多關(guān)于其研究見參考文獻(xiàn)[5～7].

下面我們介紹另一類重要的廣義逆：Drazin逆。該逆是1958年M. P. Drazin在研究結(jié)合環(huán)和半群時(shí)引入的。由于其具有較好的譜性質(zhì)及其在馬爾科夫鏈、奇異微分方程等問題中的應(yīng)用受到廣泛關(guān)注。

定義3 設(shè)A是n階方陣，k是滿足rank(Ak+1)=rank(Ak)的最小正整數(shù)，記為Ind(A)=k，則存在唯一的矩陣X滿足

AXAk=Ak,XAX=X,AX=XA

稱之為A的Drazin逆，記為AD.特別是在Ind(A)=1時(shí)，我們稱之為A的群逆，記為A#.

最后我們介紹最近受到關(guān)注的一類新型廣義逆：core逆。

2010年，Baksalary和Trenkler在參考文獻(xiàn)[8]中引入該逆。Wang和Liu在參考文獻(xiàn)[9]中給出core逆的如下刻畫：

定理4 設(shè)A是n階方陣，Ind(A)=1，則存在唯一的矩陣X滿足

AXA=A,AX2=X,(AX)*=XA

稱之為A的core逆，記為A⊕.

矩陣分解是研究廣義逆的一個(gè)強(qiáng)有力工具。我們應(yīng)用矩陣秩分解給出上述廣義逆的若干表示。以下定理5和定理6來自參考文獻(xiàn)[9，10，11].

定理5[滿秩分解] 設(shè)A是m×n矩陣，rank(A)=r，則存在A1和A2使得A=A1A2，其中A1是m×n列滿秩矩陣，A2是r×n行滿秩矩陣。

定理6 設(shè)A是m×n矩陣，rank(A)=r，A=A1A2是滿秩分解，則

若m=n，Ind(A)=1，則

A#=A1(A2A1)-2A2

在方陣逆的研究中我們可以看到(AB)-1=B-1A-1、A-1(A+B)B-1=A-1+B-1等結(jié)果是容易驗(yàn)證成立的。一般情況下，這些結(jié)果不能推廣到廣義逆。如A{1,2}B{1,2}?AB{1,2}，其中A{1,2}={X|AXA=A,XAX=X}，直到1998年，才被Alvaro R. De Pierro和Musheng Wei應(yīng)用廣義奇異值分解解決[18,19]。

更多關(guān)于經(jīng)典廣義逆和新型廣義逆的性質(zhì)、計(jì)算和結(jié)論可參考文獻(xiàn)[10～12，20～22等]。

4 結(jié)論

逆是一個(gè)非常廣義的概念，存在于數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，如數(shù)學(xué)分析中的逆映射、概率論中的逆事件。本文討論的是矩陣的逆，并簡述了矩陣的逆和廣義逆的若干相關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用。把廣義逆理論介紹給本科生是可行的，如東南大學(xué)陳建龍教授等把廣義逆、矩陣分解等最新的研究成果融入線性代數(shù)課程建設(shè)中，取得理想的效果[11]。期待本文內(nèi)容能夠?yàn)椴糠纸處焸湔n和學(xué)生學(xué)習(xí)提供幫助。另外，以逆作為主線可以開展本科高等代數(shù)(線性代數(shù))課程思政，如逆與線性代數(shù)各個(gè)章節(jié)的關(guān)系、逆與廣義逆的關(guān)系、國內(nèi)學(xué)者在廣義逆理論研究的突出成果等都是開展課程思政的切入點(diǎn)。

Teaching and learning of matrix inverse

LIU Xiao-ji1，WANG Hong-xing1，YAN Hui2