對2021年高考數(shù)學試題綜合難度的比較研究
——基于AHP 理論的試卷綜合難度模型

黃一釗，潘繼斌

(1.湖北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北 黃石 435002；2.十堰市第一中學，湖北 十堰 442000)

1 問題提出

高考試卷命題改革對基礎教育有導向作用，受到國家高度重視。2014年9月印發(fā)的《國務院關于深化考試招生制度改革的實施意見》標志著新一輪考試招生制度改革的全面啟動[1]，2019年6月發(fā)布的《國務院辦公廳關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》強調試題難度的設置要科學合理，符合課標與學生實際情況[2]。2019年發(fā)布的《普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱》總綱也明確提出高考應具有適當?shù)碾y度[3]。

教育部考試中心在高考數(shù)學命題上堅持改革創(chuàng)新，提倡不分文理科，試題的形式繼續(xù)采用了多選題型和開放題型，內容上逐漸增加了結合現(xiàn)實情境、數(shù)學文化的新題目。2021年的高考有七個省份使用了不區(qū)分文理試卷的全國新課標Ⅰ卷，將全國Ⅰ卷、Ⅱ卷進行合并，統(tǒng)稱為全國乙卷，全國Ⅲ卷改為全國甲卷。

在高考數(shù)學試題命題的改革變化背景下，有必要分析其綜合難度變化，對試卷做出定量分析與定性探索，準確地評估試卷的質量，幫助數(shù)學老師改進教學，也給學生和家長一些啟示與導向。

本文研究基于AHP 理論的數(shù)學高考試題綜合難度模型[4]，對 2021年的全國數(shù)學甲卷文科、理科、新課標Ⅰ卷進行了科學的統(tǒng)計和分析。

2 研究工具

2.1 難度模型研究

Nohara在2001年提出了一份數(shù)學試卷的難度模型的報告[5]。在經(jīng)過近二十年國內比較研究的發(fā)展后，鮑建生提出的用于評價數(shù)學習題、教材與課程難度的綜合難度系數(shù)模型成為國內許多模型的基礎。武小鵬等人結合高考試題特點，對綜合難度模型做出了改進，加入思維方向、有無參數(shù)兩個因素[6]。而后張玉環(huán)在此基礎上增加了梯度用于針對解答題中的相互關聯(lián)情況，最終形成了更適合高考數(shù)學考題，同時也更契合數(shù)學學科核心素養(yǎng)的難度系數(shù)模型。本文使用的難度模型中包含八個維度，認知、背景、推理、運算、知識含量、是否含參數(shù)、思維方向和梯度，各因素不同水平由低到高進行賦值，具體見表1：

表1 基于高考數(shù)學試題的綜合難度模型結構與內涵

文中使用鮑建生提出的難度系數(shù)模型公式，對表中的綜合難度模型框架進行各因素加權平均值Di的計算，公式如下：

(1)

其中，Di(i=1,2,3,…,8)分別表示為上述的八個難度因素維度的加權平均值，dij表示為第i個難度因素的第j個水平的權重，n為題目的總數(shù)，nij表示為第n個題目中屬于第i個難度因素的第j個水平題目的個數(shù)。

關于各難度因素在整個試題中所占的權重均值ki，根據(jù)最新的文獻參考，采用專家和一線教師評分的方式，確定上述八個維度的權重分別對應為：

這樣可以得到整張試卷的總綜合難度系數(shù)模型D的公式：

(2)

2.2 研究對象

2021年教育部考試中心命制了四套試題，分別為區(qū)分歷史方向和物理方向的全國甲卷、全國乙卷。以及不區(qū)分歷史方向和物理方向的新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷。擬選用全國甲卷的歷史方向、物理方向分卷和新高考Ⅰ卷作為研究對象。

2.3 編碼方法

按照表2中綜合難度系數(shù)模型不同水平的8個因素的描述對考題進行編碼，編碼示例如下。

表2 綜合難度系數(shù)模型各因素權重

例(全國新高考Ⅰ卷第8題)

8.有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則( )

A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立

該題編碼為運用水平 A2(將數(shù)學原理和概念運用到具體問題的解決中)。生活背景B2、無參數(shù)C1(題目涉及的計算都是靜態(tài)的數(shù)值運算，沒有涉及到數(shù)值的變化)、簡單符號運算D3(有一定的公式推導及其變形)、E2復雜推理 (推理涉及復雜關系的解析和多種變化, 一般在 3 步以上)、單個知識點F2(相互獨立事件的概率運算)、逆向思維G2(由概率運算結果反推導出是否為相互獨立事件)、梯度H1(獨立小題，無聯(lián)系)

對全國高考Ⅰ卷文、理科和新高考Ⅰ卷試題編碼后的原始數(shù)據(jù)進行匯總統(tǒng)計，并計算各分維度難度系數(shù)后得到表3：

表3 全國數(shù)學甲卷文科、理科Ⅰ卷試題綜合統(tǒng)計

續(xù)表3

3 研究過程與結果

下面對三套試卷從難度模型的8個方面分別進行比較分析，將不同水平上的占比差異度指標按照差異小、差異中等、差異大三類進行分組，最后對三者的綜合難度系數(shù)作出比較。其中折線圖的橫軸表示認知因素的不同水平，縱軸表示三套試卷在不同水平上的占比。

3.1 三套試卷差異小的維度

圖1～4可以直觀看出，在背景因素、思維方向、是否含參數(shù)和問題梯度四個維度上，三套試卷的設置基本一致，在背景因素和思維方向上，三套試卷均為無背景的題目多于有生活背景的題目；順向思維的題目多于逆向思維的題目。

圖1 背景因素不同水平變化折線對比

圖2 思維方向因素不同水平變化折線對比

需要注意的是，在是否含參數(shù)方面，近幾年來，高考含參數(shù)的題目所占的比例越來越高，題目的總體難度在加大；在問題梯度方面，新高考Ⅰ卷試題的第十六題中，設置了互有聯(lián)系的前后兩個小問，使得新高考Ⅰ卷試題的梯度水平更高，這也給高中的學生提出了更高的要求。

圖3 是否含參因素不同水平變化折線對比

圖4 問題梯度因素不同水平變化折線對比

3.2 三套試卷差異中等的維度

由圖5～6可知，在認知水平與推理能力兩個維度上，三套試卷的設置出現(xiàn)了一定差異。具體來看，在認知水平上，全國甲卷理科試題在分析的層次顯著高于另外兩套試卷，這一定程度上也反映出文理試卷難度上的差異性；在推理能力方面，高考Ⅰ卷和全國甲卷理科的簡單推理和復雜推理水平的題目數(shù)量都基本一致，而全國甲卷文科的簡單推理水平題目較多，復雜推理水平題目較少，展現(xiàn)出其較低的難度。

圖5 推理能力因素不同水平變化折線對比

圖6 認知水平因素不同水平變化折線對比

3.3 三套試卷差異大的維度

由圖7～8可知，在運算水平與知識含量兩個維度上，三套試卷呈現(xiàn)出較大的差異。

在運算水平維度上，在四種運算水平均有涉及的情況下，全國甲卷理科試題和新高考Ⅰ卷試題的運算難度明顯高于全國甲卷文科。在學生較難掌握的符號運算方面，文科卷的試題量要少于另外兩套試卷。而新高考Ⅰ卷的試題中，復雜數(shù)值運算的題目比全國甲卷理科試題要多，復雜符號運算水平的題目又相對較少，說明新高考試題更加側重于中等難度的運算水平試題。

圖7 知識含量因素不同水平變化折線對比

圖8 運算水平因素不同水平變化折線對比

在知識含量維度上，單個知識點的試題數(shù)量中，全國甲卷文科試題最多，而新高考的試題最低。但在含有兩個知識點的題目數(shù)量上，新高考試題遠遠多于另外兩套試卷，達到了全卷59.1%的題量。在含有三個及三個以上知識點的題目數(shù)量上，新高考試卷又回落到和全國甲卷文科相同的比例上，低于全國甲卷理科。

3.4 各因素綜合難度分析

在得到分維度的難度系數(shù)表后，再利用上述研究獲得的權重系數(shù)，將編碼數(shù)據(jù)帶入公式(1)，即可達到各個因素的難度系數(shù)，由此繪制出圖9：

圖9 三套高考數(shù)學試題不同因素綜合難度系數(shù)雷達圖

該雷達圖反映出三套試卷的難度差異主要集中體現(xiàn)在認知水平、運算水平和知識含量上。從圖中也能看出，新高考Ⅰ卷更加傾向于中等難度的題目。

根據(jù)上文中已有研究建立的權重系數(shù)和公式(2)，我們可以最終算出全國甲卷理科的綜合難度系數(shù)為D1=17.486,全國甲卷文科的綜合難度系數(shù)為D2=16.361,新高考Ⅰ卷的綜合難度系數(shù)為D3=17.241.新高考Ⅰ卷的難度介于文理科試卷之間，滿足同時考慮到歷史方向考生和物理方向考生的要求，也符合我們對2021年高考數(shù)學的難度認知。

4 研究結論與建議

4.1 研究結論

在綜合難度方面，高考的難度變化平穩(wěn)，考察內容全面。新高考Ⅰ卷在題量和題型未做出大量改變的前提下，將試卷的綜合難度控制在介于全國甲卷文理科試卷之間，同時照顧到了歷史和物理方向上的考生，為將來的高考試題難度提供了錨點。試卷在考察范圍上并未做出大量改變，內容緊扣高中課標，分布均勻，既考察全面又能考慮到重難點的內容，在考察內容上依舊具有全面性。

同時，新高考更注重基礎知識的考察。根據(jù)分維度的難度分析，新高考Ⅰ卷的中檔題型的比例達到了新高。無論是知識含量、認知水平還是運算水平，試卷都呈現(xiàn)出“中間大，兩頭小”的紡錘型模式。這也說明新高考中更加注重基礎知識的考察，不出偏難怪題，檢驗學生的上課聽講與課后復習工作。

最后，高考注重題目的系統(tǒng)性與綜合性。數(shù)學學科具有所有學科中最深刻的內在聯(lián)系，具有極為嚴謹?shù)南到y(tǒng)性。在數(shù)學試題的考察中，問題之間前后具有橫向和縱向聯(lián)系的情況將會越來越多見。尤其是在解答題中，對知識點進行綜合性的考察，使得每一道解答題都達到了認知與運算的最高水平，讓高水平的學生能一窺到數(shù)學學科之美。

4.2 建議

隨著高中數(shù)學課程改革的推進，高考改革也得到了深化．《國務院關于深化考試招生制度改革的實施意見》指出：高考應依據(jù)高校人才選拔要求和國家課程標準，科學設計命題內容，增強基礎性、綜合性，著重考查學生獨立思考和運用所學知識分析問題、解決問題的能力[7]。

為使命題者、教師與學生能更準確的把握試卷難度，基于以上的高考試題研究結論，通過分析可以得出高考試題的幾點變化方向。

首先，試題將考察學生數(shù)學核心素養(yǎng)，拓寬學生思維。近年來的高考數(shù)學試題頻繁出現(xiàn)新題型、開放式題型，這樣的試題能夠拓展學生的思維過程，激發(fā)學生的創(chuàng)新意識，幫助學生用數(shù)學的思維方式觀察與思考，這體現(xiàn)了數(shù)學的核心素養(yǎng)。

其次，試題具有全面性，適合每一位學生的水平。新高考的試題更加著重于基礎知識與中等難度的題目，對于學生而言，這意味著每一個層次的學生都能在高考試題中找到自己對應的能力水平，同時找到對應的下一層次的目標。

最后，試題的難度平穩(wěn)變化，將來可能更加注重區(qū)分度。在新高考大范圍實施的第一年，為了同時照顧到了歷史和物理方向上的考生，新高考試題的綜合難度最終確定于全國甲卷的文理科之間。在未來，高考試題的綜合難度將穩(wěn)中有升，更加具有區(qū)分度。

A comparative study on the comprehensive difficulty of 2021 college entrance examination math questions
——Comprehensive difficulty model of test thesis based on AHP theory

HUANG Yi-Zhao1,2，PAN Ji-bin1