一類高階非線性分數(shù)階多點邊值問題解的存在性

劉 暢，王文霞

(太原師范學院 數(shù)學系，山西 晉中 030619)

0 引言

分數(shù)階微積分的概念是整數(shù)階微積分到任意階的推廣。相比于整數(shù)階導數(shù),分數(shù)階導數(shù)可以更好地描述過程的記憶性和遺傳性。分數(shù)階微分方程在自動控制、航天技術、信號識別、生物數(shù)學、物理學、力學等領域廣泛應用。

分數(shù)階微分方程邊值問題近年來備受關注，見文獻[1～4]。在不同邊界條件下的微分方程解的存在性是分數(shù)階微分方程理論研究的一個重要領域,見文獻[5～8]。近年來一些作者研究了高階分數(shù)階微分方程的邊值問題,見文獻[9～11]。

文獻[9]研究了如下分數(shù)階微分方程m點邊值問題正解的存在性：

(1)

其中i≥0是整數(shù)，n為整數(shù)，i≤n-2,α≥2,0

文獻[10]研究了如下非線性項依賴未知函數(shù)的分數(shù)階導數(shù),且具有非線性邊界條件的分數(shù)階微分方程的邊值問題：

(2)

其中n>3,1≤γ≤β≤n-2,f∶[0，1]×[0，∞)×[0，∞)→[0，∞),g∶[0，1]×[0，∞)→[0，∞),k∶[0，∞)→[0，∞)是連續(xù)函數(shù)。作者運用了錐上的不動點理論,得到了邊值問題(2)的唯一正解存在的充分條件。

文獻[11]研究了如下分數(shù)階微分方程無窮點邊值問題：

(3)

其中α>2,n-1<α≤n,i∈[1,n-2]是整數(shù)，αj≥0,0<ξ1<ξ2<…<ξj-1<ξj<…<1

(j=1,2,…)。作者運用Schauder不動點定理,建立了邊值問題(3)正解的存在性定理。進一步,利用凹算子的不動點定理給出了邊值問題正解的存在唯一性結果。

受上述文獻啟發(fā),本文研究如下高階非線性分數(shù)階微分方程多點邊值問題：

(4)

其中n>3,1<γ≤β≤n-2,j∈[1,n-2]是整數(shù),0≤ξ≤1,0<η≤1,a,b,λ,μ都為正數(shù),f∶[0，1]××→,g∶→是連續(xù)函數(shù),是Riemann-Liouville導數(shù)。

本文運用Leray-Schauder非線性抉擇原理,討論邊值問題(4)解的存在性的充分條件。

1 預備知識和引理

定義1[1]連續(xù)函數(shù)f∶(0，+∞)→的α>0階Riemann-Liouville分數(shù)積分定義為

其中,等式的右端在(0,+∞)有定義。

定義2[1]連續(xù)函數(shù)f∶(0，+∞)→的α>0階Riemann-Liouville分數(shù)導數(shù)定義為

其中n=min{m∈∶m≥α},等式的右端在(0，+∞)有定義。

引理1[1]假設u∈C(0,1)∩L(0,1)有α>0階導數(shù)屬于C(0,1)∩L(0,1).則

ci∈,i=1,2,…,n,其中n大于或等于α的最小整數(shù)。

引理2 若h(t)∈C[0,1],則下面邊值問題

有唯一解x(t)且

其中

證明 由引理1,將微分方程轉化為等價的積分方程

于是

由xi(0)=0得,cn=cn-1=cn-2=…=c2=0.即

則

于是

故

因此我們得到

證畢。

引理3 函數(shù)G(t,s)滿足以下性質:

1)G(t,s)在[0,1]×[0,1]上是連續(xù)的;

2) ?(t,s)∈[0,1]×[0,1],有

證明 由G(t,s)在表達式可知結論1)成立。以下證明結論2)成立。

?(t,s)∈[0,1]有

證畢。

類似于引理3的證明可得

我們引入如下記號

下是一個Banach空間。

定義算子T∶E→E如下

則

引理4[4](Leray-Schauder非線性抉擇原理)設F是Banach空間,Ω?F是凸的,且0∈Ω.若T∶Ω→Ω是一個全連續(xù)算子,則下列結論至少有一個成立:

i)算子T在Ω上有一個不動點,

ii)集合E={x∈Ω∶x=λT(x),0<λ<1}是無界的。

2 主要結果

本文將用到如下假設：

H1)存在非負函數(shù)ω(t),φ(t)∈L1[0,1],使得

|f(t,u,ν)|≤ω(t)|u|+φ(t)|ν|,?t∈[0,1],u∈+,ν∈+

且

注2 若條件H2)滿足,則存在k>0,使得

|g(x)|≤k

定理1 假設H1),H2)成立,則算子T∶E→E全連續(xù)。

證明 首先證明T∶E→E是連續(xù)的。

由條件H1)可知

<2l[ω(s)+φ(s)]

由Lebesgue控制收斂定理可知,

于是由條件H1)、H2)和注1可得,

故有

設Ω為E中的有界集,則存在常數(shù)r>0,使得

以下證明T(Ω)是相對緊的.對任意的x∈Ω有

此外,因為G(t,s),G1(t,s)在(t,s)∈[0,1]×[0,1]上一致連續(xù),所以?ε>0,?δ>0,使得當t1,t2∈[0,1],|t1-t2|<δ時有

進而對?x∈Ω有

<ε

<ε

即TΩ等度連續(xù)。

由Arzela-Ascoli定理可知,算子T∶E→E是全連續(xù)算子。證畢。

定理2 假設條件H1)、H2)滿足,則邊值問題(4)在E上至少有一個解。

證明 設X={x∈E|x=λTx,λ∈(0,1)},由引理4可知只需證明集合x是有界的。當x∈X時x=λTx,對?t∈(0,1)有

|x(t)|=|λTx(t)|≤|Tx(t)|

因此

故集合X有界。由引理4可知算子T至少有一個不動點,則邊值問題(4)至少有一個解。

3 示例

例 考慮下面邊值問題

顯然有

通過簡單計算可知,Γ(α)≈11.632,Γ(α-β)=1,Γ(α-γ)=2,進而有

故

于是定理2條件都滿足,所以邊值問題(4)至少存在一個解。

Existence of solutions for a class of higher order nonlinear fractional multipoint boundary value problems

LIU Chang,WANG Wen-xia