序貫Lq似然比型檢驗及其應用

李俞利，胡宏昌

(湖北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北 黃石 435002)

0 引言

序貫方法的特點是：在抽樣時不預先指定子樣的容量，而是要求給出一組停止采樣的規(guī)則。每新抽取一個子樣后立即考察一下，按給定的停止采樣規(guī)則來決定是停止采樣還是繼續(xù)采樣，如果采樣一旦停止，就按此時所給出的n個觀察作為一個固定子樣容量的問題進行統(tǒng)計推斷——參數(shù)估計或假設檢驗。應用序貫方法進行的檢驗，稱為序貫檢驗。序貫分析奠基人瓦爾德(A.Wald)提出的“序貫概率比檢驗”(參見文獻[1])至今仍然是序貫分析中很重要的領域，成果豐碩，如：文獻[2]系統(tǒng)地討論了序貫分析的檢驗和置信區(qū)間等問題；文獻[3]利用廣義序貫概率比檢驗方法研究了兩個不同分布族的檢驗問題；文獻[4]深入闡述了二元響應模型的序貫概率比檢驗統(tǒng)計量與分類證據(jù)之間的關系。關于序貫檢驗的應用成果參見文獻[5～7]等，其它相關成果參見文獻[8～9]等。文獻[10]提出了具有穩(wěn)健性的Lq似然比型(簡記為LqRT)檢驗方法，得到了檢驗統(tǒng)計量的漸近分布。本文基于序貫概率比檢驗和LqRT檢驗方法，首次提出了序貫Lq似然比型檢驗方法，并對其進行初步研究。

1 序貫Lq似然比型檢驗方法

設ξ1,ξ2,…,ξn是取自總體ξ獨立同分布的隨機變量序列，ξ的概率函數(shù)為f(x;θ)，x=(x1,x2,…,xn)為樣本觀測值，Θ0和Θ1為原假設和備擇假設的參數(shù)空間，則LqRT檢驗的統(tǒng)計量(參見文獻[11])為

(1)

(2)

對此簡單假設檢驗的序貫問題，類似于序貫概率比檢驗方法，我們提出了序貫LqRT檢驗法，其實施的步驟是：

設x1是子樣的第一個觀察，計算λ1(x1)，如果λ1(x1)≥B，則停止觀察，并拒絕原假設H0；相對地，如果λ1(x1)≤A，則停止觀察，并接受原假設H0；最后，如果A<λ1(x1)

類似地計算λ2(x1,x2)，如果λ2(x1,x2)≥B，則停止觀察，并拒絕原假設H0；相對地，如果λ2(x1,x2)≤A，則停止觀察，并接受原假設H0；最后，如果A<λ2(x1,x2)

如果由n-1個觀察不能作出停止繼續(xù)觀察并拒絕或接受假設H0的決定，則繼續(xù)抽取第n個觀察xn，并計算λn(x1,…,xn).如果λn(x1,…,xn)≥B，則停止抽樣并拒絕H0；如果λn(x1,…,xn)≤A，則停止抽樣并接受H0；最后，如果A<λn(x1,…,xn)

這一檢驗假設的全過程稱為序貫LqRT檢驗，其停止法則是τ*=inf{n∶≥1,λn?(A,B)}.這里兩個邊界A和B(A

(3)

(4)

在這里，子樣x是一個無限觀察序列x=(x1,x2,…).如果N(x)=n，則它表示對這個無限子樣序列只需進行n次觀察，獲得(x1,x2,…,xn)后采樣就終止。且基于這n個觀察進行統(tǒng)計推斷，如果λn(x1,…,xn)≥B則拒絕H0；如果λn(x1,…,xn)≤A則接受H0.如果N是一個以概率1終止的停止規(guī)則，即P{N<∞}=1，則它表示對幾乎所有的子樣序列x只需作有限次觀察后采樣終止。

2 序貫Lq似然比型(LqRT)檢驗的性質(zhì)

本節(jié)研究序貫LqRT檢驗的性質(zhì)。若記

Z=Lqf(ξ,θ1)-Lqf(ξ,θ0)-C(θ1,q)+C(θ0,q),

Zi=Lqf(ξi,θ1)-Lqf(ξi,θ0)-C(θ1,q)+C(θ0,q).

則隨機游動Z1,Z2,…也是獨立同分布隨機序列，且有

(5)

首先給出邊界A,B與強度(α,β)之間的關系，利用它可以決定檢驗的邊界。

定理1 如果一個以概率1終止的序貫LqRT檢驗，其停止邊界為A,B，強度為(α,β), 則當q→1時有

A≥log(β/(1-α)),B≤log((1-β)/α),0<α,β<1.

(6)

證明 注意到當q→1時，Lq(u)→logu.于是當λn(ξ1,…,ξn)≥B時，有

(7)

所以對于很小的δ>0，當q∈U(1,δ)時, 有

(8)

Cn={(ξ1,…,ξn)∶N=n,λn(ξ1,…,ξn)≤A},則{ωn}和{Cn}均是互不相容事件，于是

(9)

由于假定它以概率1終止，所以

Pθ1{拒絕H0}=1-β.

(10)

故由(9)和(10)式得α≤e-B(1-β).

類似地，有

(11)

至此結論證畢。

由于α,β一般較小，所以我們可以假定A

A≈log(β/(1-α)),B≈log((1-β)/α).

(12)

類似于序貫概率比檢驗的證明方法，可以得到序貫LqRT檢驗的一些結論，這些結論推廣和類似于序貫概率比檢驗的相應結論。下面我們只列出部分結論，在此略去其證明，定理2～3的證明參見文獻[2]。

定理2 設ξ1,ξ2,…是一列獨立同分布的隨機變量，在假設Hi(i=0,1)之下其概率密度分別為f(x;θi)，記N是所考察的序貫LqRT檢驗的停止隨機變量，則對于使得Pθ{|Z|>0}>0的任何概率密度f(x;θ)，有

1)Pθ{N<∞}=1；

2)存在t0>0，使Eθ{etN}<∞，對-∞

E(SN)=E(g(ξ1))·EN.

Eθi(SN)≈Pθi{接受H0}A+Pθi{拒絕H0}B.,i=0,1.

因此如果Eθi|Z|<∞,EθiZ≠0，由定理3得

(13)

3 模擬算例

3.1 Bernoulli分布中參數(shù)p的檢驗

設母體ξ服從Bernoulli分布b(1,p)，p是未知參數(shù)，檢驗H0∶p=p0?H1∶p≠p0.

由于b(1,p)分布的概率密度函數(shù)為f(x;p)=px(1-p)1-x，因此對于q≠1有

(14)

如令vn為n個觀察的序列中“1”的頻數(shù)，則

=aqvn+cqn.

(15)

其中

如果它的停止邊界分別為A,B，則當

Sn=aqvn+cqn≥B

(16)

成立時拒絕原假設H0；當

Sn=aqvn+cqn≤A

(17)

成立時接受原假設H0.由于

=cq+paq.

(18)

所以由(13)和(18)式可得

(19)

現(xiàn)在考慮一個抽樣問題，用p表示這批被驗產(chǎn)品的次品率，假定p0=0.04，p1=0.10，α=0.05，β=0.10，則由(12)式得

A≈ln(β/(1-α))=ln1/9.5=-0.9777,B≈ln((1-β)/α)=ln18=1.2553.

注意到

因此取不同的q值代入(13)式可得到平均子樣容量(有關計算結果見表1):

n=2-1(E0.04(N)+E0.10(N)),

其中

從表1可知，當q越大，平均樣本容量越小。但是，我們的理論結果是在|q-1|較小的條件下得到，因而在實際應用中需要兼顧|q-1|和平均樣本容量的大小，使得二者均較小。在q=1.01時，平均子樣容量為23比序貫概率比檢驗的平均子樣容量71要小得多，抽樣個數(shù)可節(jié)約近67.6%.

表1 q值與平均子樣容量及νn的邊界的關系

4 結論

上面研究了序貫Lq似然比型檢驗方法邊界與強度之間的關系，進而得到了在Eθi|Z|<∞,EθiZ≠0情況下該檢驗方法的平均子樣容量，并通過實際的算例說明了在選取合適的q值時，序貫Lq似然比型檢驗方法優(yōu)于序貫概率比檢驗方法。雖然在某種程度上豐富了序貫Lq似然比型檢驗的內(nèi)容，但是對于序貫Lq似然比型檢驗的研究不僅限于此，本文僅考慮了一種情況下的平均子樣容量，內(nèi)容還不夠完善，為了得到完整的結論還需進一步的研究。

Sequential Lq-Likehood ratio type test and its applications

LI Yu-li，HU Hong-chang