離軸光學(xué)系統(tǒng)的畸變分析及焦距測量

程強(qiáng)，胡海翔，李龍響，王孝坤，羅霄，張學(xué)軍，2

（1.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所中國科學(xué)院光學(xué)系統(tǒng)先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林 長春 130033；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

1 引言

隨著空間光學(xué)遙感技術(shù)的快速發(fā)展，為滿足空間對地觀測高分辨、大視場的成像需求，離軸光學(xué)系統(tǒng)已逐漸成為空間光學(xué)遙感器的重要發(fā)展趨勢。離軸光學(xué)系統(tǒng)具有更多的設(shè)計自由度，且沒有中心遮攔、調(diào)制傳遞函數(shù)高等諸多優(yōu)點(diǎn)，可滿足空間光學(xué)遙感器對地觀測的高分辨率、大幅寬需求［1-4］。

在離軸光學(xué)系統(tǒng)的畸變分析及測量方面，北京空間機(jī)電研究所針對超寬視場的離軸光學(xué)系統(tǒng)開展了全視場畸變的一致性校正技術(shù)研究，相關(guān)研究成果成功應(yīng)用于兩臺超寬視場離軸系統(tǒng)的裝調(diào)校正，取得了良好的效果［5］；中科院長春光機(jī)所針對離軸三反光學(xué)系統(tǒng)，開展了鏡頭像面畸變標(biāo)定及相機(jī)畸變測量等方面的研究及工程實(shí)踐，并應(yīng)用于某測繪產(chǎn)品鏡頭的高精度標(biāo)定［6-9］，但其魯棒性不夠理想，針對工程實(shí)際中的隨機(jī)誤差解算精度和穩(wěn)定性不足。此外，浙江大學(xué)［10］、吉林大學(xué)［11］、中科院上海技術(shù)物理研究所［12］也對光學(xué)系統(tǒng)的畸變分析及測量技術(shù)開展了深入研究。

本文介紹的某離軸光學(xué)系統(tǒng)，采用時間延遲積分電荷耦合器件（Time Delay Integration Charge Coupled Device，TDICCD）推掃成像，光學(xué)系統(tǒng)視場角為0.37°×3.5°，相機(jī)最大相對畸變設(shè)計值為1.413%。光學(xué)系統(tǒng)的畸變將直接影響成像的幾何位置精度，對系統(tǒng)的成像定位造成影響。

本文對離軸光學(xué)系統(tǒng)的理論畸變進(jìn)行了分析，提出了等效焦距概念，對離軸光學(xué)系統(tǒng)的相對畸變系數(shù)進(jìn)行了分離，并針對裝調(diào)完成的某離軸光學(xué)系統(tǒng)，利用多維約束非線性優(yōu)化方法完成了畸變分析和焦距測量，對相機(jī)實(shí)際焦平面上特征點(diǎn)的物像對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行解算，提高了系統(tǒng)畸變及焦距的解算精度和穩(wěn)定性，為相機(jī)在軌圖像的快速、高精度畸變校正提供準(zhǔn)確輸入。

2 反射光學(xué)系統(tǒng)的理論畸變

畸變廣泛存在于各類光學(xué)系統(tǒng)中。光學(xué)系統(tǒng)產(chǎn)生畸變的原因是在一對物、像共軛平面上，垂直放大率隨視場角的變化而變化，不再保持常量，導(dǎo)致像相對于物失去了相似性。因此，畸變雖然不影響成像的清晰度，卻直接影響成像的幾何位置精度。

隨著光學(xué)系統(tǒng)視場角的變大，系統(tǒng)的畸變也隨之變大。對于空間光學(xué)遙感器而言，其口徑和視場一般都比較大，且成像精度要求較高，因此必須采取措施來減小甚至消除畸變帶來的影響。

傳統(tǒng)的同軸反射光學(xué)系統(tǒng)如Ritchey Chretien（R-C）系統(tǒng)，其所有光學(xué)鏡面都關(guān)于系統(tǒng)光軸回轉(zhuǎn)對稱，因此對于視場角相同的物點(diǎn)，不論方向如何，其垂軸放大率都是一樣的。這種情況下，畸變只與像高有關(guān)。像高相同的軸外物點(diǎn)，其徑向畸變量是相同的。在像面上，畸變圖像關(guān)于光學(xué)中心呈中心對稱。此時隨初級畸變系數(shù)的不同，畸變分別呈現(xiàn)出枕形畸變和桶形畸變。

而對于離軸反射光學(xué)系統(tǒng)，與傳統(tǒng)的R-C系統(tǒng)相比，主、三鏡離軸放置，不關(guān)于光軸對稱。因此光學(xué)系統(tǒng)的垂軸放大率不但隨視場角大小而改變，而且隨軸外點(diǎn)的離軸角而變化。對軸外物點(diǎn)成像時，如果它們的主光線方向不同，即使其視場角一樣，其垂軸放大率也可能不一樣。因此在像面上，畸變圖像不再關(guān)于光學(xué)中心對稱，而與離軸光學(xué)系統(tǒng)的視場角和離軸角有關(guān)，需要針對離軸光學(xué)系統(tǒng)的物方二維角度開展系統(tǒng)畸變的仿真分析。

2.1 離軸光學(xué)系統(tǒng)的理論畸變

對離軸光學(xué)系統(tǒng)理論畸變的表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo)。定義(x，y)為物方坐標(biāo)，(X，Y)為像方坐標(biāo)。已知系統(tǒng)畸變的表達(dá)式為：

其中：H為像高，h為物高，β為三階畸變系數(shù)，γ為五階畸變系數(shù)。

將系統(tǒng)畸變的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)的形式，即：

則有：

將（3）中兩式展開，可得：

對公式（4）求一階偏導(dǎo)數(shù)：

選擇離軸光學(xué)系統(tǒng)的物方軸外某視場內(nèi)的某點(diǎn)(x0，y0)，在其鄰域內(nèi)進(jìn)行一階展開，可得：

其 中：A=1+β(3x20+y02)+γ(5x40+6x20y02+y04)，B=2βx0y0+4γ(x30y0+x0y03)，C=2βx0y0+4γ(x30y0+x0y03)，D=1+β(x20+3y02)+γ(x40+6x20y02+5y04)。

式（6）中，理想像點(diǎn)的位置為(X0，Y0)?？紤]非線性關(guān)系，在X和Y方向的放大率不同，并且有數(shù)值大小相等的交叉項(xiàng)存在。其中，主要部分為矩陣中的左上和右下元素，主要影響光學(xué)系統(tǒng)在x和y方向的放大率，次要部分是左下和右上部分，主要影響系統(tǒng)的偏流角度。公式可進(jìn)一步表達(dá)為：

其中：

2.2 離軸光學(xué)系統(tǒng)的等效焦距

在上述推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，定義等效焦距為物方(x0，y0)鄰域所對應(yīng)的像面上的大小，則兩個方向的等效焦距分別為：

其中，f為等效同軸系統(tǒng)焦距。

由公式（7）和（9）可知，只要解算得到離軸光學(xué)系統(tǒng)的高階畸變系數(shù)β和γ，即可完成離軸光學(xué)系統(tǒng)的畸變分析及焦距測量。

2.3 離軸光學(xué)系統(tǒng)的相對畸變分離

結(jié)合ZEMAX軟件中的光線追跡數(shù)據(jù)，利用多項(xiàng)式擬合的方法，解算得到離軸光學(xué)系統(tǒng)的理論高階畸變系數(shù)。

選取某特殊視場（例如：視場角0°，離軸角4.15°），對離軸和視場方向的角度在全視場范圍內(nèi)進(jìn)行歸一化，進(jìn)一步結(jié)合ZEMAX軟件中的像高數(shù)據(jù)，利用Matlab中的polyfit函數(shù)對歸一化后的角度量矩陣和實(shí)際像高矩陣進(jìn)行五階多項(xiàng)式擬合，將系統(tǒng)的相對畸變1.413%進(jìn)行分離，最終得到光學(xué)系統(tǒng)的三階畸變系數(shù)β和五階畸變系數(shù)γ：

為了驗(yàn)證上述高階畸變系數(shù)擬合的正確性和精度，將β和γ代入等效焦距公式（9），在典型的離軸角和視場角的工況下，與ZEMAX光線追跡的結(jié)果進(jìn)行對比，二者的結(jié)果對比如表1所示。

表1中可以看出，當(dāng)采用五階畸變進(jìn)行擬合時，最大偏差為+0.366 mm，相對偏差為+0.004 1%，擬合精度基本滿足工程實(shí)際需求，接下來將利用上述系統(tǒng)畸變的仿真分析方法對該離軸光學(xué)系統(tǒng)的鏡頭畸變及焦距進(jìn)行測量。

表1 五階畸變系數(shù)計算的等效焦距與ZEMAX光線追跡結(jié)果的對比Tab.1 Comparison between equivalent focal length calculated by the fifth order distortion coefficient and ZEMAX ray tracing results

3 離軸系統(tǒng)的畸變及焦距測量方法

離軸光學(xué)系統(tǒng)的畸變測量原理如圖1所示。將精細(xì)刻畫和標(biāo)定過的網(wǎng)格板精確地放置在離軸光學(xué)系統(tǒng)的焦平面上，并且使其刻面的中心與光軸重合。轉(zhuǎn)動精密轉(zhuǎn)臺使其上的網(wǎng)格板各刻線到測位，在物方用精密測角儀在轉(zhuǎn)臺上繞著被測離軸光學(xué)系統(tǒng)的入瞳旋轉(zhuǎn)觀測，測量網(wǎng)格板上不同刻線的實(shí)際像對應(yīng)的物方二維視場角。

圖1 畸變測量原理圖Fig.1 Distortion measurement schematic diagram

具體步驟如下：

（1）經(jīng)緯儀1對準(zhǔn)離軸光學(xué)系統(tǒng)的基準(zhǔn)棱鏡，經(jīng)緯儀2放在離軸光學(xué)系統(tǒng)的入光口處，利用兩個經(jīng)緯儀互瞄，不斷調(diào)整經(jīng)緯儀2的角度，使得經(jīng)緯儀2瞄準(zhǔn)離軸光學(xué)系統(tǒng)的中心視場，即(α0，0)，α0為系統(tǒng)的離軸角；

（2）將精細(xì)刻畫和標(biāo)定過的網(wǎng)格板大致放在系統(tǒng)的焦平面上，不斷調(diào)整網(wǎng)格板的姿態(tài)，使得離軸光學(xué)系統(tǒng)入光口處的經(jīng)緯儀2能夠精確地瞄準(zhǔn)網(wǎng)格板的中心叉絲，且經(jīng)緯儀2水平、豎直掃描時能夠與網(wǎng)格板上的特征線完全重合，此時經(jīng)緯儀2已精確地放置在離軸系統(tǒng)的焦平面上；

（3）將經(jīng)緯儀2瞄準(zhǔn)網(wǎng)格板上的中心叉絲并清零二維角度，利用六維調(diào)整機(jī)構(gòu)對離軸光學(xué)系統(tǒng)的姿態(tài)進(jìn)行高精度調(diào)整，使得經(jīng)緯儀分別瞄準(zhǔn)網(wǎng)格板上的各刻線，以系統(tǒng)的中心視場(α0，0)為基準(zhǔn)，在系統(tǒng)工作視場范圍內(nèi)，記錄網(wǎng)格板上M×N個不同位置時經(jīng)緯儀的二維角度(α0+α1，β1)，(α0+α1，β2)，…，(α0+αM，βN)。

已知離軸反射系統(tǒng)的離軸角為α0，進(jìn)一步假設(shè)工作視場為2Δα×2Δβ，即離軸角方向的工作視場為（α0-Δα）～（α0+Δα），視場角方向的工作視場為-Δβ～Δβ，則該離軸系統(tǒng)工作視場內(nèi)的最大空間立體角為，不論針對物方角度還是像方角度，都應(yīng)采用工作視場內(nèi)的最大空間立體角進(jìn)行歸一化，即在公式中，(x，y)為歸一化后的物方角度，(X，Y)為歸一化后的像方角度。物方角度歸一化的計算過程為：

其中：物方真實(shí)角度為(xi，yi)，則歸一化后的物方角度為(x，y)。

同理，像方角度歸一化的計算過程見公式，像方真實(shí)角度為(Xi，Yi)，則歸一化后的物方角度為(X，Y)。

將公式進(jìn)一步變形為：

假設(shè)等效同軸系統(tǒng)焦距為f'，則可求得所對應(yīng)的理論像高為：

已知網(wǎng)格板上的各刻線對應(yīng)的實(shí)際二維像高 值 為lx，1，1，ly，1，1，…，lx，M，N，ly，M，N，綜 合 考 慮 離 軸光學(xué)系統(tǒng)M×N組理論像高和實(shí)際像高，定義評價函數(shù)為公式，當(dāng)評價函數(shù)取得最小值時，即可解算得到等效同軸系統(tǒng)焦距為f'、三階畸變系數(shù)β和五階畸變系數(shù)γ：

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

針對評價函數(shù)MF中，采用多維約束非線性優(yōu)化方法，可以解算得到等效同軸系統(tǒng)焦距為f'，三階畸變系數(shù)β和五階畸變系數(shù)γ，物方二維角度和網(wǎng)格板上的像高數(shù)據(jù)見表2，解算結(jié)果見式（16），與理論等效同軸系統(tǒng)焦距8 750 mm相比，實(shí)測結(jié)果的偏差僅為6.378 mm，相對偏差為0.073%。

表2 物方二維角度和網(wǎng)格板上的實(shí)際像高數(shù)據(jù)表Tab.2 Object two dimension angle and actual image height data table on grid plate

在上述研究成果的基礎(chǔ)上，針對在軌圖像畸變校正的應(yīng)用需求，還開展了探測器上特征點(diǎn)對應(yīng)地面實(shí)際位置的應(yīng)用研究。如表3所示，針對每片探測器上的3個特征點(diǎn)，基于上述實(shí)測的等效同軸系統(tǒng)焦距f'、三階畸變系數(shù)β和五階畸變系數(shù)γ，由像方角度可以計算得到物方角度，最終計算得到對應(yīng)的地面實(shí)際位置，探測器上3個特征像元對應(yīng)的地面位置如圖2所示（第1片探測器的第1個特征點(diǎn)標(biāo)為：點(diǎn)1-1，其余表示相同）。將該方法推廣至離軸光學(xué)系統(tǒng)所有的探測器，即可得到離軸系統(tǒng)整個探測器對應(yīng)的真實(shí)地物坐標(biāo)，為相機(jī)在軌圖像的畸變校正提供重要依據(jù)，可實(shí)現(xiàn)相機(jī)在軌圖像準(zhǔn)實(shí)時畸變校正。

圖2 各片探測器上的特征點(diǎn)與地物坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系Fig.2 Corresponding relationship between feature points on each detector and ground object coordinates

表3 每片探測器上的3個特征點(diǎn)坐標(biāo)Tab.3 Coordinates of three feature points on each detector （mm）

5 結(jié)論

本文對離軸光學(xué)系統(tǒng)的理論畸變進(jìn)行了分析，利用高階畸變系數(shù)對系統(tǒng)的相對畸變進(jìn)行了分離，并針對某裝調(diào)完成的離軸光學(xué)系統(tǒng)，完成了畸變分析測試和焦距測量，與ZEMAX光線追跡的結(jié)果相比，等效焦距最大偏差為0.366 m，精度滿足工程實(shí)際需求；針對某裝調(diào)完成的離軸光學(xué)系統(tǒng)完成了畸變分析測試和焦距測量，實(shí)測等效同軸系統(tǒng)的焦距偏差僅為6.378 mm，進(jìn)一步針對相機(jī)焦平面上的特征點(diǎn)完成了物像對應(yīng)關(guān)系，為相機(jī)在軌圖像的快速、高精度畸變校正提供了準(zhǔn)確的輸入。

本文初步實(shí)現(xiàn)了離軸光學(xué)系統(tǒng)的畸變分析、測試及焦距測量，下一步將綜合考慮網(wǎng)格板的刻畫精度及經(jīng)緯儀的測角精度，進(jìn)一步改進(jìn)優(yōu)化算法，提高其解算的魯棒性，以期在未來幾十米甚至一百米量級的長焦距離軸光學(xué)系統(tǒng)中得到更為廣闊的應(yīng)用前景。