巧構(gòu)橢圓模型 求解另類(lèi)問(wèn)題

耿瑞照

(山東省淄博市淄川區(qū)般陽(yáng)中學(xué), 255100)

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是新課標(biāo)確定的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一,在新課標(biāo)和新高考中的地位非常重要.應(yīng)用已知模型是建模素養(yǎng)水平最基本的要求,并且此種建模方式具有可操作性.筆者發(fā)現(xiàn)很多看似與橢圓無(wú)關(guān)的問(wèn)題,用常規(guī)解法難度很大,但利用橢圓模型求解能夠水到渠成,起到意想不到的效果.本文介紹幾種常見(jiàn)構(gòu)造(引出)橢圓模型的方式,舉例說(shuō)明該模型在非圓錐曲線問(wèn)題中的應(yīng)用.

一、借助方程引出橢圓模型

1.解無(wú)理方程

例1解方程

2.解雙絕對(duì)值的不等式

例2解不等式|x-3|+|x+3|≥8.

分析本題通常用分類(lèi)討論去絕對(duì)值符號(hào)的方式求解,但運(yùn)算較為麻煩.但結(jié)合例1,將|x-3|+|x+3|理解為點(diǎn)(x,0)到兩定點(diǎn)(-3,0),(3,0)的距離之和,由|x-3|+|x+3|=8聯(lián)想到建立橢圓模型,即可使陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的模型,促成問(wèn)題獲解.

二、借助三角形邊的關(guān)系引出橢圓模型

在?ABC中,若AB+AC=m,BC=n,其中m,n為常數(shù),且m>n>0,則根據(jù)橢圓定義,點(diǎn)A的軌跡是以B,C為焦點(diǎn)的橢圓.借助三角形邊的關(guān)系建模往往會(huì)起到意想不到的效果.當(dāng)然,有些題目中給出的邊的關(guān)系未必是完整的,需要我們?nèi)ミM(jìn)一步探求;有些題目在構(gòu)造橢圓時(shí)由于未知具體值,因此需用待定系數(shù)法來(lái)處理.

1.求三角形面積最值問(wèn)題

2.三角形中求值問(wèn)題

三、借助sin2α+cos2α=1引出橢圓模型

三角問(wèn)題中經(jīng)常借助sin2α+cos2α=1構(gòu)建橢圓模型來(lái)求解(證)三角問(wèn)題,特別是對(duì)于三角中的“難”題,該模型格外好用.

1.證明三角等式或不等式

2.求三角函數(shù)的最值或值域

四、借助mx2+ny2=1(m,n>0且m≠n)引出橢圓模型

除了上述三種引出橢圓模型的方式外,有時(shí)也會(huì)通過(guò)代換得出mx2+ny2=1(m,n>0且m≠n)形式的式子,從而引出橢圓模型.

1.求無(wú)理函數(shù)的值域

2.求二元函數(shù)的值域(最值)