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    立足核心素養(yǎng)培養(yǎng) 著眼學生終身發(fā)展
    ——例談新課標初中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容的教學實施策略

    2022-11-28 10:53:52王東升
    遼寧教育 2022年21期
    關(guān)鍵詞:數(shù)與代數(shù)韋達一元二次方程

    王東升

    (阜新市招生考試委員會辦公室教育服務(wù)中心)

    在《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2022年版)》(以下簡稱“新課標”)發(fā)布后,其基本理念、結(jié)構(gòu)特征、課程內(nèi)容等方面都有調(diào)整變化,其培養(yǎng)目標進一步完善,課程設(shè)置得到優(yōu)化,強化了育人導(dǎo)向,確立了核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標:以學生發(fā)展為本,進一步強調(diào)學生“四基”的獲得與發(fā)展,發(fā)展學生“四能”,形成正確的情感、態(tài)度和價值觀。在教學中,教師要了解“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的課程內(nèi)容主要變化,并依據(jù)基本理念,落實課程內(nèi)容及育人目標要求,探究教學方式與策略。

    新課標新增11條內(nèi)容,分別是:理解負數(shù)的意義;知道實數(shù)由有理數(shù)和無理數(shù)組成;能用數(shù)軸上的點表示實數(shù),能比較實數(shù)的大小;能借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義(這里對實數(shù)而言);能利用乘法公式進行簡單的推理;了解代數(shù)推理;能根據(jù)現(xiàn)實情境理解方程的意義;理解函數(shù)值的意義;知道二次函數(shù)系數(shù)與圖象形狀和對稱軸的關(guān)系;會求二次函數(shù)的最大值或最小值,并能確定相應(yīng)自變量的值,能解決相應(yīng)的實際問題;知道二次函數(shù)和一元二次方程之間的關(guān)系。新課標刪除1條內(nèi)容的星號,是“了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”,將此內(nèi)容由選學調(diào)整為必學。下面圍繞“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域主要變化,談一談在教學中要注意的一些問題和實施建議。

    一、知道實數(shù)由有理數(shù)和無理數(shù)組成

    在初中階段,數(shù)系的擴充有兩次,第一次是負數(shù)的產(chǎn)生,數(shù)系擴充到有理數(shù);第二次是無理數(shù)的產(chǎn)生,數(shù)系擴充到實數(shù)。每一次數(shù)系的擴充,都是對人類認識的一次挑戰(zhàn),也是學生學習的難點。認識實數(shù)的組成,關(guān)鍵是理解無理數(shù)。教師教學時可以分成六個層次進行。

    第一個層次:發(fā)現(xiàn)非有理數(shù)。若正方形面積為2,邊長為a,則a2=2。那么a是什么數(shù)?因為12=1,22=4,32=9,……所以,a是介于1~2之間的數(shù),不可能是整數(shù);因為……結(jié)果是分數(shù),所以a不可能是分數(shù)。這樣,a既不是整數(shù),也不是分數(shù),即a不是(我們熟知的)有理數(shù)。

    這樣的數(shù)真的存在嗎?教師可讓學生把邊長為1的兩個正方形沿對角線剪開,他們會發(fā)現(xiàn)這四個全等的等腰直角三角形可以拼成一個較大的正方形,其面積為2。因此,可以確定平方為2的數(shù)是客觀存在的。

    第二個層次:在a2=2中,a是有限小數(shù)還是有限循環(huán)小數(shù)?

    邊長a 1

    教師可以繼續(xù)引導(dǎo):還可以繼續(xù)算下去嗎?a可能是有限小數(shù)嗎?a可能是無限循環(huán)小數(shù)嗎?

    第三個層次:分數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)。有限小數(shù)都可以表示成分數(shù),無限循環(huán)小數(shù)也都可以表示成分數(shù)。如化為分數(shù):設(shè)則100x,34+x=

    因為a2=2中的a不可能是分數(shù),所以,a2=2中的a不是有限小數(shù),也不是無限循環(huán)小數(shù)。到此,教師就可以引導(dǎo)學生給無理數(shù)下定義了。

    第四個層次:無理數(shù)的定義。有理數(shù)總可以用有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)表示;反之,任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)。而我們把無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù),把有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)。

    第五個層次:無理數(shù)的形式。初中階段無理數(shù)的常見形式有4個:一是無限不循環(huán)小數(shù)類,如0.1010010001……(兩個1之間依次多一個0);二是常數(shù)類,如π、2π等;三是根式類,如2、3等;四是三角函數(shù)值類,多數(shù)角度的銳角三角函數(shù)值。學生以后還會認識到常數(shù)類的無理數(shù),如自然常數(shù)e。

    第六個層次:數(shù)學發(fā)展史中的無理數(shù)。公元前500年,畢達哥拉斯學派的弟子希伯索斯(Hippasus)發(fā)現(xiàn)了一個驚人的事實:一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的。這一不可公度性與畢氏學派的“萬物皆為數(shù)”(指有理數(shù))的哲理大相徑庭。希伯索斯的發(fā)現(xiàn),第一次向人們揭示了有理數(shù)系的缺陷,證明了有理數(shù)并沒有布滿數(shù)軸上的點,在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的“孔隙”,引發(fā)了數(shù)學史上的第一次數(shù)學危機,并對以后2000多年數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生了深遠的影響,促使人們從依靠直覺、經(jīng)驗而轉(zhuǎn)向依靠證明,推動了公理幾何學和邏輯學的發(fā)展,并且孕育了微積分思想萌芽。直到17世紀還有一些數(shù)學家不承認無理數(shù)。1872年,德國數(shù)學家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā),用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù),并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學基礎(chǔ)上,從而結(jié)束了無理數(shù)被認為“無理”的時代,也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學史上的第一次危機。

    教師讓學生了解數(shù)學發(fā)展史的這些關(guān)鍵片段是數(shù)學教學不可或缺的一個環(huán)節(jié)。著名數(shù)學家M·克萊因十分強調(diào)數(shù)學史對數(shù)學教育的重要價值。他曾說:“課本中的字斟句酌的敘述,未能表現(xiàn)出創(chuàng)造過程中的斗爭、挫折以及在建立一個可觀的結(jié)構(gòu)之前數(shù)學家所經(jīng)歷的艱苦漫長的道路。而了解到數(shù)學家如何跌跤,如何在迷霧中摸索前進,并且如何零零碎碎地得到他們的成果,應(yīng)能使面對難題的人們鼓起勇氣?!?/p>

    通過對數(shù)學發(fā)展史的介紹,可以讓學生了解到人類在追求真理道路上的艱辛努力和堅定信念,也有利于幫助學生樹立科學品質(zhì),培養(yǎng)良好的科學精神。另外,在數(shù)學的發(fā)展長河中,涌現(xiàn)出許多熠熠生輝的數(shù)學大家,他們或孜孜以求,鍥而不舍;或艱苦卓絕,攻堅克難;他們在用數(shù)學成果造福人類的同時,也為后人留下了寶貴的精神財富。利用好這些資源,教育才能“培根鑄魂,啟智潤心”。

    二、了解代數(shù)推理

    說起推理,人們自然會想到幾何證明。其實,不但“圖形與幾何”領(lǐng)域有推理,“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域也都是離不開推理的??梢哉f,推理是一種無所不在的思維方式。推理有三種形式:演繹推理、歸納推理和類比推理。

    例如,任意寫一個三位數(shù),交換它的百位數(shù)字與個位數(shù)字,又得到一個數(shù)字,兩個數(shù)相減后的結(jié)果有什么規(guī)律?這個規(guī)律對任意一個三位數(shù)都成立嗎?

    教師可先引導(dǎo)學生寫出一個三位數(shù),如123,交換后是321,兩數(shù)相減是321-123=198。然而,一個數(shù)字是難以確定規(guī)律是什么的:末位是8嗎?是偶數(shù)嗎?是3的倍數(shù)嗎?是9的倍數(shù)嗎?是11的倍數(shù)嗎?需要再寫出一個三位數(shù)觀察:756,交換后是657,兩數(shù)相減是756-657=99。通過這樣,使學生初步把握問題的規(guī)律。要“一般證明”此問題,還要用字母代替數(shù),進行“符號運算”:100a+10b+c-(100c+10b+a)=99a-99c=99(a-c)。

    在解決了本題后,教師當然還可以啟發(fā)學生思考:其他的多位數(shù)會如何呢?兩位數(shù):10a+b-(10b+a)=9a-9b=9(a-b);四位數(shù):1000a+100b+10c+d-(1000d+100b+10c+a)=999a-999d=999(a-d)。進而引導(dǎo)學生探索多位數(shù)存在的更一般規(guī)律。

    回顧上面的解答過程不難發(fā)現(xiàn),學生的思維所經(jīng)歷的過程為:先明確數(shù)字關(guān)系,進行數(shù)字演算,初步發(fā)現(xiàn)數(shù)字規(guī)律,這是一個歸納推理的抽象過程;然后,利用字母表示數(shù),進行符號運算,最后表達一般規(guī)律,這是一個演繹推理的證明過程。教學中教師要讓學生經(jīng)歷這個探究過程,讓學生學會用數(shù)學的眼光觀察,用數(shù)學的思維思考,用數(shù)學的語言表達。

    歸納推理也稱歸納,其本質(zhì)是通過對部分事物的研究,推斷更大范圍中事物的整體特征,它是從個別事物中概括出一般原理和性質(zhì)的思維方式,是從特殊到一般的認識過程。如通過3+5=5+3等,可歸納得到加法的交換律a+b=b+a。再如,通過4×等,可歸納得二次根式的乘法法則歸納是尋找和發(fā)現(xiàn)數(shù)學真理的主要手段。

    在數(shù)學學習的過程中,教師也可以常用類比的方式,如可以利用學生對分數(shù)的性質(zhì)的認識和理解,來引導(dǎo)他們學習分式的性質(zhì)。同時,教師也要注意,類比只是合情的猜測,其結(jié)論是否正確,還有待于進一步的證明。如我們知道積的乘方運算法則為(ab)2=a2b2,在之后學習二項式乘方時,一些學生就容易“類比”地認為(a+b)2=a2+b2,這是錯誤的。

    雖然由類比推理發(fā)現(xiàn)的結(jié)果不一定正確,但是“沒有大膽的猜想,就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”,很多科學上的發(fā)明和創(chuàng)造正是需要打破常規(guī),大膽設(shè)想,才能得到豐碩的成果。

    三、能根據(jù)現(xiàn)實情境理解方程的意義

    教學中,教師要依托現(xiàn)實的情境來幫助學生理解方程的意義。如可創(chuàng)設(shè)這樣的現(xiàn)實情境:一家商店將某種服裝按成本價提高40%后標價,又以8折優(yōu)惠賣出,結(jié)果每件仍獲利15元,這種服裝每件的成本是多少元?

    分析可知,該題中所涉及的四個關(guān)鍵數(shù)量有如圖1所示的關(guān)系,它們之間形成了A,B兩個循環(huán)。

    圖1

    若設(shè)每件服裝的成本為x元,在A循環(huán)中,(1+40%)x·80%=售價,在B循環(huán)中,售價-x=15。學生可以發(fā)現(xiàn),以任意一個數(shù)量為聯(lián)系節(jié)點,A,B兩個循環(huán)中的數(shù)量就聯(lián)系在一起,都可以形成含有未知數(shù)的等式,即方程。

    若設(shè)每件服裝的成本為x元,根據(jù)題意,根據(jù)不同的等量關(guān)系可以得到不同的方程:(1+40%)x·80%-x=15(以利潤為等量),(1+40%)x·80%=15+x(以售價為等量),(1+40%)x·80%-15=x(以成本為等量),(1+40%)x=(15+x)/80%(以標價為等量),80%=(15+x)/(1+40%)x(以折扣為等量)。

    因此可以說,方程就是“同一個量(或等量)的兩種不同表達”,這樣的認識,也有助于學生對列方程的思考。對于方程的定義,教材的描述一般為:含有未知數(shù)的等式叫做方程。針對方程這個“定義”,有的教師提出:x=2是方程嗎?說x=2是方程的,理由是從“含有未知數(shù)的等式叫做方程”的定義來看。也有另一種認識,華東師范大學張奠宙教授指出:僅根據(jù)定義“含有未知數(shù)的等式叫方程”就會出現(xiàn)“x=1,x-x=0是不是方程”這樣的怪問題,其實這句話只談了方程的表面。方程的本質(zhì)是為了求未知數(shù),在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立一種等式關(guān)系。既然方程的本意就是要求未知數(shù),如果x=1,未知數(shù)已經(jīng)求出來了,也就沒有方程的問題了。這類問題與我們學習方程知識沒有關(guān)系。在方程概念的教學中應(yīng)當?shù)问剑⒅貙嵸|(zhì)。

    當然,教師應(yīng)該了解,x=2是不是方程還要看場合,在現(xiàn)行數(shù)學教材體系,如在初中拋物線的“對稱軸方程”或高中解析幾何的“直線方程”中,我們還得把x=2說成是方程。在這里,教師可以引導(dǎo)學生回顧“打折銷售”的例子:為什么題中會產(chǎn)生A,B兩個循環(huán)呢?只有一個循環(huán)行嗎?如把題目改為:商店將某種服裝100元賣出,每件獲利15元,這種服裝每件的成本是多少元?其實這就是加減法的問題,沒必要列方程。東北師范大學史寧中教授指出:方程一定是在講兩個故事。所謂兩個故事,就是兩個等量關(guān)系,這樣就可以用兩種不同的形式表示同一個量,也把這個叫做“算兩次”。

    四、理解函數(shù)值的意義

    對于函數(shù)值的意義,可以從以下四個方面來理解。

    一是從代數(shù)的角度看。函數(shù)值就是與其自變量取值相對應(yīng)的因變量的值。例如,對于一次函數(shù)y=3x+4,當x=5時,對應(yīng)的函數(shù)值y=19。

    二是從幾何的角度看。函數(shù)值就是函數(shù)圖象上某點的縱坐標。例如,一次函數(shù)圖象交x軸于點A(3,0),交y軸于點B。若是函數(shù)值為正,則自變量x的取值范圍是x<3。即圖象上縱坐標為正的點的橫坐標的取值。

    三是實際問題中具有實際意義。例如,甲、乙兩人在直線跑道上同起點、同終點、同方向勻速跑步600米,先到終點的人原地休息。已知甲先出發(fā)2秒。在跑步過程中,甲、乙兩人的距離y(米)與乙出發(fā)的時間t(秒)之間的關(guān)系如圖2所示,則b值是多少?

    圖2

    分析可知,所求圖2中b的值就是“乙出發(fā)100秒時兩人的距離”,故應(yīng)先求得甲、乙兩人的速度。

    解:t=0時,y=8,即乙即將出發(fā)時,甲已經(jīng)出發(fā)2秒,甲、乙兩人距離為8米。所以米/秒。

    在乙出發(fā)后,兩人距離先變小后變大,說明乙速大于甲速,且在t=100秒時,兩人距離增至最大,說明乙已經(jīng)到達終點,原地休息。所以秒。此時兩人距離b=6×100-(8+4×100)=192米。當然,由于所求兩人距離是乙走了600米時兩人的距離,所以,不求乙的速度也可以。圖象上點(a,0)的縱坐標0的實際意義是“甲乙兩人距離為零”,即乙追上了甲。

    四是從函數(shù)值的特征角度看。首先,與自變量的取值一一對應(yīng)。對于每一個確定的自變量的值,都有唯一的函數(shù)值與其對應(yīng)。即對于y=f(x)而言,一個x,有唯一的y與之對應(yīng);不同的x,對應(yīng)的y可能相同。其次,其變化特征體現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)。隨著自變量的取值的增大,函數(shù)值可能隨之增大,也可能隨之減小,也可能在某個范圍內(nèi)增大,在另一個范圍內(nèi)減小。即函數(shù)會表現(xiàn)出單調(diào)遞增,或單調(diào)遞減,或奇函數(shù),或偶函數(shù)等性質(zhì)。

    五、了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

    教師先要引導(dǎo)學生了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系內(nèi)容。寬泛地說,一元二次方程的求根公式也是“根與系數(shù)的關(guān)系”,即根與系數(shù)的關(guān)系可以分為兩個方面:一個是用系數(shù)表示根—求根公式;另一個是用根表示系數(shù)——韋達定理。其中,求根公式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),當b2-4ac≥0時

    韋達定理:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為x1,x2,利用求根公式可得(這是現(xiàn)行教材給出的教學順序)。當一元二次方程的二次項系數(shù)為1時,即若x2+px+q=0的兩個根為x1,x2,利用求根公式可得,x1+x2=-p,x1x2=q。

    其實,韋達定理還可以從另一種途徑來認識。一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為x1,x2。則ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2,比較恒等式同次冪項系數(shù),得b=-a(x1+x2),c=這恰是“韋達定理”的實際發(fā)展軌跡)。教師可以利用這個思路來引導(dǎo)學生研究一元三次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。

    然后,教師要把握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的“了解”層次的教學要求。依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)》關(guān)于“了解”層次的教學要求,現(xiàn)行北師大版初中數(shù)學九年上冊教材中設(shè)計的部分練習如下:

    (1)利用根與系數(shù)的關(guān)系,求下列方程的兩根之和、兩根之積:x2-3x-1=0,3x2+2x-5=0;

    (3)寫出一個以4和-7為根的一元二次方程;

    (4)已知方程5x2+mx-6=0的一個根為2,求它的另一個根及m的值。

    在實際教學和評價中,仍存在隨意拔高教學要求的現(xiàn)象,如已知一元二次方程(有實數(shù)根),求兩根的平方和、立方和、倒數(shù)和差的絕對值等。而這些內(nèi)容其實是高中階段(人教B版必修一)的教學要求。

    關(guān)于“了解”的層次要求,新課標是這樣解釋的,了解:知道,初步認識;從具體事例中知道或舉例說明對象的有關(guān)特征;根據(jù)對象的特征,從具體情境中辨認或者舉例說明對象??梢?,上面所列舉的“課外練習”,明顯超出了新課標中“了解”的層次要求。教師如果無視要求,在教學、評價中隨意拔高,那么教學將走進誤區(qū)。

    教師還要關(guān)注一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的育人價值:一是發(fā)展學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力。教師若只是知道一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,則也不過是多掌握了一個“定理”而已。教學中,若能引導(dǎo)學生去發(fā)現(xiàn)、去猜想、去歸納這個“關(guān)系”,無疑會培養(yǎng)學生觀察問題的“數(shù)學眼光”。二是促進學生積累用數(shù)學符號進行一般性推理的經(jīng)驗。初中學生的思維正處在“抽象表達”發(fā)展的關(guān)鍵階段,韋達定理的探索、論證及表達過程,恰好能幫助學生感悟符號表達對于數(shù)學發(fā)展的作用,提高用抽象的“數(shù)學語言”表達問題的能力。

    此外,教師還應(yīng)引導(dǎo)學生了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系發(fā)展史。在數(shù)學發(fā)展過程中,韋達定理也是引人關(guān)注的。在1615年出版的《方程的理解與修正》一書中,法國數(shù)學家韋達給出了形如-x2+px=q(p,q>0)的一元二次方程的兩根之和等于p,兩根之積等于q。不過,韋達并沒有考慮方程有重根或負根的情況,定理僅適合有兩個不相同的正實根的情形。到1629年,吉拉爾出版了《代數(shù)新發(fā)明》一書,書中討論了一般n次方程根與系數(shù)的關(guān)系。他認為,方程的根可以是負數(shù)或虛數(shù),并提出:一個n次方程應(yīng)該有n個根。這就是現(xiàn)在大家熟知的代數(shù)基本定理。吉拉爾在韋達的基礎(chǔ)上給出了他的證明。直至18世紀,數(shù)學家歐拉首次給出方程x2+px+q=0的韋達定理的嚴格證明。19世紀,蘇格蘭數(shù)學家華里斯沿用了歐拉的證明,并完善了求根公式。

    從韋達定理的發(fā)展史我們不難看出,它的發(fā)展過程是間斷的、不完整的、極具探索性的。從歷史發(fā)展的角度來看,教學應(yīng)秉承數(shù)學史發(fā)展的軌跡,通過觀察、歸納、推理、證明的方式,引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學定理。從數(shù)學思想的角度來看,在學習韋達定理時學生應(yīng)著重體會整體性思想,在教學過程中應(yīng)體現(xiàn)歸納思想。

    綜上所述,教師應(yīng)以培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)作意識統(tǒng)領(lǐng),以此為思考一切教學問題的出發(fā)點和歸宿。教師應(yīng)以學生發(fā)展為本,解決好“為何學?如何學?怎樣學?學了如何?”的問題,強調(diào)學生“四基”的獲得,發(fā)展學生“四能”;充分發(fā)揮數(shù)學課程內(nèi)容文化屬性的育人價值,樹立學生的文化自信;激發(fā)學生的愛國熱情,培養(yǎng)學生的科學精神,使其形成正確的情感、態(tài)度和價值觀。

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    通過操作活動有效參與低段學生“數(shù)與代數(shù)”中的概念學習
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