例談三類二次函數(shù)問題的解法

杜佳星

二次函數(shù)是一種基本初等函數(shù).二次函數(shù)問題的常見命題形式有求二次函數(shù)的解析式、最值、對(duì)稱軸、單調(diào)區(qū)間、零點(diǎn)等.這類問題側(cè)重于考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).下面重點(diǎn)談一談如何求解有關(guān)二次函數(shù)的最值問題、零點(diǎn)問題和不等式問題.

一、二次函數(shù)的最值問題

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象是一條拋物線，若a>0，則拋物線的開口向上；若a<0，則拋物線的開口向下.當(dāng)x=-b2a時(shí)，函數(shù)在R上有最值b2-4ac4a.若函數(shù)的定義域?yàn)閇m，n]，則需分三種情況考慮：（1）當(dāng)-b2a∈[m，n]時(shí)，函數(shù)在x=-b2a處取得最值；（2）當(dāng)x=-b2a，在[m，n]的左側(cè)時(shí)，若a>0，則函數(shù)在x=m處取最小值，在x=n處取最大值，若a<0，則相反；（3）當(dāng)x=-b2a在[m，n]的右側(cè)時(shí)，若a>0，則函數(shù)在x=m處取最大值，在x=n處取最小值；若a<0，則相反.

例1.

所以二次函數(shù)圖象的開口向下，當(dāng)x=-65時(shí)，函數(shù)有最大值1.

利用二次函數(shù)的圖象，即可確定二次函數(shù)在對(duì)稱軸處取得最值.除了用圖象法求解最值問題，還可以用配方法，比如y=x2＋4x＋3=（x+2）2-1，可知當(dāng)x=-2時(shí)函數(shù)的最小值為-1.

例2.

第一個(gè)問題中的函數(shù)對(duì)稱軸x=-32∈[-2，3]，所以函數(shù)在x=-32處取得最小值，在距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的點(diǎn)處取最大值.第二個(gè)問題中的函數(shù)對(duì)稱軸為x=-2a-12，其中含有參數(shù)，需對(duì)其取值范圍及其與定義域[-1，3]之間的關(guān)系進(jìn)行討論，才能確定函數(shù)的最小值.

二、二次函數(shù)的零點(diǎn)問題

我們知道，一元二次方程的根就是二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即二次函數(shù)的零點(diǎn).在求解二次函數(shù)的零點(diǎn)問題時(shí)，可以通過求一元二次方程的根來求函數(shù)的零點(diǎn).求解一元二次方程的根的方法很多，比如利用求根公式、配方法、十字相乘法.

例3.

一元二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c（a≠0）的零點(diǎn)與一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的判別式Δ有以下關(guān)系：

當(dāng)Δ>0時(shí)，ax2＋bx＋c=0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，此時(shí)，二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即x1，x2是函數(shù)的零點(diǎn)；

當(dāng)Δ=0時(shí)，ax2＋bx＋c=0（a≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2，此時(shí)，二次函數(shù)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，即x1（x2）是函數(shù)的零點(diǎn)；

當(dāng)Δ<0時(shí)，ax2＋bx＋c=0（a≠0）無實(shí)數(shù)根，此時(shí)，二次函數(shù)與x軸沒有交點(diǎn)，即函數(shù)沒有零點(diǎn).

三、二次函數(shù)不等式問題

解二次函數(shù)不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，往往要先求方程ax2＋bx＋c=0的根，然后根據(jù)二次函數(shù)的圖象，確定y>0或<0時(shí)對(duì)應(yīng)的x的取值.一般地，ax2+bx+c>0（a≠0，Δ=b2-4ac）的解有以下幾種情況.

例4.

解含參數(shù)的二次函數(shù)不等式的一般步驟為：第一步，將不等式化二次項(xiàng)系數(shù)大于0的方程；第二步，根據(jù)求根公式，或通過因式分解，求得方程的根；第三步，根據(jù)一元二次方程根的分布情況畫出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)草圖；第四步，根據(jù)圖象寫出不等式的解集.

可見，求解二次函數(shù)的最值、零點(diǎn)問題、不等式問題，都需要運(yùn)用函數(shù)的圖象、性質(zhì)，方程的根以及判別式，因此，在解答二次函數(shù)問題時(shí)，同學(xué)們要學(xué)會(huì)將問題與函數(shù)的圖象、方程關(guān)聯(lián)起來，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、方程思想來輔助解題.

（作者單位：甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)）