解答立體幾何問題的常用方法

胡疊珍

立體幾何問題側(cè)重于考查同學(xué)們的空間想象、邏輯推理以及運(yùn)算能力.求解立體幾何問題的常用方法主要有幾何法和向量法.掌握并合理運(yùn)用這兩種解題方法，有利于迅速找到解題的思路.下面結(jié)合實(shí)例，談一談解答立體幾何問題的常用方法.

一、幾何法

幾何法是解答立體幾何問題的常用方法，也是比較重要的方法.在運(yùn)用幾何法求解立體幾何問題時，要根據(jù)空間中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，尋找平行、垂直關(guān)系，靈活運(yùn)用立體幾何中的定義、公理、判定定理和性質(zhì)定理來分析、解答問題.

例1.

在解答立體幾何中有關(guān)線線、線面、面面平行和垂直的問題時，往往需要首先根據(jù)圖形理清點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，然后運(yùn)用線線、線面、面面平行和垂直的定義、判定定理、性質(zhì)定理來解題.對于第一個問題，需首先想到運(yùn)用線面平行的判定定理；對于第二個問題，要證明面面垂直，往往需先想到運(yùn)用面面垂直的判定定理，則需根據(jù)線面垂直的判定定理證明線面垂直，只需根據(jù)勾股定理證明線線垂直.

二、向量法

1.基底法

基底法是指根據(jù)向量的基本定理，將各個向量用基底表示出來，通過向量運(yùn)算來解題.運(yùn)用基底法解題，需先根據(jù)立體幾何圖形的特點(diǎn)和位置關(guān)系，選擇一組合適的向量，將其作為基底，再根據(jù)向量的基本定理，將各個向量用基底表示出來，利用向量的數(shù)量積公式、模的公式、共線定理等進(jìn)行求解.

例2.

以AB=a、AC=b、AD=c為基底，并用這些基底將AE、CF表示出來，即可根據(jù)向量的數(shù)量積公式，求得AE?CF的表達(dá)式及值.運(yùn)用基底法解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意和圖形的特點(diǎn)，選取合適的基底.

2.坐標(biāo)法

有些立體幾何問題中的圖形為特殊圖形，如正方體、直棱柱、長方體、正棱錐、圓錐、圓柱等，此時可采用坐標(biāo)法求解.首先要根據(jù)這些圖形的特點(diǎn)，找到兩條或三條垂直且交于一點(diǎn)的直線，將其作為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系；然后求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的方向向量以及平面的法向量，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得問題的答案.若用a、b表示直線a、b的方向向量，用m、n表示平面α、β的法向量，則（1）直線a、b所成角的余弦值為：cosθ=|（2）直線a與平面α所成角的正弦值為：sinθ=|cosa，m|=；（3）平面α、β的二面角的余弦值為：（依平面角與法向量夾角的大小而定）；（4）若A為平面α外一點(diǎn)，P為平面α上任意一點(diǎn)，則A到平面α的距離為：

例3.據(jù)《九章算術(shù)》中的記載可知，塹堵是底面為直角三角形，側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；陽馬是底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐；鱉臑是四個面均為直角三角形的四面體.如圖3，在塹堵ABC-A1B1C1中，AC⊥BC.

（Ⅰ）求證：四棱錐B-A1ACC1為陽馬，并判斷四面體A1-CBC1是否為鱉臑，若是，請寫出各個面的直角（只寫出結(jié)論）；

（Ⅱ）若A1A=AB=2，當(dāng)陽馬B-A1ACC1的體積最大時，求二面角C-A1B-C1的余弦值.圖3

解

利用坐標(biāo)法求解有關(guān)夾角或距離問題，關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標(biāo)系.通常要使更多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，這樣便于計算.有時可通過添加輔助線來畫出其中的一條坐標(biāo)軸.

相比較而言，幾何法和基底法的適用范圍較廣，對于大部分的題目，都可以采用幾何法和基底法求解；而坐標(biāo)法的適用范圍較窄，只適用于求解方便建立空間直角坐標(biāo)系的題目.但運(yùn)用坐標(biāo)法求解立體幾何問題較為便捷，只需通過簡單的向量運(yùn)算即可.

（作者單位：安徽省寧國市寧國中學(xué)）