談?wù)劷庾C明題的常用方法

繆鵬

證明題是高中數(shù)學(xué)中的一類重要題型，經(jīng)常出現(xiàn)在各類試題中.常見的命題形式有：（1）證明某一個不等式成立；（2）證明某一個代數(shù)式為定值；（3）證明某一條直線恒過一個定點(diǎn)；（4）證明某一個結(jié)論成立.此類問題側(cè)重于考查同學(xué)們的邏輯推理和分析能力.下面結(jié)合實例探討一下如何解答證明題.

一、分析法

運(yùn)用分析法解題的基本思路是“執(zhí)果索因”，即從結(jié)論出發(fā)，通過分析、推理、運(yùn)算，不斷地去尋找使已知條件成立的充分條件，直至得到與已知條件一致或某個明顯成立的結(jié)論．在解題時，需明確哪些是問題的條件，哪些是問題的結(jié)論，然后由“結(jié)論”推出“條件”．

例1.已知函數(shù)f（x）=log2（x+2），a，b，c是兩兩不相等的正數(shù)，且成等比數(shù)列，試判斷f（a）+f（c）與2f（b）的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

解：

運(yùn)用特值法猜測出f（a）+f（c）與2f（b）的大小關(guān)系后，需采用分析法證明結(jié)論.在運(yùn)用分析法解答證明題時，往往要采用“要證—只需證—即證”的格式.

二、反證法

假設(shè)原命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過推理得出矛盾，由此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的解題方法叫反證法.反證法是一種間接的證明方法.用這種方法證明命題的一般步驟為：（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；（2）根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，直到導(dǎo)出矛盾為止；（3）斷言假設(shè)不成立；（4）肯定原命題的結(jié)論成立.

例2.

反證法往往適用于求證正面情況較多或較復(fù)雜的證明題.當(dāng)問題中出現(xiàn)“不大于”“不都是”“不是”“至多”“至少”等字眼時，運(yùn)用反證法求證往往比較有效.

三、數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法適用于證明與正整數(shù)有關(guān)的命題.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的一般步驟為：

（1）證明當(dāng)n取第一個值n0（例如n0=1，n0=2）時，結(jié)論成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（n∈N且k≥n0）時結(jié)論成立，證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立.

完成了這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有自然數(shù)n都成立.

例3.

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解答證明題的關(guān)鍵是由當(dāng)n=k時的結(jié)論成立，推出當(dāng)n=k+1時的結(jié)論也成立.

在解答證明題時，不要局限于一種方法，有時可同時運(yùn)用兩種或兩種以上的方法進(jìn)行求證，例如在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時，可采用分析法、比較法等證明當(dāng)n=k+1時的結(jié)論成立；在運(yùn)用比較法時，可同時運(yùn)用分析法來比較差式與0，商式與1之間的大小關(guān)系.

（作者單位：江蘇省栟茶高級中學(xué)）