初中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的有效培養(yǎng)

梁合軍

摘要：建模素養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)中的一個(gè)要項(xiàng)，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、特別是應(yīng)用數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力。培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)的過程，同時(shí)還對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)新能力等素養(yǎng)發(fā)展具有積極意義。但，在數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)中，建模素養(yǎng)培養(yǎng)難度較大。教師必須綜合把握好幾個(gè)要點(diǎn)：第一，準(zhǔn)確把握建模素養(yǎng)的概念內(nèi)涵；第二，合理掌握初中階段建模素養(yǎng)培養(yǎng)的目標(biāo)層次；第三，掌握建模素養(yǎng)的生成和發(fā)展規(guī)律，采用科學(xué)、有效的策略和方法。

關(guān)鍵詞：初中；數(shù)學(xué)；建模；教學(xué)

建模素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)中的一個(gè)要項(xiàng)，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力。特別是對(duì)于數(shù)學(xué)實(shí)踐，建模素養(yǎng)是基礎(chǔ)和條件要素。此外，培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)的過程中，同時(shí)還可以對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)新能力等素養(yǎng)發(fā)展具有積極意義。因而，初中數(shù)學(xué)教師必須高度重視對(duì)學(xué)生建模素養(yǎng)的培養(yǎng)，且能夠保證教學(xué)的有效。

但，相對(duì)于數(shù)學(xué)課程其他核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)來說，建模素養(yǎng)的培養(yǎng)難度偏大。這與學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)水平、知識(shí)水平、思維水平、實(shí)踐水平等相關(guān)，也與教師是否準(zhǔn)確把握了建模素養(yǎng)的概念、目標(biāo)及規(guī)律相關(guān)。

下面，結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際，就有效培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)進(jìn)行探討。

一、建模素養(yǎng)培養(yǎng)的問題

1. 概念理解含混

在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)中，建模素養(yǎng)這個(gè)概念是最容易出現(xiàn)理解、把握問題的。首先，“建?！边@個(gè)概念本身的抽象性就比較強(qiáng)，相對(duì)數(shù)感、量感、符號(hào)、運(yùn)算等素養(yǎng)概念，建模概念是缺少實(shí)體感和直觀性的；其次，建模素養(yǎng)的概念表述變化較多。在新課標(biāo)出臺(tái)前，建模素養(yǎng)有建模意識(shí)、建模思想、建模素養(yǎng)、建模能力等多種表述，也就是，教師們對(duì)建模素養(yǎng)的概念理解本身就存在著爭議和差異。新課標(biāo)出臺(tái)，使建模素養(yǎng)的概念變得清晰明確，但新課標(biāo)又將建模素養(yǎng)分為了建模意識(shí)、建模觀念兩個(gè)層次，分別對(duì)應(yīng)小學(xué)和初中。這等于是要求教師重新理解、梳理概念。過去的“個(gè)性”理解、習(xí)慣認(rèn)知與新的定義解釋交雜，使一些教師對(duì)建模素養(yǎng)的概念理解變得更含混。而在概念理解本身就含混的情況下去培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)，顯然無法保證質(zhì)量。

2. 目標(biāo)層次不清

前面說到，建模素養(yǎng)的培養(yǎng)難度較大，受教師、學(xué)生等很多因素影響。但其實(shí)，還有一個(gè)原因，就是教師自身將建模素養(yǎng)的培養(yǎng)層次定位得太高——也就是超出了初中學(xué)生的接受水平，違背了學(xué)生階段性、漸進(jìn)式發(fā)展的規(guī)律。這樣，學(xué)生“消化”不了，達(dá)不到教師的預(yù)期，自然也就無法使之建模素養(yǎng)有效發(fā)展。正是意識(shí)到了這個(gè)問題，新課程標(biāo)準(zhǔn)才將建模素養(yǎng)分為了模型意識(shí)和模型觀念兩個(gè)層次。而其實(shí)，模型觀念雖然對(duì)應(yīng)初中階段，實(shí)際也沒有達(dá)到建模素養(yǎng)的最終層次。如果教師能夠認(rèn)真去學(xué)習(xí)、領(lǐng)會(huì)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)初中階段的建模素養(yǎng)培養(yǎng)層次目標(biāo)是可以實(shí)現(xiàn)的。比如課標(biāo)中表述“初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過程，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題……”其實(shí)很明確，初中階段并不是要使學(xué)生真正能夠獨(dú)立建立數(shù)學(xué)模型，而是能夠初步了解怎樣建模、能對(duì)實(shí)際問題或現(xiàn)象進(jìn)行抽象等即可。一些教師對(duì)培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)有畏難思想，或無法達(dá)成培養(yǎng)目標(biāo)，是因?yàn)閷?duì)目標(biāo)層次把握不清，主要是定位偏高。

3. 培養(yǎng)策略失當(dāng)

基于建模素養(yǎng)的概念、內(nèi)涵、目標(biāo)層次，培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)是有特定途徑和規(guī)律的。一些教師顯然沒有找到有效引領(lǐng)學(xué)生生成模型意識(shí)、發(fā)展模型觀念、形成建模能力的正確途徑、規(guī)律，因而，所采用的方法、策略就存在著失當(dāng)問題。比如，有的教師采用直接傳授的方法，給學(xué)生講述數(shù)學(xué)模型由生活實(shí)際到模型、再由模型到實(shí)踐的過程，認(rèn)為這樣就可以使學(xué)生的建模素養(yǎng)得到發(fā)展。其實(shí)，這樣講授的方法，僅能使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型產(chǎn)生初步的感知，知道有數(shù)學(xué)模型的存在（即，生活中的一類數(shù)學(xué)現(xiàn)象有規(guī)律、規(guī)則），知道數(shù)學(xué)模型可以指導(dǎo)、服務(wù)數(shù)學(xué)實(shí)踐。這只是最淺層的模型意識(shí)而已，連小學(xué)層次的建模素養(yǎng)水平也沒有完全達(dá)到。

二、建模素養(yǎng)培養(yǎng)的策略

1. 通過體驗(yàn)建立意識(shí)

新課標(biāo)將義務(wù)教育階段的建模素養(yǎng)分為模型意識(shí)、模型觀念兩個(gè)層次，分別對(duì)應(yīng)小學(xué)階段和初中階段。按課標(biāo)來看，初中數(shù)學(xué)教師的任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念。但是，模型意識(shí)是模型觀念的基礎(chǔ)，只有意識(shí)到數(shù)學(xué)模型的普遍存在及其意義，才可能進(jìn)一步發(fā)展模型觀念。而有兩個(gè)原因，使學(xué)生在由小學(xué)進(jìn)入中學(xué)后其模型意識(shí)的水平多沒有達(dá)到預(yù)期層次：第一，模型意識(shí)培養(yǎng)層次目標(biāo)是新課標(biāo)才明確提出的，因而，小學(xué)數(shù)學(xué)教師實(shí)際才剛剛開始清晰、明確地培養(yǎng)學(xué)生模型意識(shí)。這批學(xué)生還沒有升入中學(xué)；第二，初中教師對(duì)培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)有畏難思想，小學(xué)教師也一樣。所以，小學(xué)數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)也是存在質(zhì)量問題的。初中數(shù)學(xué)教師如果缺少這種對(duì)實(shí)際學(xué)情的準(zhǔn)確判斷，而直接進(jìn)入模型觀念的培養(yǎng)層次，無法保證學(xué)生模型觀念的有效發(fā)展。因而，建議教師根據(jù)學(xué)生實(shí)際（學(xué)生模型意識(shí)處于什么水平）注意對(duì)學(xué)生進(jìn)行模型意識(shí)的專項(xiàng)培養(yǎng)和引導(dǎo)。

引導(dǎo)學(xué)生建立模型意識(shí)，直接講授不是有效方法，組織學(xué)生進(jìn)行體驗(yàn)才是最有效的途徑。即，讓學(xué)生通過觀察、體驗(yàn)、操作等方式親身經(jīng)歷由實(shí)際到模型、由模型到實(shí)踐的過程，從而在這個(gè)過程中關(guān)注到模型、并建立模型意識(shí)。比如，在帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)“具有相反意義的量”時(shí)，教師不是直接向?qū)W生陳列生活、生產(chǎn)實(shí)際中相反量現(xiàn)象，然后告訴大家這些現(xiàn)象的數(shù)學(xué)共性，再去描述相反數(shù)在生活、生產(chǎn)中的實(shí)踐運(yùn)用場景。而是這樣操作：第一，組織學(xué)生進(jìn)行課前生活觀察和調(diào)查，“觀察自己的生活，向父母討教，了解生活、生產(chǎn)中有哪些具有相反量的現(xiàn)象。比如冰箱的溫度，冷凍室溫度是零下，冷藏室溫度是零上”；第二，回到課堂師生把觀察、調(diào)查來的素材進(jìn)行分享、展示，然后引導(dǎo)學(xué)生“這些現(xiàn)象有沒有共性？”讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“都有正數(shù)、負(fù)數(shù)、零三個(gè)元素”這個(gè)規(guī)律；第三，在完成認(rèn)知后，給學(xué)生一個(gè)或幾個(gè)實(shí)踐思考題。如“工程師要建一座樓，他在圖紙上怎樣標(biāo)注地下室、地上樓層的尺寸？”等。通過這三個(gè)體驗(yàn)環(huán)節(jié)，使學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)模型建立、實(shí)踐過程，從而形成清晰的模型意識(shí)。

2. 通過探究形成觀念

模型觀念是模型意識(shí)基礎(chǔ)上的建模素養(yǎng)進(jìn)階，是由模型意識(shí)到建模能力之間的過渡層次。按課標(biāo)要求，應(yīng)使學(xué)生初步懂得如何建模（不一定要求學(xué)生能獨(dú)立建模，“如何建?！迸c“獨(dú)立建模”是兩個(gè)不同層次）、學(xué)會(huì)用模型解決實(shí)踐數(shù)學(xué)問題等。其中，懂得如何建模是難點(diǎn)，學(xué)會(huì)用模難度略小。因而，培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)時(shí)，教師應(yīng)首先將重心放在培養(yǎng)學(xué)生感知、懂得如何建立數(shù)學(xué)模型方向上——而要實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，需要帶領(lǐng)學(xué)生親自體驗(yàn)建模的過程，即，探究性學(xué)習(xí)。

教師要注意一點(diǎn)，因?yàn)槌踔袑W(xué)生還沒有較好的獨(dú)立建模能力，因而，在培養(yǎng)其了解建模過程、方法的時(shí)候，不要追求難度，而應(yīng)以一些較容易提煉出模型的簡單數(shù)學(xué)知識(shí)、現(xiàn)象為材料。重在使學(xué)生經(jīng)歷完整的建模過程，從而懂得如何建模，而不是培養(yǎng)學(xué)生具有獨(dú)立建模能力。比如上面提到的“相反意義的量”這個(gè)案例，相反意義的量結(jié)構(gòu)比較簡單，僅包括正數(shù)、負(fù)數(shù)、零值三個(gè)元素，而且規(guī)律、共性也容易被初中學(xué)生找到，是比較適合的內(nèi)容。教師向?qū)W生陳列一些實(shí)際相反量現(xiàn)象、事物，如向相反方向行進(jìn)的汽車、海拔、建筑、溫度等，學(xué)生經(jīng)過思考、探究是可以總結(jié)出這些現(xiàn)象的數(shù)學(xué)共性的。而“建立一元一次方程模型”這一節(jié)，雖然標(biāo)題就是“建?！?，但實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，如果教師不進(jìn)行引導(dǎo)、點(diǎn)撥，而完全讓學(xué)生進(jìn)行探究，學(xué)生較難完成最終建?！鴽]有經(jīng)歷高度自主的建模過程，對(duì)學(xué)生模型觀念的培養(yǎng)作用不佳。

3. 合作交流高效建模

初中學(xué)生雖然比小學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)水平、思維能力要好一些，但因?yàn)槠淙匀粵]有真正參與生活、生產(chǎn)實(shí)踐，因而其數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)思維能力的水平并不太高。學(xué)生個(gè)體獨(dú)立進(jìn)行推理、判斷、提煉的能力較弱。如果教師讓學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行探究、體驗(yàn)，很多時(shí)候，很大比例的學(xué)生不能經(jīng)歷全程。針對(duì)這個(gè)問題，教師有兩個(gè)解決途徑，一是由學(xué)生探究體驗(yàn)改為教師直接講授，二是組織學(xué)生進(jìn)行合作交流。顯然，第一個(gè)途徑前面已經(jīng)分析過，是不能有效培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)發(fā)展的。因而，要保證學(xué)生能夠經(jīng)歷完整的學(xué)習(xí)過程，切實(shí)使學(xué)生的建模素養(yǎng)得到發(fā)展，最好的方式，就是合作。

比如讓學(xué)生探究“等式的性質(zhì)”，獨(dú)立歸納出“等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式），所得結(jié)果仍是等式”“等式兩邊都乘（或除以）同一個(gè)數(shù)（或式）（除數(shù)或除式不能為0），所得結(jié)果仍是等式”兩個(gè)判斷模型，由于一部分學(xué)生的歸納、提煉思維能力較弱，而無法完成任務(wù)。對(duì)于這個(gè)探究學(xué)習(xí)活動(dòng)，教師就可以采用分組合作的方式。各組學(xué)生進(jìn)行等式計(jì)算嘗試，然后對(duì)計(jì)算過程和結(jié)果進(jìn)行分析、探討，因?yàn)橛行W(xué)生的抽象思維能力比較強(qiáng)，再加上同學(xué)間的思維碰撞，幾乎所有小組都能最終推導(dǎo)出基本正確的模型（但細(xì)節(jié)表述多不準(zhǔn)確，需要教師最后進(jìn)行點(diǎn)撥、歸納）。這樣，因?yàn)楹献鲗W(xué)習(xí)整合了學(xué)生的思維，從而可以保證學(xué)生都能經(jīng)歷完整探究過程，保證建模素養(yǎng)培養(yǎng)的有效。

最后，需要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)：培養(yǎng)初中學(xué)生建模素養(yǎng)發(fā)展，給學(xué)生安排實(shí)踐任務(wù)是不可省略的環(huán)節(jié)。即，通過讓學(xué)生實(shí)際參與解決數(shù)學(xué)問題，使之學(xué)會(huì)用模。培養(yǎng)學(xué)生用模意識(shí)和能力的難度不大，這里不再展開探討。

總的來說，建模素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)中的一個(gè)要項(xiàng)，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)、實(shí)踐數(shù)學(xué)具有重要意義。培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)發(fā)展相對(duì)難度偏大，教師必須能夠準(zhǔn)確把握建模素養(yǎng)的概念內(nèi)涵、目標(biāo)層次以及找到科學(xué)、合理的培養(yǎng)策略、方法。建議教師關(guān)注幾個(gè)策略要點(diǎn)：第一，通過體驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生建立模型意識(shí)；第二，通過探究使學(xué)生形成模型觀念；第三，組織合作交流以保證學(xué)生高效建模；第四，安排學(xué)生實(shí)踐，以培養(yǎng)其運(yùn)用模型解決數(shù)學(xué)問題的能力。

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