一種小幅度步距相移干涉算法的相移誤差分析

陳柔婧，韓森，，康巖輝，徐春鳳，李雪園

（1 上海理工大學(xué) 光電信息與計算機工程學(xué)院，上海 200093）（2 中國計量科學(xué)研究院，北京 100029）（3 蘇州慧利儀器有限責(zé)任公司，江蘇 蘇州 215123）

0 引言

在光學(xué)計量中，相移干涉術(shù)被用于測量光學(xué)元件表面微觀形貌以及波前相位，是測量精度最高的方法之一［1］。相移干涉儀常常將壓電陶瓷（Piezoelectric Ceramic，PZT）作為移相器，驅(qū)動參考臂移動，產(chǎn)生相移步長，同時，由光電探測器采集干涉光強信號，進一步傳輸?shù)接嬎銠C對信號進行處理，得到波前相位，還原光學(xué)元件表面微觀形貌。然而，環(huán)境中的隨機振動不僅會影響相移過程中干涉圖對比度變化，影響干涉條紋圖采樣，造成條紋模糊［2］，還會使得相移量偏離設(shè)定值，大大降低測量精度甚至無法測量。

為了提高對環(huán)境的抗干擾能力，WANG Zhaoyang等［3］提出一種基于最小二乘原理的新型迭代法。該算法只需3幅以上干涉條紋圖，通過在同一幅圖的各像素點上迭代求解相位分布，某一像素點上對應(yīng)的各干涉條紋圖之間迭代求解相移量，突破對各像素點相移量的限制，允許采樣干涉圖序列之間相移量完全隨機。該算法可實現(xiàn)快速收斂，并能精確提取相位，但在計算過程中對背景強度和對比度有一定要求，且大量迭代過程會降低相位提取速度。JESUS M M等［4］提出用傅里葉分析方法，從大幅度振動下得到的干涉圖中復(fù)原波前相位分布，該方法對干涉圖進行了歸一化操作，不要求背景強度對比度恒定，但是仍難以確定隨機振動下的相位符號。LIU Qian等［5］利用振動引入空間載波，計算并分析空間載波干涉圖頻譜，從中求解由隨機振動引起的相移量和對比度信息，再通過最小二乘法補償對比度變化并提取相位，減少了由對比度變化引起的相位還原誤差。LU Wenqian等［6］提出先將干涉條紋圖進行傅里葉變換，進而在頻域中采用頻域細分操作對峰值坐標進行亞像素精度定位，從而求解出振動傾斜平面，再用最小二乘法求解波前相位。該方法在振動環(huán)境下還原波前相位時精度較高，適用于干涉條紋數(shù)量大于三根的情況。這些方法大多利用隨機振動作為相移量，或固定相移步長［7］為90°時分析隨機相移誤差對還原波前相位產(chǎn)生的影響。

考慮到在進行如5°、10°、20°極小相移步長的5步相移時，相對于90°行程大大縮短，可忽略壓電陶瓷移相曲線中遲滯和非線性效應(yīng)，PZT相移曲線近似為直線，相移器精度更高。同時，由相移干涉測量中的振動仿真［8］可知，振動頻率在CCD采樣頻率的一半的附近，5步Hariharan算法相位還原均方根（Root Mean Square，RMS）誤差較大。而當采用極小步長進行5步相移，所用相移時間大大降低，采樣頻率相對變快，意味著其敏感振動頻率增大，而實際環(huán)境中的主要振動即為低頻振動部分［9］。因此，提出用小相移步長代替常用90°進行5步相移。基于ESTRADA J C提出的自調(diào)諧相移干涉法［10］中使用3步法還原實際相移步長的步驟，提出在利用5步Hariharan相位求解公式前用該步驟還原相移步長。仿真研究在5°、10°、20°相移步長時，對標定誤差、隨機相移誤差的相位復(fù)原峰谷（Peak Valley，PV）、RMS誤差響應(yīng)，并與經(jīng)典5步Hariharan［11］算法對比。

1 算法原理

根據(jù)相移干涉理論［12］，干涉條紋圖中任意像素點位置(x，y)的光強可表示為

式中，a(x，y)為背景光強，b(x，y)為干涉條紋調(diào)制幅度，φ(x，y)表示待求解波前相位；ω0為時域載波角頻率，為便于書寫，每幀干涉條紋圖之間的相移步長為180°×ωπ，以角度單位描述；t為干涉條紋圖離散采樣時刻，是一個整數(shù)。為簡化書寫，下文省略位置坐標(x，y)。

從系統(tǒng)的角度分析，將相移算法看作一個正交濾波器，因算法的時域角頻率ω0自由可調(diào)，稱其為可調(diào)諧算法。若要求得干涉條紋圖中的波前相位，濾波器系統(tǒng)須在頻域中滿足H(0)=0，H(ω0)=0，而H(-ω0)≠0［13］。

系統(tǒng)函數(shù)為

式中，i為虛數(shù)單位。對該系統(tǒng)函數(shù)做傅里葉變換，得到系統(tǒng)頻率響應(yīng)

顯然，滿足上述頻域特點。利用系統(tǒng)卷積理論［14］可求解波前相位分布為

式中，Im表示取虛部，Re取實部，*為卷積運算符。式（4）即經(jīng)典的3步相移法公式。

自調(diào)諧算法取5步相移，首先對{I-1，I0，I1}、{I0，I1，I2}分別利用式（4）進行處理，當存在相移標定誤差Δ，即實際時域角頻率ω′=ω0±Δ，求得相位φ′與真實相位φ存在誤差為

式中，ε0、ε1為標定誤差下對應(yīng)的相位誤差。文獻［15］在頻域中推導(dǎo)了相位還原誤差與頻率失調(diào)誤差的關(guān)系式，并得出相位還原誤差為2倍待測相位空間分布的正弦函數(shù)關(guān)系這一重要結(jié)論，且H(ω0+Δ)趨于0時，誤差越小，因此，有

由式（5）～（8）可得

對式（9）在像素空間M×N上取平均值，當相位分布滿足完整條紋空間時即可消除誤差正弦項。而在實際測量過程中，此條件較容易滿足。因此可計算得到與實際相移頻率高度近似的頻率ω?，即

因式（4）得到的是包裹相位，W[]同為包裹運算。采用自調(diào)諧算法中的步驟，進一步將ω?代入5步Hariharan算法公式（11），當ω?越接近于實際相移時，意味著頻率失調(diào)誤差越小，H(ω0+Δ)越接近0，因此，相比直接使用理想相移ω0計算，相位還原誤差更低。

當在5步相移過程中存在一組正負隨機誤差Δ′={Δ-2，Δ-1，Δ1，Δ2}時，5幅干涉條紋圖光強分別表示為

為完全利用干涉條紋序列信息，對干涉條紋序列{I-1，I0，I1}、{I0，I1，I2}、{I-2，I-1，I0}分別用3步法計算得到

式中，ω′1=ω0±Δ1，ω′-1=ω0±Δ-1。此時，ε′為隨機相移誤差下的相位誤差。圖1所示是標定誤差下產(chǎn)生的相位誤差，即2倍相位空間分布的正弦函數(shù)sin（2φ（x））。從數(shù)值仿真結(jié)果來看，隨機相移誤差下相位誤差ε′依然是2倍相位的正弦函數(shù)，但相對標定誤差，存在一定相位平移，同時整個函數(shù)產(chǎn)生上下平移，幅度與隨機相移誤差有關(guān)，如圖2所示。

圖1 正弦相位誤差函數(shù)sin（2φ（x））Fig.1 The sinusoidal phase error function sin（2φ（x））

圖2 隨機相移誤差下相位誤差ε0?Fig.2 The phase error ε0?at random phase shift error

式（17）、（18）、（19）兩兩相減，得

通過計算空間平均以盡可能消除誤差函數(shù)，即

最后，將得到的相移頻率取平均值，并代入式（11）還原波前相位，得

2 數(shù)值仿真

2.1 標定誤差仿真分析

為檢驗該自調(diào)諧算法的有效性和相位還原精度，進行了數(shù)值仿真分析。根據(jù)式（1）生成5幅干涉條紋圖，假定干涉條紋圖上各像素點處背景強度與調(diào)制度分別為a=125exp[2.5×10-4(x2+y2)]，b=125exp[2.5×10-4(x2+y2)]，待測波前相位為φ(x，y)=4π×(x M+y N)，其中干涉圖像素大小M×N，M=N=1024。按Δω0百分比確定標定誤差幅度，在20°相移步長下，取±10%即對應(yīng)正負2°標定誤差，并以每0.2°增加誤差。分別采用上述自調(diào)諧和Hariharan算法計算包裹波前相位，通過解包裹運算獲得連續(xù)包裹相位，最后進行澤尼克曲面擬合得到還原波前相位φ?。計算對應(yīng)誤差下相位還原誤差Δφ，進一步轉(zhuǎn)換為相位面形高度誤差Δh的PV、RMS值以反映算法的相位還原精度，其中PV值表示此相位誤差最高與最低值之間的差值，RMS則表示此相位誤差的均方根值。PV、RMS值的計算過程為（n為像素點個數(shù)）

圖3為無相移誤差時5幀干涉條紋圖。在自調(diào)諧算法計算過程中，得到相移步長ω?與實際相移步長ω′的差值ωE

圖320°相移步長干涉圖Fig.3 Interferograms at phase shift 20°

圖4 為自調(diào)諧算法在±10%標定誤差下對實際相移步長的還原誤差。可以看出，當標定誤差增大，相移步長還原誤差ωE逐漸增大，但由于待測波前相位為完整條紋空間分布，通過兩次由3步法得到的包裹相位相減并進行空間平均運算就能消除2倍相位的正弦誤差，從而高精度還原相移步長。由仿真結(jié)果可知，在±10%標定誤差內(nèi)，其還原精度高于6×10-5rad，可見該算法能高精度求解出實際相移步長。圖5、6分別為自調(diào)諧、Hariharan算法相位還原誤差（PV、RMS）曲線。可知，當相移步長還原誤差ωE增大，相位還原誤差PV、RMS值也隨之增大，即相位還原精度降低。自調(diào)諧算法相位還原誤差PV、RMS最大分別為7.1×10-6λ、2.2×10-6λ。Hariharan算法對應(yīng)誤差PV、RMS分別為0.004λ、0.001λ。因此在相同標定誤差下，與Hariharan算法相比，自調(diào)諧算法極大地提高了相位還原精度，意味著其能容許更寬標定誤差范圍。在進行小相移時，若存在較大的標定誤差，也能保證較高還原精度。

圖4 ±10%標定誤差下自調(diào)諧算法相移步長還原誤差Fig.4 The phase shift step retrieval error by self-tuning algorithm within±10% calibration error

圖5 ±10%標定誤差下自調(diào)諧算法相位還原誤差Fig.5 The phase retrieval error by self-tuning algorithm within±10% calibration error

圖6 ±10%標定誤差下Hariharan算法相位還原誤差Fig.6 The phase retrieval error by Hariharan algorithm within±10% calibration error

取更小相移步長5°、10°，在相同標定誤差下，自調(diào)諧算法計算得到的相移步長與實際相移步長之間的誤差如圖7所示，相位還原誤差如圖8所示。從圖7中可以看出，相移步長越小，相移步長還原誤差越小，即與實際相移步長更為接近，但從數(shù)值看來，誤差都在10-5rad量級，變化較小，難以提高后續(xù)使用5步法時相位還原精度。正如圖8所示，減小相移步長，相位還原誤差PV、RMS值均在10-6λ量級波動，因此自調(diào)諧算法還原精度無明顯變化。而對應(yīng)采用5步Hariharan算法，仿真結(jié)果表明，與20°相移步長相比，更小相移步長下，該算法相位還原誤差也無明顯變化，如圖9所示。

圖7 相同標定誤差下更小相移步長自調(diào)諧法相移步長還原誤差Fig.7 The phase shift step retrieval error by self-tuning algorithm at smaller phase shift steps with same calibration error

圖8 相同標定誤差下更小相移步長自調(diào)諧算法相位還原誤差Fig.8 The phase retrieval error by self-tuning algorithm at smaller phase shift steps with same calibration error

圖9 相同標定誤差下更小相移步長Hariharan算法相位還原誤差Fig.9 The phase retrieval error by Hariharan algorithm at smaller phase shift steps with same calibration error

2.2 隨機相移誤差仿真分析

與上述仿真相同背景條件，首先取相移步長20°，在隨機相移誤差幅度|Δ′ω0|為1%～5%時，對應(yīng)每一誤差幅度各模擬20組隨機誤差，對每一組按式（12）～（16）模擬生成一個5幅干涉條紋圖序列，分別用自調(diào)諧算法與Hariharan算法計算相位還原誤差PV、RMS值，再對20組誤差PV、RMS取平均值以檢驗兩種算法的相位還原精度。

因在相移標定誤差情況下，5幅干涉圖中包含的誤差相同，自調(diào)諧算法用其中4幅干涉條紋圖即可以非常高的精度還原實際相移步長。將該步驟擴展，在各干涉圖中相移誤差不等時，對干涉圖多次用3步法計算得到的相位進行重疊平均計算，以完全利用干涉條紋序列信息求解相移步長，再將該相移步長代入5步Hariharan法公式還原波前相位。但此時，由兩相位誤差函數(shù)相減合成的正弦函數(shù)通過空間平均運算時不能被完全消除，因此計算得到的相移步長與中間兩個隨機相移值ω′-1、ω′1的平均值之間存在一定誤差。表1所示為5組隨機相移誤差與對應(yīng)的仿真計算結(jié)果。從表中可以看出，當自調(diào)諧算法計算得到相移步長接近該平均值時，與Hariharan算法還原精度基本一致。

表1 隨機相移誤差及對應(yīng)仿真計算結(jié)果Table 1 Random phase shift errors and simulation results

圖10、圖11分別為5%誤差幅度以內(nèi)自調(diào)諧算法、Hariharan算法的相位還原誤差響應(yīng)曲線。從圖10、11中可以看出，隨著相移誤差增大，相位誤差PV、RMS平均值逐漸增大，自調(diào)諧算法對應(yīng)PV在0.0018λ～0.0097λ、RMS在0.0006λ～0.004λ范 圍，Hariharan對 應(yīng)PV在0.0005λ～0.0029λ、RMS在0.0002λ～0.0014λ范圍。盡管兩種算法計算結(jié)果相差3倍左右，但該自調(diào)諧算法仍能保證較高還原精度。圖12為相位空間分布中某一行像素上各點對應(yīng)的相位還原誤差。由圖12可知，相位還原誤差與實際相位空間分布存在正弦函數(shù)關(guān)系，幅度與隨機相移誤差有關(guān)。由于為小相移，可考慮進一步采集干涉條紋圖以使用重疊平均法盡可能消除正弦相位誤差從而提高相位還原精度［16］。

圖10 5%隨機相移誤差內(nèi)自調(diào)諧算法相位還原誤差Fig.10 The phase retrieval error by self-tuning algorithm within 5% random phase shift error

圖11 5%隨機相移誤差內(nèi)Hariharan算法相位還原誤差Fig.11 The phase retrieval error by Hariharan algorithm within 5% random phase shift error

圖12 某一行像素上自調(diào)諧法相位誤差Fig.12 The phase error by self-tuning algorithm on a specific row of pixels

取更小相移步長5°、10°，在相同幅度隨機相移誤差下，用兩種算法還原相位，得到相位還原誤差分別如圖13、14所示。圖13為自調(diào)諧算法計算結(jié)果，圖14為Hariharan算法結(jié)果。由圖13、14可知，減小相移步長，兩種算法的還原精度均降低。當相移步長為5°，隨機誤差幅度為5%時，自調(diào)諧算法PV接近0.06λ，RMS接近0.018λ，取λ=632.8nm，此時難以保證相位還原精度。而對應(yīng)Hariharan算法相位還原精度更高，其PV接近0.016λ，RMS接近0.006λ。因此，隨機相移誤差下，若采用自調(diào)諧算法，取20°小幅度相移步長是更佳的選擇。

圖13 相同隨機誤差，更小相移步長自調(diào)諧算法相位還原誤差Fig.13 The phase retrieval error by self-tuning algorithm at smaller phase shift steps with same random error

圖14 相同隨機誤差，更小相移步長Hariharan算法相位還原誤差Fig.14 The phase retrieval error by Hariharan algorithm at smaller phase shift steps with same random error

3 結(jié)論

本文提出采用極小的相移步長以提高相移精度，并減小相移過程中引入的振動，同時，在小相移步長5°、10°、20°時，仿真對比了一種自調(diào)諧算法和經(jīng)典Hariharan法的相移誤差響應(yīng)。仿真結(jié)果表明，在小幅度相移步長下，對于相移標定誤差，采用自調(diào)諧算法相比Hariharan算法極大地提高了相位還原精度，擴大了對標定誤差的容許范圍，明顯地抑制了相位誤差，驗證了算法原理有效性。在使用Hariharan算法計算相位前，通過使用兩次3步算法可以高精度還原實際相移步長，從而提高了對相移標定誤差的不敏感性。在±10%標定誤差內(nèi)，各小相移步長下自調(diào)諧法相位誤差PV均能達到10-6λ量級。在隨機相移誤差幅度5%范圍內(nèi)，隨著相移步長減小，兩種算法精度降低。結(jié)果表明，采取20°相移步長是更佳的選擇，此時自調(diào)諧算法誤差PV、RMS為0.0097λ、0.0029λ，仍能保證較高還原精度。后續(xù)可在該算法基礎(chǔ)上進行重疊平均法數(shù)值仿真分析，同時進行實際干涉儀測量元件表面形貌實驗，思考小幅度步長相移在實際實現(xiàn)過程中的CCD采樣與校準，以驗證小相移算法的抗振性能。