基于時(shí)間演化算符的高保真度量子操控的逆向工程

陳添鳳，邱嘉旻，彭宏，陳曦，延英

（1 蘇州大學(xué)光電科學(xué)與工程學(xué)院蘇州納米科技協(xié)同創(chuàng)新中心，江蘇 蘇州 215006）（2 蘇州大學(xué)江蘇省先進(jìn)光學(xué)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室教育部現(xiàn)代光學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室省先進(jìn)光學(xué)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 蘇州 215006）（3 蘇州大學(xué)數(shù)碼激光成像與顯示教育部工程研究中心，江蘇 蘇州 215006）

0 引言

近年來(lái)，在量子信息處理、量子計(jì)算、量子通信［1-4］等方面，對(duì)量子比特的相干操控引起廣泛關(guān)注。在量子系統(tǒng)中，相干操控最重要的一個(gè)目標(biāo)是對(duì)能量子態(tài)進(jìn)行精確操控。但是，承載量子比特相干操控的物理系統(tǒng)通常都是不完美的，會(huì)受到退相干、頻率失諧、非共振激發(fā)，以及拉比頻率波動(dòng)等因素的干擾和制約。因此，要實(shí)現(xiàn)精確的量子操控，需要盡可能地克服這些限制性因素的影響。目前，操控量子態(tài)常用的技術(shù)包括絕熱通道技術(shù)［5-6］、共振脈沖技術(shù)［7］，以及量子絕熱捷徑等。其中，絕熱通道技術(shù)對(duì)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的參數(shù)波動(dòng)具有較高的魯棒性，但是因?yàn)槭艿浇^熱條件的限制，演化過(guò)程較慢，因此受退相干的影響較為嚴(yán)重；共振脈沖技術(shù)雖然有較快的演化速度，但是對(duì)參數(shù)波動(dòng)的魯棒性較差。為了兼得高魯棒性和快速演化兩個(gè)特征，上海大學(xué)的陳璽教授提出了量子絕熱捷徑（Shortcut to Adiabaticity，STA）技術(shù)［8-10］。該技術(shù)的核心是以非絕熱方式（不需要滿足絕熱條件）來(lái)加速量子態(tài)的演化，同時(shí)保留了絕熱過(guò)程的魯棒性。

STA的實(shí)施方法主要有兩種，一種是基于劉易斯-里森菲爾德不變量（Lewis-Riesenfeld Invariant，LRI）理論的逆向工程［11-14］，另一種是無(wú)躍遷量子驅(qū)動(dòng)（Transitionless Quantum Driving，TQD）［15-17］。前者的思路是首先求出哈密頓量的不變量，然后基于LRI的瞬時(shí)本征態(tài)來(lái)構(gòu)建薛定諤方程的解，進(jìn)而反解出系統(tǒng)的哈密頓量。后者的核心是在一個(gè)初始哈密頓量H0(t)上增加反絕熱耦合項(xiàng)，使得量子態(tài)在系統(tǒng)總哈密頓量的驅(qū)使下能非絕熱地沿著H0(t)的瞬時(shí)本征態(tài)進(jìn)行演化。2010年，陳璽教授基于TQD提出僅在兩個(gè)基態(tài)能級(jí)之間使用微波場(chǎng)就可以實(shí)現(xiàn)快速布局?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)移［17］，但是這個(gè)微波場(chǎng)在某些實(shí)驗(yàn)中較難實(shí)施。為此，研究者在三能級(jí)系統(tǒng)中，考慮到在大頻率失諧情況下激發(fā)態(tài)沒(méi)有布局?jǐn)?shù)分布，因此可以將三能級(jí)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為一個(gè)有效二能級(jí)系統(tǒng)，并確保在初始和終止時(shí)刻量子態(tài)的布局?jǐn)?shù)與絕熱狀態(tài)時(shí)相同，基于TQD通過(guò)幺正變換，得到有效的哈密頓量，達(dá)到修改光脈沖的目的，實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)量子比特能級(jí)之間的布局?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)移［18-19］。還有很多研究工作假設(shè)在三能級(jí)系統(tǒng)中不存在頻率失諧問(wèn)題（即共振模型），通過(guò)引入時(shí)間演化算符并結(jié)合逆向工程逆向求得哈密頓量，然后將此哈密頓量與初始哈密頓量進(jìn)行對(duì)比獲得修改后的光脈沖，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)高魯棒性的量子態(tài)操控［18，20］。目前，這兩種技術(shù) 已 被 應(yīng) 用 于多種物理系統(tǒng) 中，如 囚 禁 離 子［21］、氮-空位（Nitrogen-Vacancy，NV）中心［22］、超導(dǎo)量子系統(tǒng)（Superconducting Quantum System）［5，23］，以及稀土離子（Rare-Earth Ions，REI）量子比特系統(tǒng)［13］等，實(shí)現(xiàn)了對(duì)某些參數(shù)波動(dòng)具有較高魯棒性的量子操控。但是，這些工作大多僅關(guān)注量子操控的魯棒性，而沒(méi)有提及量子操控可能對(duì)系統(tǒng)帶來(lái)的不必要干擾激發(fā)，即對(duì)目標(biāo)量子比特進(jìn)行操控的光脈沖可能會(huì)對(duì)鄰近的非共振的量子躍遷進(jìn)行激發(fā)，從而對(duì)目標(biāo)量子比特造成干擾。例如在REI系統(tǒng)［24-27］，對(duì)目標(biāo)量子比特的操控會(huì)不可避免地對(duì)頻域內(nèi)臨近的其它量子躍遷或背景離子進(jìn)行非共振激發(fā)［13］，進(jìn)而對(duì)目標(biāo)量子比特造成干擾。又例如，超導(dǎo)量子比特系統(tǒng)可以看作不等間距的量子諧振子，相鄰三個(gè)能級(jí)之間的躍遷頻率差值稱為非諧量［28-29］，對(duì)相鄰兩個(gè)能級(jí)的激發(fā)，會(huì)不可避免地激發(fā)其中一個(gè)到第三個(gè)能級(jí)的躍遷，為了減小這種干擾，一個(gè)方法是增大非諧量，但是付出的代價(jià)卻是降低量子比特的相干時(shí)間。因此，在類似這樣頻率緊密分布的系統(tǒng)中，要想取得高保真度的量子操控，不僅需要快速和高魯棒性的特征，還需要極低的非共振激發(fā)。

為了使量子操控具備上述三個(gè)特征，快速高效地制備量子比特的任意疊加態(tài)，課題組已基于LRI逆向工程理論［13，30］，結(jié)合光脈沖優(yōu)化方法，在三能級(jí)系統(tǒng)中創(chuàng)建了快速、具有高魯棒性和低非共振激發(fā)的量子操控，并將之應(yīng)用于REI系統(tǒng)中，得到了較好的結(jié)果。然而，在LRI理論中，首先需要構(gòu)造出哈密頓量的不變量，而在大多數(shù)系統(tǒng)中，不變量是未知的，構(gòu)造不變量的過(guò)程較復(fù)雜，會(huì)受到某些實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的限制［9］。TQD與LRI在一定程度上是等效的，二者之間可以互相轉(zhuǎn)換［16］。因此，原則上基于TQD也可以創(chuàng)建滿足需求的量子操控。但是，在TQD方案中引入的反絕熱耦合項(xiàng)［17］，在很多情況下是直接耦合兩個(gè)量子比特能級(jí)（0和的微波脈沖，而在一些實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中，這種微波場(chǎng)不容易實(shí)施或不適合使用［31］。比如，在稀土離子量子比特系統(tǒng)中，為了對(duì)量子比特進(jìn)行有效的操控，首先需要通過(guò)光譜燒孔效應(yīng)創(chuàng)建一個(gè)零吸收窗口，然后再將一小部分（頻率分布寬度約170 kHz）稀土離子泵浦回透明窗口中作為量子比特［24］。在創(chuàng)建零吸收窗口時(shí)，必須使位于吸收窗口左側(cè)的稀土離子都處于態(tài)。若在量子操控中使用微波場(chǎng)，它會(huì)對(duì)這些離子在兩個(gè)量子比特能級(jí)和之間進(jìn)行激發(fā)（這個(gè)躍遷的非均勻展寬非常非常小，可以忽略不計(jì)），導(dǎo)致部分離子會(huì)被泵浦到零吸收窗口中，對(duì)目標(biāo)量子比特造成干擾。因此，在稀土離子量子比特系統(tǒng)中不適合使用微波場(chǎng)。為此，福州大學(xué)夏巖教授課題組提出，基于一組含時(shí)輔助基矢來(lái)構(gòu)建時(shí)間演化算符，并結(jié)合逆向工程得到哈密頓量，進(jìn)而通過(guò)約束基矢中的兩個(gè)含時(shí)參量之間的關(guān)系來(lái)消除哈密頓量中的反絕熱耦合項(xiàng)，在非絕熱狀態(tài)下實(shí)現(xiàn)了布局?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)移［32］。

本文同樣基于TQD的逆向工程技術(shù)，通過(guò)合理設(shè)計(jì)時(shí)間演化算符，消除哈密頓量的反絕熱耦合項(xiàng)，同時(shí)去除額外的微波場(chǎng)；并將此理論方案應(yīng)用于頻域緊密分布的稀土離子量子比特系統(tǒng)中，在非絕熱光脈沖中引入多個(gè)新自由度參數(shù)，在不改變初始態(tài)和終止態(tài)的情況下，通過(guò)優(yōu)化這些自由度參數(shù)的取值來(lái)改善光脈沖的工作性能。一方面增加量子操控對(duì)頻率失諧量的魯棒性；另一方面，使量子操控在對(duì)目標(biāo)量子比特作用時(shí)，對(duì)臨近量子比特造成極低的干擾激發(fā)。同時(shí)，本方案是一個(gè)非絕熱過(guò)程，可大大縮短脈沖作用時(shí)間，降低退相干的可能性。

1 光脈沖的設(shè)計(jì)理論

圖1 一個(gè)Λ型三能級(jí)系統(tǒng)的能級(jí)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 The schematic energy level diagram of a three-level system with Λ configuration

首先，基于兩個(gè)含時(shí)變量α(t)和β(t)，在基矢下假設(shè)一組正交歸一且完備的輔助態(tài)基矢，即

基于這組基矢，系統(tǒng)的時(shí)間演化算符可以構(gòu)建為［32］

由于U(t)U?(t)=I，參數(shù)γmn(t)需要滿足

式中，δmn是Kronecker Delta函數(shù)。在式（6）的約束下，可以借助另一個(gè)含時(shí)參量l(t)將γmn(t)表達(dá)出來(lái)，于是式（5）變?yōu)?/p>

由此得到系統(tǒng)的哈密頓量在輔助態(tài)基矢下的形式，即

至此，借助三個(gè)含時(shí)參量構(gòu)造出了時(shí)間演化算符，并逆向求解出系統(tǒng)的哈密頓量，通過(guò)約束三個(gè)含時(shí)參量之間的關(guān)系，在三能級(jí)系統(tǒng)中將兩個(gè)量子比特能級(jí)之間的直接耦合項(xiàng)去除掉。

結(jié)合式（1）、（10），可得到光脈沖Ωp，s(t)的表達(dá)形式為

這樣，基于兩個(gè)含時(shí)變量α(t)和β(t)得到了光脈沖的拉比頻率；對(duì)光脈沖的設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為構(gòu)建α(t)和β(t)的問(wèn)題。另外，考慮到在實(shí)驗(yàn)中，如果光脈沖振幅在時(shí)域中有急速變化，那么它必然會(huì)在頻域內(nèi)帶來(lái)多個(gè)冗余分量，可能對(duì)目標(biāo)量子態(tài)造成干擾。因此，光脈沖的振幅最好在起始和終止時(shí)刻都為零，即

這要求α(t)和β(t)滿足如下邊界條件

本文目標(biāo)是使哈密頓量H(t)驅(qū)動(dòng)三能級(jí)系統(tǒng)在兩個(gè)量子比特態(tài)能級(jí)之間進(jìn)行精確演化，將量子比特初始化到一個(gè)任意疊加態(tài)上。量子操控的精確度用保真度F來(lái)衡量，即

基于以上理論考慮一個(gè)最簡(jiǎn)單的情況，即哈密頓量驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)沿著從初始態(tài)演化到目標(biāo)疊加態(tài)。即α(t)和β(t)必須在初始和終止時(shí)刻滿足如下邊界條件

考慮到式（13）以及高魯棒性和低非共振激發(fā)的要求，提出α(t)和β(t)為

式中，ak(k=1，2，3，4…)是不含時(shí)的常數(shù)，表征每個(gè)正弦函數(shù)的權(quán)重；C為一常數(shù)，其取值可以在滿足α(t)的邊界條件下進(jìn)行選取，這里令C=0。式（17）和（18）所示α(t)和β(t)顯然滿足式（15）和（16）要求的邊界條件。為滿足邊界條件式（13），ak(k=1，2，3，4…)需要滿足

由式（19）、（20）可知，n個(gè)參數(shù)中（a1，a2，a3，a4，…an）仍然有n-2個(gè)自由度，這些自由度可以用來(lái)對(duì)光脈沖進(jìn)行優(yōu)化。因?yàn)樵诓豢紤]頻率失諧和非共振激發(fā)的前提下，無(wú)論ak取何值，量子態(tài)都可以完美地沿著進(jìn)行演化，達(dá)到目標(biāo)態(tài)。但是，在REI系綜量子比特系統(tǒng)中，系綜量子比特中的頻率失諧和光脈沖對(duì)附近量子比特的非共振激發(fā)都會(huì)降低量子操控的保真度，借助這些自由度可以優(yōu)化光脈沖的工作性能，實(shí)現(xiàn)高保真度的量子操控。

在式（19）和（20）中，n的取值原則上可以無(wú)限大，這樣提供更多的空間去調(diào)節(jié)光脈沖的工作性能，但是n越大，相應(yīng)正弦波的頻率就越高，而在實(shí)際應(yīng)用中，正弦波的頻率可能會(huì)受到所使用儀器設(shè)備的時(shí)間精度的限制。因此考慮n=4的情況，即值得指出的是，前文所述理論方案考慮的是哈密頓量驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)沿著演化的情況，但事實(shí)上，對(duì)于所述初始態(tài)和目標(biāo)態(tài)，哈密頓量也可驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)沿著另外一個(gè)路徑演化，即沿，實(shí)現(xiàn)既定的量子操控。此時(shí)，式（5）所示的時(shí)間演化算符應(yīng)該調(diào)整為相應(yīng)地，式（15）和（16）也要發(fā)生改變，但是，逆向設(shè)計(jì)的基本原理保持不變。但是，系統(tǒng)不可能沿進(jìn)行演化，因?yàn)橐髴B(tài)上的布局?jǐn)?shù)時(shí)時(shí)刻刻為零，這點(diǎn)在使用兩個(gè)光場(chǎng)間接地對(duì)兩個(gè)量子比特能級(jí)進(jìn)行耦合時(shí)是不可能實(shí)現(xiàn)的。

2 數(shù)值模擬

將理論方案應(yīng)用于REI系統(tǒng)中（Pr3+：Y2SiO5），考察是否可以創(chuàng)建快速、高魯棒性和低非共振激發(fā)的量子操控。REI系統(tǒng)具有長(zhǎng)達(dá)6 h的量子比特相干時(shí)間［24-27］，是一個(gè)有競(jìng)爭(zhēng)力的量子計(jì)算硬件的測(cè)試體，而且晶體材料的制作工藝成熟，可以直接采購(gòu)。在REI系統(tǒng)中，極少量的Pr3+以隨機(jī)摻雜的方式取代硅酸釔晶體中的釔離子。研究者通常選取Pr3+基態(tài)中兩個(gè)超精細(xì)能級(jí)作為量子比特，這兩個(gè)能級(jí)之間的耦合通過(guò)各自與激發(fā)態(tài)之間的光學(xué)躍遷來(lái)實(shí)現(xiàn)，相關(guān)的能級(jí)系統(tǒng)都可以看做一個(gè)三能級(jí)型系統(tǒng)。在這樣的系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)精確的量子操控，除了快速以外，還需要滿足兩個(gè)條件：1）量子操控對(duì)表征量子比特的數(shù)十億個(gè)鐠離子（稱為系綜量子比特）具有同等效果的激發(fā)，即對(duì)約170 kHz（半高全寬）的頻率失諧量具有高魯棒性［24］；2）由于晶體中原子密度極高，所以在目標(biāo)量子比特躍遷頻率附近（≥3.5 MHz）存在著大量的非共振Pr3+離子，稱為背景離子。這就要求量子操控對(duì)這些背景離子盡可能地不要有任何激發(fā)，即量子操控必須具有足夠低的非共振激發(fā)［25］。

圖2 光脈沖拉比頻率和量子態(tài)布局?jǐn)?shù)隨時(shí)間的演化情況Fig.2 Time evolution of the Rabi frequencies of the pulses and the population of the quantum state

2.1 高魯棒性

為了考察上述光脈沖對(duì)于REI系綜量子比特中頻率失諧量Δ的魯棒性，在三能級(jí)耦合微分方程中引入了頻率失諧量，并考察了在脈沖終止時(shí)刻，量子比特達(dá)到目標(biāo)量子態(tài)的保真度對(duì)頻率失諧量Δ之間的依賴關(guān)系，結(jié)果如圖3所示。在±170 kHz頻率失諧范圍內(nèi)，設(shè)計(jì)的光脈沖對(duì)系綜量子比特的平均操控保真度為99.86%，比文獻(xiàn)［13］中的結(jié)果（99.79%）略高，說(shuō)明量子操控具有較好的魯棒性。作為對(duì)比，在ak的有效取值范圍內(nèi)隨機(jī)取了一組值：a1=-，a2=0，a3=0，a4=，此時(shí)光脈沖對(duì)系綜量子比特的平均操控保真度為98.23%。

圖3 獲得目標(biāo)態(tài)的保真度對(duì)頻率失諧的依賴關(guān)系Fig.3 Dependence of the fidelity of achieving the target stateon the frequency detuning

2.2 低非共振激發(fā)

除了對(duì)頻率失諧量的魯棒性以外，還關(guān)心光脈沖在對(duì)感興趣的量子比特進(jìn)行操控時(shí)，是否會(huì)對(duì)其鄰近頻域的背景離子或其它量子比特造成非共振激發(fā)。即在理想情況下，如果不存在非共振激發(fā)，那么背景離子應(yīng)該保持在其初始狀態(tài)上的布局?jǐn)?shù)與頻率失諧量之間的依賴關(guān)系，結(jié)果如圖4所示。對(duì)于|Δ|=3.5 MHz處的量子比特離子，在態(tài)上上。為此，考察了在光脈沖結(jié)束時(shí)刻，量子態(tài)在能級(jí)的布局?jǐn)?shù)（藍(lán)色曲線）低于3%；隨著頻率失諧量的增加，在1態(tài)上的布局?jǐn)?shù)逐漸降低；在|Δ|≥5 MHz時(shí)，背景離子被非共振地激發(fā)到態(tài)上的概率低于1.45%。在3.5 MHz時(shí)的非共振激發(fā)概率比文獻(xiàn)［13］中結(jié)果（2.7%）略高，但是仍然在可接受的范圍內(nèi)，尤其是選擇能級(jí)間距更大的稀土離子作為工作物質(zhì)時(shí)，如Eu3+。

圖4 量子態(tài)在能級(jí)和上的布局?jǐn)?shù)對(duì)頻率失諧的依賴情況Fig.4 Dependence of population in levelandof the final stateon the frequency detuning

數(shù)值模擬結(jié)果表明，設(shè)計(jì)的光脈沖既對(duì)于系綜量子比特中存在的頻率失諧（≤170 kHz）具有高魯棒性，也對(duì)于位于目標(biāo)量子比特尋址頻率附近的（≥3.5 MHz）背景離子具有極低的非共振激發(fā)，符合REI系統(tǒng)對(duì)量子比特進(jìn)行高保真度操控的需求。

3 實(shí)驗(yàn)方案

圖2（a）所示的光脈沖在實(shí)驗(yàn)中是切實(shí)可行的，可以通過(guò)連續(xù)激光和聲光調(diào)制器等設(shè)備來(lái)產(chǎn)生，實(shí)驗(yàn)裝置示意圖如圖5所示。首先，使用任意波形發(fā)生器（AWG）生成兩個(gè)無(wú)線電脈沖（RF）信號(hào)，它們的振幅與式（11）所示拉比頻率成正比，位相與光脈沖的位相相同，即

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.5 The schematic experimental setup

式中，A為從光脈沖的拉比頻率Ωp，s到無(wú)線電信號(hào)振幅Ep，s的轉(zhuǎn)換系數(shù)，由實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)決定；E01是兩個(gè)量子比特能級(jí)和之間的能級(jí)差；h是普朗克常數(shù)。RF脈沖驅(qū)動(dòng)聲光調(diào)制器（AOM），使之對(duì)入射的連續(xù)激光調(diào)制，這樣AOM輸出的一階偏折光束便是所需的光脈沖，其時(shí)長(zhǎng)、振幅、位相等參數(shù)全部由AWG生成的RF信號(hào)決定。當(dāng)光束聚焦直徑為100 μm時(shí)，一階偏折光束的典型上升時(shí)間為數(shù)十納秒。因此，基于此系統(tǒng)可以生成如圖2（a）所示的光脈沖。

由式（23）、（11）、（17）和（18）可見(jiàn)，ak的取值決定了RF信號(hào)的波形。而在實(shí)驗(yàn)中，每個(gè)AWG都有特定的時(shí)間分辨率和振幅分辨率，通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到的最優(yōu)ak值，如果使RF信號(hào)的振幅變化太快，超過(guò)了AWG的時(shí)間分辨能力，或者ak中小數(shù)點(diǎn)后最后一個(gè)數(shù)位上的數(shù)值對(duì)應(yīng)的RF信號(hào)的振幅變化低于AWG的振幅分辨率，那么所生成的RF信號(hào)就會(huì)偏離理想波形，這種偏離會(huì)影響AOM的聲光調(diào)制作用強(qiáng)度，使得生成的光脈沖也偏離理想波形。因此，有必要考察操控保真度對(duì)ak在其最優(yōu)值附近的波動(dòng)的依賴程度，這可以為實(shí)驗(yàn)研究提供一些參考。鑒于本文給出的最優(yōu)值中，a1和a2遠(yuǎn)大于a3和a4，因此，有理由相信a1和a2對(duì)保真度的影響會(huì)更大，為此，考察了保真度對(duì)a1和a2波動(dòng)的依賴關(guān)系（Δ=0），結(jié)果如圖6所示，圖中代表著a1和a2在最優(yōu)值附近的相對(duì)波動(dòng)。在η1=±10%，η2=±10%區(qū)間內(nèi)，即圖中紅色點(diǎn)線方框內(nèi)，絕大部分情況下保真度仍大于99%。

圖6 在Δ=0下，保真度對(duì)a1和a2值波動(dòng)的依賴關(guān)系Fig.6 Dependence of fidelity on the fractional fluctuation of a1 and a2 withΔ=0

4 與無(wú)躍遷量子驅(qū)動(dòng)技術(shù)的對(duì)比

本文提出的理論方案，與傳統(tǒng)的無(wú)躍遷量子驅(qū)動(dòng)方案相比，相似之處是二者都通過(guò)構(gòu)建時(shí)間演化算符逆向求解出系統(tǒng)的哈密頓量，且都涉及到兩個(gè)量子比特能級(jí)之間的直接耦合項(xiàng)，但存在著顯著差異。本文理論方案具有如下特征：1）量子態(tài)沿著輔助態(tài)進(jìn)行演化，而不是初始哈密頓量的瞬時(shí)本征態(tài)。輔助態(tài)由兩個(gè)含時(shí)參量α(t)和β(t)來(lái)決定，在滿足邊界條件的情況下，α(t)和β(t)可以有多種選擇，使得輔助態(tài)具有更大的調(diào)節(jié)空間。2）通過(guò)逆向設(shè)計(jì)哈密頓量消除了微波場(chǎng)，不但可以簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)裝置，而且可以為某些無(wú)條件或不適合使用微波場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，如REI系統(tǒng)，帶來(lái)極大便利。更重要的是，采用本文方案消除掉0和1之間的直接耦合微波場(chǎng)，只需要使三個(gè)含時(shí)變量α(t)、β(t)和l(t)滿足關(guān)系式=0即可，不需要在其他任何方面付出代價(jià)。即式（5）所述時(shí)間演化算符提供了自由度，對(duì)于任意形式的α(t)和β(t)，總可以根據(jù)=0找到一個(gè)l(t)。但是，光脈沖的數(shù)目和具體形式如式（11）所示，卻不依賴于l(t)，所以不會(huì)受到任何影響。3）在含時(shí)參量中引入多個(gè)自由度，使哈密頓量的構(gòu)造具有更高的靈活性，可用來(lái)調(diào)節(jié)光與物質(zhì)相互作用的動(dòng)力學(xué)行為。

5 結(jié)論

本文借助一組正交歸一的輔助態(tài)，構(gòu)建出時(shí)間演化算符，并由此逆向推出系統(tǒng)的哈密頓量；通過(guò)約束輔助態(tài)中的含時(shí)參量之間的關(guān)系，消除了哈密頓量中的微波場(chǎng)，簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)操作步驟。同時(shí)通過(guò)在含時(shí)參量中引入多個(gè)自由度參數(shù)并對(duì)其值進(jìn)行優(yōu)化，設(shè)計(jì)出了非絕熱的、對(duì)較小范圍（|Δ|≤170 kHz）的頻率失諧量具有高保真度，且對(duì)臨近量子比特（|Δ|≥3.5 MHz）具有較低非共振激發(fā)的量子操控光脈沖。將此理論方案應(yīng)用于REI量子系統(tǒng)中，數(shù)值模擬表明，該光脈沖可以操控系綜量子比特創(chuàng)建一個(gè)任意疊加態(tài)，平均操控保真度高于99.86%。

本文提出的理論方案不僅適用于稀土離子量子比特系統(tǒng)，也適用于其它任何依靠頻率尋址的量子系統(tǒng)，如氮-空位中心系統(tǒng)，超導(dǎo)量子比特系統(tǒng)等。另外，還可以結(jié)合微擾理論，將此理論方案進(jìn)行拓展，使量子操控在對(duì)頻率失諧量具有高魯棒性，對(duì)鄰近量子比特具有低非共振激發(fā)的前提下，進(jìn)一步對(duì)拉比頻率波動(dòng)也具有較高的魯棒性?？朔@些物理限制性因素對(duì)量子操控的影響，對(duì)量子計(jì)算、量子糾錯(cuò)以及量子通信等量子科技都具有積極的意義。

附錄

如引言中所述，期望量子操控能對(duì)REI系綜量子比特中存在的頻率失諧量具有高魯棒性，即在||Δ≤170 kHz時(shí)，保真度要盡可能地趨近于1；而對(duì)距離目標(biāo)量子比特約3.5 MHz以外的背景離子不產(chǎn)生干擾，即在||Δ≥3.5 MHz時(shí)，非共振激發(fā)要盡可能地低。為此，對(duì)式（17）中的參數(shù)ak進(jìn)行優(yōu)化。采用的方法是對(duì)ak在其有效取值范圍內(nèi)進(jìn)行掃描，考察量子操控在||Δ≤170 kHz范圍內(nèi)的保真度，以及在±3.5 MHz處的非共振激發(fā)。保真度越高，非共振激發(fā)越低，參數(shù)的取值就越優(yōu)越。

具體步驟為：

首先，式（21）和（22）限定了a3和a4必須在［-1，1］范圍內(nèi)，對(duì)于在此范圍內(nèi)的任意值，a1和a2都可以由此二元二次方程組求出。為了清晰地看到這兩個(gè)參數(shù)對(duì)量子操控保真度和非共振激發(fā)的影響。令Δ=170 MHz，對(duì)它們進(jìn)行了掃描，保真度對(duì)a3和a4的依賴關(guān)系如圖7（a）所示；同時(shí)，在Δ=3.5 MHz處態(tài)上的布局?jǐn)?shù)P1對(duì)a3和a4的依賴關(guān)系如圖7（b）所示，P1越低，說(shuō)明非共振激發(fā)越低。圖7（a）和7（b）的交疊區(qū)域是感興趣的參數(shù)空間，在此交疊區(qū)域中a3的取值范圍是［-0.07，0.14］。

圖7 光脈沖對(duì)系綜量子比特的操控保真度F以及對(duì)背景離子的非共振激發(fā)P1對(duì)a3和a4的依賴關(guān)系Fig.7 Dependence of the operational fidelity F over the ensemble qubit and the off-resonant excitation P1 of the background ions on a3 and a4

其次，為了在前一步得到的范圍內(nèi)對(duì)a3和a4的取值進(jìn)行更精細(xì)的優(yōu)化，令a3=0.05，對(duì)a4在其有效取值范圍內(nèi)(a3?[-0.5，0.45])進(jìn)行掃描，尋找出保真度F=0.99時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率失諧量值Δ1和Δ2。由此可得出，保真度大于等于0.99的頻率失諧量范圍為。同時(shí)，考察頻率失諧量Δ=3.5 MHz時(shí)所對(duì)應(yīng)的非共振激發(fā)P1的值（從圖4可以看出，P1對(duì)于頻率失諧量呈對(duì)稱分布，因此這里只考慮了3.5 MHz時(shí)的情況），結(jié)果如圖8所示。理想的結(jié)果是在確保P1足夠?。ɡ纾?%）的前提下，Γ的值越大越好。從圖中看出，當(dāng)a4=-0.17時(shí)，Γ=0.38 MHz，P1=3.0%，量子操控兼具高魯棒性和低非共振激發(fā)的特性。此時(shí)，根據(jù)式（20）和（21）可以求出a1=-0.74836，a2=0.63918，即文中采用的最優(yōu)值。需要指出的是，最優(yōu)值有多種選擇，文中給出的只是一組。

圖8 保真度F≥0.9對(duì)應(yīng)的頻率失諧量區(qū)間Γ以及在Δ=3.5時(shí)態(tài)上的布局?jǐn)?shù)P1對(duì)a4的依賴關(guān)系Fig.8 Dependence of the range of the frequency detuningΓwith F≥0.99 and the population instate P1 withΔ=3.5 MHz on a4