基于頻域稀疏采樣的離軸壓縮全息相位重建

蒙彬鈞，劉丙才，楊棟，王紅軍，朱學(xué)亮，，錢曉彤，牛瑞，田愛玲，

（1 西安工業(yè)大學(xué) 兵器科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，西安 710021）（2 陜西省薄膜技術(shù)與光學(xué)檢測重點實驗室，西安 710021）（3 中檢西部檢測有限公司，西安 710032）

0 引言

數(shù)字全息術(shù)［1］通過衍射理論的數(shù)值計算來獲取物光波的復(fù)振幅，相比傳統(tǒng)光學(xué)全息，其采用光敏電子器件記錄下全息干涉條紋，避免了對記錄介質(zhì)進(jìn)行復(fù)雜的光化學(xué)處理。通過單幀圖像的采集快速恢復(fù)物體的三維形貌，具有非接觸、實時動態(tài)、無損檢測的特點［2］。然而，對不同結(jié)構(gòu)的微光學(xué)元件進(jìn)行全息顯微測量時，不同縱向深度層面會受到背景信息的干擾，使得全息三維光場中的相位測量精度不高。因此，在探索數(shù)字全息波前重建過程中，提高相位重建質(zhì)量方法的研究具有重要意義。

壓縮感知理論［3-4］作為一種新的信號表示與處理的理論，在其理論框架下對稀疏或可壓縮的信號，利用測量矩陣將高維信號投影到一個低維空間進(jìn)行觀測，通過求解目標(biāo)函數(shù)極值的方式，從少量觀測值中實現(xiàn)原始信號的稀疏精確重構(gòu)，特別是在高維圖像信號的稀疏表示與重建方面擁有廣闊的發(fā)展前景。壓縮感知與全息技術(shù)之間的關(guān)聯(lián)性表現(xiàn)在全息記錄系統(tǒng)為菲涅耳衍射區(qū)域時，測量基相當(dāng)于傅里葉測量矩陣［5］，CCD記錄全息干涉圖的過程可以等同壓縮編碼測量，將包含相位的物光波信息壓縮成一幅全息圖。BRADY D J等將壓縮感知理論與Gabor全息術(shù)相結(jié)合，提出了壓縮感知數(shù)字全息成像技術(shù)［6］。理論上證明了全息衍射編碼滿足壓縮感知成像中的“非相干”編碼的要求，實現(xiàn)三維空間中兩個距離較遠(yuǎn)的蒲公英種子形貌的分層重建，此后，將其用于毫米波壓縮感知全息成像［7-8］，同樣得到了很好的恢復(fù)效果。RIVENSON Y等將壓縮感知全息技術(shù)用于顯微成像領(lǐng)域［9］，利用目標(biāo)在小波變換域的稀疏特性，大幅降低了成像系統(tǒng)所需測量值數(shù)量。與此同時，國內(nèi)各大高校在壓縮全息技術(shù)方面也展開了相應(yīng)的研究，從同軸全息、相移全息、離軸全息、非相干全息等多種全息的壓縮感知重建［10-13］，擴展到多層切片物體的層析重建中［14-15］；在同軸全息的重建中能有效消除孿生像的干擾，充分利用探測器的空間帶寬積；在三維多層樣本的重建中，能有效抑制離焦面信息的干擾，實現(xiàn)不同縱向深度的層析重建。然而，壓縮全息在成像方面的應(yīng)用更多集中于物體的強度恢復(fù)，卻鮮有對位相型算法的分析研究，現(xiàn)實中沒有單純的強度型物體，即使強度型透明物體都攜有一定量深度位相信息。對不同結(jié)構(gòu)的微光學(xué)元件進(jìn)行數(shù)字全息顯微測量時，由于物體具有連續(xù)或者不連續(xù)的相位特征，導(dǎo)致傳統(tǒng)數(shù)字全息再現(xiàn)算法在三維重建中無法精確測量微光學(xué)元件的波前相位。

針對上述分析，本文將壓縮全息技術(shù)應(yīng)用到離軸全息的波前相位檢測中?；趥鹘y(tǒng)數(shù)字全息再現(xiàn)算法的重建過程，利用壓縮感知理論對傅里葉域內(nèi)的全息圖頻譜信息進(jìn)行隨機稀疏采樣，并在小波變換域內(nèi)實現(xiàn)待測物光波有效頻譜信息的稀疏恢復(fù)；再經(jīng)過傅里葉逆變換將頻域轉(zhuǎn)化到空域，得到重建物光波的復(fù)振幅分布，并進(jìn)一步討論了采樣數(shù)與重建圖像焦深的關(guān)系；針對連續(xù)和不連續(xù)相位物體展開實驗研究，比較了傳統(tǒng)衍射再現(xiàn)算法與基于壓縮感知的數(shù)值重建算法的相位重建結(jié)果，分別從相位圖重建質(zhì)量及三維重建精度兩個方面分析，得到了比傳統(tǒng)衍射重建更高質(zhì)量的相位重建結(jié)果，實現(xiàn)對待測物體相位信息的精確測量。

1 離軸數(shù)字全息的壓縮感知重建原理

1.1 離軸數(shù)字全息

數(shù)字全息的記錄過程是攜帶物體信息的光波O(x，y)與參考光R(x，y)在CCD光敏面發(fā)生干涉，所得到的干涉條紋圖即為全息圖［1］。其光強度表達(dá)式為

式中，第一、二項為零級衍射項，第三項為攜帶物體信息的干涉項，第四項為共軛像。通過頻域濾波去除直流分量及共軛像，得到待測物光波的復(fù)振幅分布

角譜法是衍射光在頻域內(nèi)的一種傳播形式，傳播過程中無任何近似，可準(zhǔn)確描述頻域內(nèi)的衍射再現(xiàn)過程［16］，其復(fù)振幅表達(dá)式為

式中，z為衍射距離，λ為波長，引入符號F，F(xiàn)-1分別表示傅里葉變換和傅里葉逆變換，F(xiàn){U(x，y，0)}為物光波U(x，y)在像平面的頻譜，H(u，v)為光傳播的角譜函數(shù)。

1.2 壓縮感知重建相位

壓縮感知的信號采集過程是一個非自適應(yīng)的線性采樣過程，利用圖像的稀疏性，通過非相關(guān)測量矩陣將高維信號投影到一個低維空間上進(jìn)行觀測感知。當(dāng)選擇合適的小波變換對物光波頻譜信號進(jìn)行稀疏表示時，可以利用壓縮感知算法從少量頻域數(shù)據(jù)中實現(xiàn)高精度重建。假設(shè)物光波的頻譜信號x∈RN在稀疏基底Ψ=[ψ1，ψ2，ψ3…，ψN]下可表示為稀疏信號θ

用一個與稀疏變換矩陣不相關(guān)的高斯隨機觀測矩陣H∈RM×N(M?N)對稀疏信號進(jìn)行觀測，得到高維信號投影在低維空間上長度為M的觀測值I(M＜N)

式中，A=HΨ為M×N矩陣，稱為感知矩陣，當(dāng)感知矩陣滿足稀疏信號的約束等距特性時，頻譜信號的稀疏重構(gòu)可以通過求解目標(biāo)函數(shù)范數(shù)極值的方式，從少量壓縮采樣數(shù)據(jù)中準(zhǔn)確重構(gòu)出稀疏信號，再經(jīng)過稀疏反變換獲得原始高維圖像信息。

壓縮感知數(shù)字全息記錄過程中的測量基相當(dāng)于傅里葉測量矩陣，光學(xué)測量系統(tǒng)本質(zhì)上探測到的是圖像傅里葉變換后的頻譜，根據(jù)衍射的角譜理論，衍射再現(xiàn)過程相當(dāng)于不同縱向深度層面產(chǎn)生的離散物光點頻譜與光在自由空間傳播的傳遞函數(shù)的卷積。因此，全息記錄可視為原物光場衍射強度的一個線性觀測過程，對全息圖頻譜及物光場進(jìn)行離散化處理，假設(shè)CCD的分辨率為Nx×Ny，像素尺寸為Δx×Δy，待測物體空間被劃分為步長為Δx×Δy×Δz的Nx×Ny×Nz采樣區(qū)間。對式（3）進(jìn)行離散化可得

式中。

根據(jù)壓縮感知理論數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建適用于描述頻域中衍射再現(xiàn)的算法框架，首先要構(gòu)建適應(yīng)全息記錄過程的傳感矩陣，然后基于稀疏重構(gòu)算法進(jìn)行重構(gòu)再現(xiàn)。為適應(yīng)壓縮感知理論中的線性觀測過程，進(jìn)一步需要將離散化后所表示的衍射光場與物光場的關(guān)系進(jìn)行矩陣化處理。定義為全息圖中第p行第q列的值為原三維物光場第i層第m行第n列的值。然后定義計算核Q=[q1q2…qNz]，并引入大小為(Nx×Ny)×(Nx×Ny)的分塊對角矩陣B=bldiag(F2D，F(xiàn)2D，…，F(xiàn)2D)展開對原物光場的離散傅里葉變換計算，則

式中，F(xiàn)2D表示二維離散傅里葉變換為全息記錄過程的感知矩陣。

通過對式（9）的線性觀測模型進(jìn)行優(yōu)化求解，重構(gòu)原物光波復(fù)振幅可得到相應(yīng)的再現(xiàn)相位分布

式中，Im與Re分別表示復(fù)振幅的虛部和實部。

假設(shè)全息圖的取樣數(shù)為N×N，重建像平面的寬度為L=NT，即重建像平面每一個像素的間隔為T，物平面上的離焦點源在像平面上所占有的像素數(shù)即為

可以假定點源在重建平面的能量能夠集中在1.5個像素作為焦深的限制條件［17］。定義數(shù)字全息重建圖像的焦深為2|z-zi|，并令Nδ=1.5，根據(jù)式（11）得

式中，zi為理想像重建距離，z為實際像重建距離。一方面，重建圖像的焦深隨著理想像重建距離zi的增加而增加，當(dāng)采樣數(shù)N減小時，重建圖像的焦深會增加；另一方面，由于全息圖的采樣是在物體的頻域進(jìn)行的，頻譜經(jīng)過FFT變換到空間域（重建平面），頻率分辨率Δf與空間域的采樣間隔T之間的關(guān)系為Δf=2π/(NT)，在采樣間隔不變的情況下，通過減小采樣數(shù)來獲得較高的頻率分辨率；由此可知，對于給定有限尺寸空間帶寬的CCD，用基于壓縮感知的壓縮成像機制，通過頻域稀疏采樣，以遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)方法所獲得的數(shù)據(jù)量，得到重建平面較高分辨率的圖像信息。

本文采用回溯思想的壓縮采樣匹配追蹤（Compressive Sampling Matching Pursuit，CoSaMP）算法［18］對式（9）所表示的觀測模型進(jìn)行求解，從低維空間采樣數(shù)據(jù)的非相關(guān)觀測值中實現(xiàn)高維信號的感知。在傅里葉域內(nèi)隨機采樣一半的頻譜數(shù)據(jù)就能實現(xiàn)對全息圖的稀疏重建，減小采樣數(shù)來增加重建圖像的焦深。在整個相位重建過程中，無需計算機模擬數(shù)字再現(xiàn)光照明全息圖，消除了數(shù)字再現(xiàn)光對參考光的影響［19］。最后，利用（10）式計算得到包裹相位采用最小二乘相位解包裹算法［20］，得到待測物體真實的相位分布。

2 實驗裝置

采用Mach-Zehnder干涉光路，通過搭建數(shù)字全息顯微測量裝置，開展功能微結(jié)構(gòu)光學(xué)元件的表面形貌和波前相位的高分辨測量實驗。實驗裝置圖如圖1所示，系統(tǒng)中使用波長為638 nm的半導(dǎo)體激光器作為光源，激光器發(fā)出的點光源經(jīng)過擴束準(zhǔn)直（BE）后，經(jīng)分光棱鏡（BS1）1∶1分成兩路，一路為物光，一路為參考光；物光波經(jīng)過平面反射鏡（M1）將光路轉(zhuǎn)向，并透過待測物體，攜帶波前相位信息的物光波再經(jīng)過顯微物鏡（MO?）到達(dá)分光棱鏡（BS2）；參考光經(jīng)過平面反射鏡（M2）轉(zhuǎn)向經(jīng)過顯微物鏡（MO?）參考光通過設(shè)置一定量的離軸夾角，使得幾種衍射像在成像平面上能夠完全分離。參考光與物光在分光棱鏡（BS2）處產(chǎn)生全息干涉，再經(jīng)過Tube lens成像到CMOS相機的感光靶面上，實現(xiàn)數(shù)字全息圖的采集。

圖1 數(shù)字全息顯微測量裝置圖Fig.1 Digital holographic micro measurement device diagram

CMOS相機（DMK 27AUC03）分辨率為1024 pixel×1024 pixel，像素尺寸為3.75 μm×3.75 μm；針對連續(xù)物體和不連續(xù)物體進(jìn)行實驗驗證與分析，對不同深度的待測物體選用合適放大倍率的顯微物鏡進(jìn)行預(yù)放大成像；微透鏡陣列矢高為2.6 μm，選用10×顯微物鏡，相位分辨率板矢高為50 nm，選用20×顯微物鏡，實驗中采用調(diào)焦位移平臺進(jìn)行精確聚焦，實驗結(jié)果如圖2所示，（a）為微透鏡陣列全息圖，（b）為相位分辨率板全息圖。

圖2 實驗采集的數(shù)字全息圖Fig.2 Digital hologram collected by experiment

3 實驗結(jié)果及分析

3.1 微透鏡陣列的測試與分析

為了驗證壓縮感知數(shù)字全息算法在提高相位重建質(zhì)量方面的可行性，通過上述實驗光路采集微透鏡陣列全息圖，如圖3（a）所示；首先，對全息圖進(jìn)行傅里葉變換得到全息頻譜圖，如圖3（b）所示，可以看出幾種衍射像分離；然后，為消除零級衍射像和共軛像的干擾，使用合適大小的矩形濾波器提取正一級頻譜并移中，再經(jīng)逆傅里葉變換得到預(yù)處理后的全息圖，如圖3（c）所示；最后，對預(yù)處理的全息圖，分別采用傳統(tǒng)衍射再現(xiàn)的反向傳播法（Back Propagation，BP）和基于壓縮感知稀疏采樣（Back Propagation-Compressed Sensing，BP-CS）的方法進(jìn)行相位重建，獲得其相位分布。黑色箭頭為傳統(tǒng)方法的重建步驟，藍(lán)色箭頭為本文所提方法的相位重建步驟，壓縮感知稀疏采樣算法框架，如虛線框圖3（j）所示；采用傳統(tǒng)衍射再現(xiàn)的方法得到的包裹相位分布，如圖3（d）所示，基于壓縮感知的方法重建得到的包裹相位分布，如圖3（f）所示；傳統(tǒng)的衍射再現(xiàn)過程是利用計算機模擬再現(xiàn)光照明全息圖，經(jīng)過衍射傳輸成像在像面上。而壓縮感知稀疏采樣的相位重建過程無需參考光波，其包裹相位不受數(shù)字再現(xiàn)光的影響；隨后，采用基于離散余弦變換的最小二乘法對包裹相位進(jìn)行解包裹處理，獲得連續(xù)真實的相位分布。傳統(tǒng)方法得到的解包相位，如圖3（e）所示，壓縮感知的方法重建得到的解包裹相位，如圖3（g）所示；可以看出，基于壓縮感知重建得到微透鏡陣列的相位分布，相較于傳統(tǒng)衍射重建方法，其相位圖邊緣輪廓清晰、背景平穩(wěn)、相位對比度高，有更好的重建質(zhì)量；本文采用相位畸變補償算法來消除光學(xué)元件引起的相位畸變，得到微透鏡陣列的二維相位圖及三維相位圖，如圖3（h）、3（i）所示。

為驗證本文方法三維重建的精確性，基于傳統(tǒng)的數(shù)字全息再現(xiàn)得到的三維重建結(jié)果（BP）、基于壓縮感知稀疏采樣的三維重建結(jié)果（BP-CS）與白光干涉儀測量結(jié)果（ZYGO）三者進(jìn)行比較，選取單個微透鏡相同位置處的截面線（圖3（h）中紅線標(biāo)出）進(jìn)行對比，結(jié)果如圖4（a）所示。將傳統(tǒng)方法得到的重建結(jié)果、基于壓縮感知稀疏采樣的重建結(jié)果分別與白光干涉儀測得的結(jié)果進(jìn)行殘差分析，殘差對比結(jié)果如圖4（b）所示。對傳統(tǒng)方法的相位重建結(jié)果與白光干涉儀之間的殘差值R-BP，對基于壓縮感知稀疏采樣的相位重建結(jié)果與白光干涉儀之間的殘差值R-BP-CS進(jìn)行對比分析，采用峰谷差值（Peak-Valley，PV）和均方根值（Root-Mean-Square，RMS）作為評價指標(biāo)，實驗結(jié)果的評價參數(shù)見表1。

圖4 微透鏡陣列的三維重建實驗結(jié)果Fig.4 Experimental results of 3D reconstruction of micro lens array

對基于壓縮感知稀疏采樣重建前后的相位結(jié)果分別進(jìn)行計算，從表1中的殘差對比可以看出，傳統(tǒng)方法的三維重建結(jié)果與白光干涉儀測量結(jié)果在相同截面線處的殘差估計：PV值為0.6975 μm，RMS值為0.127。壓縮感知稀疏采樣后的三維重建結(jié)果與白光干涉儀測量結(jié)果在相同截面線處的殘差估計：PV值 為0.5094 μm，RMS值 為0.1079，后 者 殘 差 的PV和RMS值 與 前 者 相 比，分 別 降 低 了26.97%和15.04%。結(jié)果表明，經(jīng)過壓縮感知算法處理后的波面較為平滑，恢復(fù)的相位精度更高，可有效提高相位重建質(zhì)量。

表1 殘差對比分析Table 1 Comparative analysis of residual

3.2 相位分辨率板的測試與分析

為了驗證本文方法在不連續(xù)相位物體測量中的有效性，待測物體選用相位分辨率板，基于數(shù)字全息相位重建過程，本文在頻譜濾波中用交互式掩模數(shù)字濾波實現(xiàn)正一級頻譜的提取、移中。用壓縮感知算法實現(xiàn)全息圖頻譜信息的稀疏恢復(fù)，再經(jīng)過角譜法衍射再現(xiàn)其相位分布，得到相位分辨率板的三維重建實驗結(jié)果，如圖5所示。對比壓縮感知重建前后的相位分布圖，其中圖5（a）為傳統(tǒng)衍射再現(xiàn)的相位圖，圖5（b）為壓縮感知稀疏采樣重建得到的相位圖，分別取第六組第2線、第8組第1線的局部截面線進(jìn)行對比，如圖5（c）、5（d）所示。分別計算相位分辨率板不同組線的峰谷差值（PV），傳統(tǒng)方法（BP）的三維重建結(jié)果在6-2位置高度為47.6 nm、8-1位置高度為17.7 nm，壓縮感知稀疏采樣（BP-CS）的三維重建結(jié)果在6-2位置高度為49.6 nm、8-1位置高度為29.7 nm。相位分辨率板的縱向高度為50 nm的標(biāo)準(zhǔn)件，實際測量使用ZYGO白光干涉儀測得6-2位置處高度為53.0 nm，傳統(tǒng)方法得到6-2位置處的高度與白光干涉儀所測結(jié)果進(jìn)行誤差計算，矢高的相對誤差為10.2%；壓縮感知重建后得到6-2位置處的高度與白光干涉儀所測結(jié)果進(jìn)行誤差計算，矢高的相對誤差為6.4%，相對測量精度提高了3.8%。由此可知，壓縮感知重建的方法計算所得到的相位測量精度更接近真實值。

圖5 相位分辨率板的三維重建實驗結(jié)果Fig.5 Experimental results of 3D reconstruction of phase resolution plate.

通過圖5（a）、（b）可以看出，傳統(tǒng)數(shù)字全息再現(xiàn)算法的相位重建結(jié)果不能分辨第8組。由于CMOS相機離散采樣的原因，對物體相位信息的離散化，更容易捕獲隨物光波連續(xù)變化的復(fù)振幅分布，使得部分角譜分量丟失。因此，在相位分辨率板的波前相位重建中，不能夠分辨出局部不連續(xù)物體的相位特征。通過壓縮感知稀疏采樣恢復(fù)后的相位圖，與傳統(tǒng)衍射重建的相位圖相比，其局部像質(zhì)有所改善、相位對比度更高，對比相同位置處的截面線，能夠分辨出第8組的第1線。這是由于壓縮感知重建在頻譜濾波后，頻譜所占區(qū)域的寬度通常只是部分像素，通過變換域內(nèi)的稀疏采樣，對不連續(xù)區(qū)域出現(xiàn)的離散相位信息進(jìn)一步壓縮重建，使得重建圖像更精細(xì)，說明不連續(xù)相位物體的局部頻譜分量可以通過壓縮感知的方式獲得稀疏恢復(fù)。

4 結(jié)論

為了提高傳統(tǒng)數(shù)字全息在三維重建中的相位測量精度，構(gòu)建了離軸數(shù)字全息顯微測量系統(tǒng)，提出了基于頻域稀疏采樣的壓縮全息相位重建方法。該方法用基于壓縮感知理論的壓縮成像機制，通過低分辨的采樣獲得待測物波前相位的高分辨重建。通過對比壓縮感知處理前后的三維重建精度，殘差估計值的對比分析表明，該方法僅提取少量頻譜數(shù)據(jù)依舊能夠?qū)崿F(xiàn)高精度相位重建，提高了微光學(xué)元件波前相位的重建質(zhì)量以及三維測量精度。在不連續(xù)物體的波前相位測量中有著潛在優(yōu)勢，通過壓縮成像來實現(xiàn)現(xiàn)有技術(shù)無法突破的超分辨檢測成為了可能。