基于二維朗奇相位光柵的四波橫向剪切干涉定量相位成像

宋金偉，閔俊偉，袁勛，薛雨閣，姚保利

（1 中國科學(xué)院西安光學(xué)精密機(jī)械研究所瞬態(tài)光學(xué)與光子技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710119）（2 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

0 引言

定量相位成像（Quantitative Phase Imaging，QPI）具有無標(biāo)記、非入侵和三維觀測等特點(diǎn)，已經(jīng)在工業(yè)檢測［1］、生物醫(yī)學(xué)［2］和材料科學(xué)［3］等諸多領(lǐng)域中獲得了廣泛的應(yīng)用。根據(jù)相位成像的不同原理，定量相位成像可分為干涉測量法和強(qiáng)度分析法兩大類。前者是基于光波干涉的原理，將樣品的相位分布轉(zhuǎn)換為干涉條紋強(qiáng)度分布，然后通過對(duì)干涉圖的解調(diào)來實(shí)現(xiàn)對(duì)樣品相位的定量測量，常見的有數(shù)字全息［4］和衍射相位成像［5-6］等。這類方法測量精度高，但其中的干涉結(jié)構(gòu)調(diào)節(jié)要求高且容易受到外界環(huán)境的干擾。強(qiáng)度分析法不需要復(fù)雜的干涉結(jié)構(gòu)和苛刻的實(shí)驗(yàn)環(huán)境，從采集到的光波軸向系列衍射強(qiáng)度圖像中，經(jīng)過特定的算法來恢復(fù)相位分布，如GS（Gerchberg-Saxton）迭代算法［7］、混合輸入輸出迭代算法［8］、強(qiáng)度傳輸方程［9］方法等。但迭代方法需要反復(fù)的迭代步驟，基于強(qiáng)度傳輸方程的方法需要在不同位置記錄多幅圖像，這都使得成像速度慢，難以用于實(shí)時(shí)觀測。

相比于上述幾種方法，基于四波橫向剪切干涉（Quadriwave Lateral Shearing Interferometry，QLSI）的定量相位成像具有無需參考光、結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定性高、成像速度快等優(yōu)勢。HASEGAWA M等［10-11］利用二維振幅光柵和級(jí)次濾波窗口組合構(gòu)建了一套四波剪切干涉成像裝置，實(shí)現(xiàn)了對(duì)光刻系統(tǒng)中波前的快速檢測。但這種方案需要級(jí)次濾波窗口的精確對(duì)準(zhǔn)，調(diào)節(jié)要求高，裝置復(fù)雜。PRIMOT J等［12-13］利用改進(jìn)型哈特曼掩膜板提出了一種結(jié)構(gòu)緊湊的四波剪切干涉方法，并將其應(yīng)用于顯微成像領(lǐng)域，實(shí)現(xiàn)了對(duì)生物樣品的定量相位測量。但制作改進(jìn)型哈特曼掩膜板需要將傳統(tǒng)哈特曼掩膜板和棋盤相位板進(jìn)行精準(zhǔn)匹配，且對(duì)入射光的能量利用率較低。LING T等［14］提出了一種基于隨機(jī)編碼混合光柵的四波剪切干涉方法，使衍射光能量更加集中在四束一級(jí)衍射光上，但隨機(jī)編碼混合光柵結(jié)構(gòu)復(fù)雜，設(shè)計(jì)和加工難度高，不易普及使用。此外，在現(xiàn)有文獻(xiàn)中，尚未有人對(duì)分光元件周期、探測器像元尺寸、照明波長等因素對(duì)四波剪切干涉定量顯微成像的影響進(jìn)行定量分析。

本文利用二維朗奇（Ronchi）相位光柵作為分光元件，將包含樣品信息的物光一分為四，通過四束衍射光之間的橫向剪切干涉，實(shí)現(xiàn)對(duì)樣品的定量相位成像和測量。由于采用純相位光柵，對(duì)入射光能量利用率高。通過理論分析光柵周期對(duì)剪切干涉成像的影響，確定了光柵周期和探測器像元尺寸的最佳匹配關(guān)系，可以更好地利用探測器的空間帶寬積，實(shí)現(xiàn)高分辨成像。通過分析照明波長對(duì)相位重建結(jié)果的影響，論證了寬光譜光源照明下定量相位成像的可行性。在理論分析的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)構(gòu)建了基于二維朗奇相位光柵的四波剪切干涉定量相位顯微成像裝置，實(shí)現(xiàn)了對(duì)PMMA微球、微透鏡陣列和葡根霉菌的三維形貌測量和定量相位成像。

1 理論分析

二維朗奇相位光柵的結(jié)構(gòu)如圖1所示。每4個(gè)邊長為p的單元構(gòu)成一個(gè)光柵周期單元，即光柵周期d=2p，相鄰單元之間的相位延遲為π。

圖1 二維朗奇相位光柵結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic showing the structure of 2-D Ronchi phase grating

該二維朗奇相位光柵的復(fù)振幅透過率可以表示為［15］

式中，（x，y）表示空間坐標(biāo)，rect(·)為矩形函數(shù)，comb(·)為梳狀分布函數(shù)，?表示卷積運(yùn)算。根據(jù)光波標(biāo)量衍射理論，光場的夫瑯禾費(fèi)遠(yuǎn)場衍射為光場的傅里葉變換。當(dāng)入射光為單位振幅平面波時(shí)，對(duì)式（1）進(jìn)行傅里葉變換并取模平方運(yùn)算，可得光柵后的第（n，m）級(jí)衍射光的衍射效率ηn，m為

式中，F(xiàn)表示傅里葉變換。根據(jù)式（2）計(jì)算出四個(gè)一級(jí)衍射光的衍射效率均為16.43%，四束一級(jí)衍射光的能量之和占入射光能量的65.72%，遠(yuǎn)高于改進(jìn)型哈特曼掩膜板的37%。圖2給出了透過二維朗奇光柵后各級(jí)次的衍射效率分布。從圖中可以看出，零級(jí)光（0，0）、級(jí)次n或m為偶數(shù)的衍射光被完全消除，衍射光的能量主要集中在四束一級(jí)衍射光上，其它級(jí)次衍射光的衍射效率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于四束一級(jí)衍射光，其影響基本可以忽略。

圖2 二維朗奇相位光柵各級(jí)次衍射效率分布Fig.2 The diffraction-order efficiency distribution of 2-D Ronchi grating

當(dāng)包含樣品信息的物光，如圖3（a）所示，照射到二維朗奇相位光柵后，其四束一級(jí)衍射光將沿著各自的衍射方向進(jìn)行傳播，如圖3（b）所示。經(jīng)過z距離的傳播后，四束一級(jí)衍射光彼此之間將發(fā)生干涉，形成如圖3（c）所示的四波橫向剪切干涉圖。干涉圖的強(qiáng)度分布可以推導(dǎo)出為

式中，I0為二維朗奇光柵后z=0位置處干涉圖強(qiáng)度的最大值，OPD（x，y）為樣品引入的光程差（Optical Path Difference，OPD），和分別表示OPD在x方向和y方向的梯度。對(duì)式（3）進(jìn)行傅里葉變換可得

式中，δ為狄拉克函數(shù)。由式（4）可知，四波橫向剪切干涉圖的頻譜中包含有9個(gè)成分，如圖3（d）所示。其中零級(jí)頻譜（0，0）對(duì)應(yīng)入射波前的強(qiáng)度信息。選用合適的濾波器濾出x方向和y方向的一級(jí)頻譜，并對(duì)其進(jìn)行傅里葉逆變換，可以得到如圖3（e）和3（f）所示的OPD在兩個(gè)正交方向上的梯度分布

式中，arg表示取復(fù)數(shù)相位角運(yùn)算，F(xiàn)-1表示傅里葉逆變換。最后通過積分算法即可定量測得被測目標(biāo)引入的OPD分布，如圖3（g）所示。重建方程［16］為

當(dāng)入射波長λ確定時(shí)，可從再現(xiàn)的OPD分布中計(jì)算得到樣品的相位分布

該方法的理論分析過程如圖3所示。

從式（4）和圖3（d）可知，干涉圖一級(jí)頻譜中心與零級(jí)頻譜中心之間的距離為2/d。在進(jìn)行頻譜濾波時(shí)，濾波窗口的半徑R通常選為一級(jí)頻譜到零級(jí)頻譜之間距離的一半［16］，即R=1/d。因此，為了獲得最佳的再現(xiàn)效果，光柵周期d的選擇十分重要。以一維情況為例，假設(shè)探測器像素的水平尺寸為x，水平方向的像素?cái)?shù)為M，則探測器靶面的橫向尺寸為L=M·x，頻域空間的最小間隔為1/L。設(shè)光柵周期d為探測器像素尺寸的k倍，則一級(jí)頻譜中心到零級(jí)頻譜中心之間距離在頻域空間所對(duì)應(yīng)的像素?cái)?shù)N為

則一級(jí)頻譜中心與零級(jí)頻譜中心之間的距離在頻譜水平方向上所占的比例β為

β的大小決定了頻譜濾波的半徑。當(dāng)β較小時(shí)（β=1/4），如圖4（a）所示，干涉圖各級(jí)頻譜向零級(jí)頻譜靠攏，使得有效濾波范圍過小，頻譜濾波時(shí)易受到周圍頻譜的干擾，且大部分高頻信息將丟失，導(dǎo)致再現(xiàn)像的分辨率較低。當(dāng)β太大時(shí)（β=1/2），如圖4（b）所示，各級(jí)頻譜雖然可以充分分開，但所需的一級(jí)頻譜位于頻域的最邊緣，有一半的頻譜信息將丟失。當(dāng)β=1/3時(shí)，如圖4（c）所示，一級(jí)頻譜中心與圖像邊緣之間的距離恰好為一級(jí)與零級(jí)頻譜之間距離的一半，能夠最大限度地利用相機(jī)空間帶寬積，保證頻譜信息的完整，使得重建圖像具有高空間分辨率。因此光柵周期d的最佳尺寸應(yīng)為探測器像素尺寸的6倍。

圖4 光柵周期為探測器像素尺寸的不同倍數(shù)時(shí)的干涉圖頻譜Fig.4 The spectrum of interferogram when the grating period is different times of the pixel size

此外，朗奇相位光柵相鄰單元之間的相位延遲只在設(shè)計(jì)波長照明時(shí)才為π。在實(shí)際應(yīng)用中，入射波長λ與理想設(shè)計(jì)波長存在差異，使得光柵相鄰單元中的實(shí)際相位延遲不為π，導(dǎo)致光柵的各級(jí)衍射效率發(fā)生變化，影響四波剪切干涉成像效果和測量精度。

以照明光λ=550 nm為設(shè)計(jì)波長所對(duì)應(yīng)的理想一維朗奇相位光柵為例，分析不同照明波長對(duì)四波剪切干涉定量相位成像的影響。圖5顯示了入射波長λ分別為550 nm，500 nm，458 nm和423 nm時(shí)光柵各級(jí)衍射光的歸一化強(qiáng)度分布。此時(shí)，朗奇相位光柵中相鄰單元之間的相位延遲分別為π、1.1π、1.2π和1.3π。從圖5中可以看出，當(dāng)光柵相鄰單元之間的相位延遲非π時(shí)，透過光柵后偶數(shù)級(jí)次的衍射光仍會(huì)被抑制，但零級(jí)衍射光將出現(xiàn)。入射光波的波長偏離設(shè)計(jì)波長越遠(yuǎn)，零級(jí)衍射光的能量越高。當(dāng)傳播z距離后，零級(jí)光也將與一級(jí)衍射光發(fā)生干涉，反映到頻域空間就是產(chǎn)生如圖6（b）中點(diǎn)圓所示的干擾頻譜項(xiàng)。但幸運(yùn)的是，因?yàn)轭l譜濾波半徑R是一級(jí)頻譜到零級(jí)頻譜之間距離的一半，所以零級(jí)和一級(jí)衍射光之間干涉所產(chǎn)生的頻譜恰好在這個(gè)濾波范圍之外，因此在一定照明波長范圍內(nèi)，頻譜濾波并不會(huì)提取到干擾頻譜的信息。

圖5 不同入射波長時(shí)一維朗奇相位光柵各衍射級(jí)次的歸一化強(qiáng)度分布Fig.5 The normalized intensity distributions of each diffraction order of 1-D Ronchi phase grating at different incident wavelengths

圖6 不同相位延遲時(shí)的干涉圖頻譜Fig.6 The spectrum of interferogram at different phase delay

為了定量地分析不同照明波長對(duì)所提方法的影響，以peaks函數(shù)作為輸入，分析了照明波長從390 nm到920 nm時(shí)基于四波剪切干涉的定量相位成像測量誤差（二維朗奇相位光柵設(shè)計(jì)波長550 nm），結(jié)果如表1所示。以相對(duì)誤差率不超過5%作為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，可以發(fā)現(xiàn)照明波長在407～846 nm之間時(shí)，所提方法都可以得到準(zhǔn)確的結(jié)果。該結(jié)論表明，基于二維朗奇相位光柵的四波剪切干涉對(duì)照明光的波長不敏感，因此可以使用寬光譜光作為照明光源，這也為該技術(shù)與普通光學(xué)顯微鏡的結(jié)合奠定了基礎(chǔ)。

表1 照明波長從390 nm到920 nm時(shí)重建peaks函數(shù)相位圖的相對(duì)誤差率Table 1 The relative error rates of reconstructed phase maps of peaks function at different illumination wavelengths from 390 nm to 920 nm

光柵相鄰單元之間的相位延遲φc除了受到照明波長的影響之外，還會(huì)受到刻蝕深度h的影響

式中，nc為光柵材料的折射率。當(dāng)入射波長為設(shè)計(jì)中心波長、深度h出現(xiàn)刻蝕誤差時(shí)，相鄰單元之間的相位

延遲也會(huì)偏離π。根據(jù)前面的分析，相位延遲在0.65π到1.35π之間可以得到準(zhǔn)確的恢復(fù)結(jié)果，因此刻蝕深度的容錯(cuò)率為35%。

2 定量相位顯微成像實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證所提方法的可行性和有效性，搭建了如圖7所示的實(shí)驗(yàn)裝置。其中，圖7（a）為裝置原理示意圖，圖7（b）為裝置實(shí)物圖。將研制的四波橫向剪切干涉模塊直接接在商用倒置光學(xué)顯微鏡（BX22PHD228S，奧斯微，中國）。激光器（MGL-FN-532-100 mW，長春新產(chǎn)業(yè)公司，中國）輸出的532 nm照明光經(jīng)透鏡L1（f=125 mm）準(zhǔn)直和反射鏡M1反射后照射到樣品上。包含樣品信息的物光經(jīng)顯微物鏡（40×，NA0.60）收集后，經(jīng)顯微成像系統(tǒng)照射到二維朗奇相位光柵上發(fā)生衍射。該光柵的周期d=54 μm，對(duì)532 nm光束的相位延遲為π。經(jīng)過光柵衍射后形成的四波剪切干涉圖被位于光柵后z=1.7 mm處的CCD相機(jī)（BFS-U3-16S7M，F(xiàn)LIR Systems Inc.，美國）所接收。該相機(jī)的像素尺寸為9 μm×9 μm，像素?cái)?shù)為1600×1100。光柵周期是像素尺寸的6倍，滿足最佳成像要求。

圖7 實(shí)驗(yàn)裝置原理圖及實(shí)物圖Fig.7 Schematic and photograph of the experimental setup

為了驗(yàn)證該裝置相位測量的準(zhǔn)確性，首先對(duì)直徑為86 μm的聚甲基丙烯酸甲酯（Polymethyl Pethacrylate，PMMA）微球進(jìn)行觀測。PMMA微球被浸潤在甘油中。在532 nm波長下，PMMA微球和甘油的折射率分別為1.4937和1.4748，因此微球引入的OPD最大值為1625 nm。實(shí)驗(yàn)記錄的四波橫向剪切干涉圖如圖8（a）所示。通過頻譜濾波和相位重建后，再現(xiàn)的微球OPD分布如圖8（b）所示。為了檢驗(yàn)觀測結(jié)果的準(zhǔn)確性，沿再現(xiàn)的PMMA微球OPD分布中心劃一剖面線，其對(duì)應(yīng)的OPD分布如圖8（c）所示。測得OPD的最大值為1595 nm，與理論值相對(duì)誤差為1.8%，表明所提方法具有較高的測量精度。

圖8 PMMA微球的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.8 The experimental results of PMMA bead

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法在寬光譜光源照明下的觀測效果，將實(shí)驗(yàn)裝置中的光源換為普通顯微鏡中使用的鹵素?zé)?，選用微透鏡陣列（MLAS10-F05-P150-AB，LBTEK Inc.，中國）作為被測樣品。該微透鏡陣列由熔融石英制成，每個(gè)透鏡的直徑為150 μm，微透鏡的最大厚度為1.1 μm。圖9（a）和（b）分別為樣品在532 nm激光束和鹵素?zé)粽彰飨聹y得的OPD分布。圖9（c）為（a）和（b）中紅色虛線處所對(duì)應(yīng)的高度曲線，其中黑色曲線為鹵素?zé)粽彰飨聹y得的OPD，紅色曲線為532 nm激光照明下測得的OPD。從圖中可以看出，二者測得的結(jié)果基本一致，證明了基于朗奇相位光柵的四波剪切干涉裝置對(duì)照明波長不敏感，在寬光譜光源照明下也能獲得良好的成像結(jié)果。由于鹵素?zé)艄庠聪喔稍肼曅。錅y得的OPD分布顯得更為平滑，信噪比更高一些。但在進(jìn)行相位換算時(shí)，波長的選擇會(huì)影響測量精度。該特性表明，當(dāng)測量精度允許時(shí)，可以通過在普通的光學(xué)顯微鏡的相機(jī)前加入合適的二維朗奇相位光柵，無需其它輔助元件或特殊結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)即可實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的定量相位測量。

圖9 微透鏡陣列在不同光源照明下的重建結(jié)果Fig.9 The reconstructed results of microlens array at different illuminations of light sources

進(jìn)一步，使用顯微鏡自身的鹵素?zé)糇鳛檎彰鞴庠矗瑢?duì)葡根霉菌切片進(jìn)行了觀測。相機(jī)記錄的四波剪切干涉圖和再現(xiàn)的樣品OPD形貌分布分別如圖10（a）和10（b）所示。從圖10（b）中可以清晰分辨樣品不同位置的特征，表明所提方法可以和普通光學(xué)顯微鏡相結(jié)合以實(shí)現(xiàn)對(duì)微觀樣品的定量相位顯微成像，有助于定量相位成像技術(shù)的進(jìn)一步推廣普及。

圖10 葡根霉菌切片的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.10 The experimental results of staphylococcus section

3 結(jié)論

本文提出的利用二維朗奇相位光柵作為分光元件實(shí)現(xiàn)四波剪切干涉定量相位成像的方法，具有結(jié)構(gòu)緊湊、穩(wěn)定性高、成像速度快的特點(diǎn)。理論分析了光柵周期、探測器像素尺寸、照明波長、光柵刻蝕深度等因素對(duì)四波橫向剪切干涉定量相位成像的影響。當(dāng)光柵周期為探測器像素尺寸6倍時(shí)，可以使探測器的空間帶寬積利用率到達(dá)最佳，同時(shí)該方法具有對(duì)照明波長不敏感的特性。設(shè)計(jì)構(gòu)建了一套結(jié)構(gòu)簡單、緊湊的四波橫向剪切干涉定量相位顯微成像裝置，以PMMA微球、微透鏡陣列和葡根霉菌作為被測樣品，實(shí)現(xiàn)了定量相位成像和測量。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該方法對(duì)照明波長不敏感，可用于寬光譜光源照明，可以方便地和普通光學(xué)顯微鏡相結(jié)合，具有更好的普適性。除了文中分析的因素外，光柵與探測器靶面之間的距離、剪切量的大小、其它高級(jí)次衍射光之間的干涉等因素也會(huì)影響本方法的相位觀測精度，將在后續(xù)的工作中繼續(xù)開展相關(guān)研究。