光學微腔中高階色散對圖靈環(huán)光場的影響

徐昕，葉回春，金雪瑩，高浩然，陳東，陸洋，于連棟

（1 合肥工業(yè)大學 儀器科學與光電工程學院測量理論與精密儀器安徽省重點實驗室，合肥 230009）（2 中國科學技術大學 精密機械與精密儀器系，合肥 230027）（3 中國石油大學（華東）控制科學與工程學院，山東 青島 266555）

0 引言

基于光學微腔的光頻梳技術因其結構緊湊、集成度高、功耗低等優(yōu)點，得到了廣泛的應用［1，2］。由于光學微腔對光場的束縛，可在腔內產生極高的功率密度，進而由四波混頻效應產生光頻梳［3］。當光場經過混沌后，可在腔內演化成光頻梳，光譜中相鄰兩個模式之間的頻率間隔是一個或者多個自由光譜范圍（Free Spectral Range，F(xiàn)SR）。其中頻率間隔是一個FSR的情況是孤子光場［4-6］。但是當腔內的調制不穩(wěn)定性（Modulation Instability，MI）起主要作用時，可產生自發(fā)的圖靈環(huán)光場［7］，和孤子光場相比，圖靈環(huán)在頻域上擁有更大的梳齒頻率間隔［8-9］。圖靈環(huán)光場憑借其良好的光譜特性和抗干擾性，被應用于大容量通信［10］、片上光場壓縮等領域［11］。研究者利用Lugiato-Lefever方程（Lugiato-Lefever Equation，LLE）對圖靈環(huán)光場的產生機制展開了研究，并且已經在實驗中產生了圖靈環(huán)光場［12-13］。但是在已有的研究中，光學微腔的高階色散往往被忽略。有研究表明，微腔中的高階色散會對腔內孤子以及暗孤子光場產生一定影響［14］，并且寬帶頻率梳的光譜可以通過高階色散的取值來調節(jié)［15］。然而，目前還未見關于高階色散對圖靈環(huán)光場影響的研究，因此本文以LLE為理論模型，研究了光學微腔中高階色散對圖靈環(huán)光場的影響，并分析了高階色散作用下的模式色散情況。

1 理論模型和分析

光學微腔中的光場演化過程可以用歸一化的LLE來描述［16-18］，即

式中，ψ表示光場分布，它是慢時間τ和方位角θ的函數，θ∈［-π，π］；α是微腔諧振模式和泵浦模式之間的頻率失諧，βn表示泵浦模數對應的n階色散系數，N表示微腔內總的色散階數，F(xiàn)表示泵浦強度。本文只討論高階色散對光場的影響，因此忽略了微腔中的自陡峭和拉曼效應。之前的研究表明，在負色散的光學微腔中，圖靈環(huán)源自于腔內的噪聲光場［13］。當泵浦強度F滿足閾值條件=1+（1-α）2時，圖靈環(huán)光場即可在微腔內產生。

腔內的總能量E、時間位置參數Tp和頻率漂移參數Ωp可分別表示為

當光場分布ψ穩(wěn)定時，腔內的色散和非線性效應、損耗和增益達到平衡，此時的光場能量E滿足條件

此外，頻率的漂移主要是由拉曼效應引起，因為拉曼效應被忽略，所以頻率漂移參數Ωp滿足條件

時間位置Tp隨時間的變化關系為［14］

考慮傅立葉變換中時域和頻域的對應關系

式中，F(xiàn)［·］表示傅立葉變化。利用式（8），式（7）可以被簡化為

根據式（9），分別考慮高階色散中的β3和β5，位置漂移可以分別寫為

可以看到，只有奇次的高階色散可以引起光場位置的漂移，并且色散系數越大，漂移速度也越快。

為進一步研究高階色散對圖靈環(huán)光場的影響，利用廣泛使用的分步傅立葉法求解LLE，分析微腔內光場的動態(tài)變化過程。依據圖靈環(huán)光場的產生條件，假設腔內的初始光場為微弱的隨機噪聲，進行相應的理論計算和分析。

2 高階色散對圖靈環(huán)光場的影響

在式（1）中，設置參數α=1.5，F(xiàn)=1.14。分析中高階色散被忽略，僅考慮微腔的二階色散，光場分布的演化過程如圖1（a）所示，腔內最終形成了6個在空間上等間距分布的脈沖，即典型的圖靈環(huán)光場。當更高階的三階、四階和五階色散分別被考慮后，光場演化的結果如圖1（b）～（d）所示，其中脈沖數量均保持不變，但是在考慮三階和五階色散的情況下，脈沖位置隨時間發(fā)生變化。說明奇次高階色散會引起圖靈環(huán)光場的位置漂移。由于五階色散系數的值較小，因此由五階色散引起的光場漂移作用相對較弱，漂移的速度也相對較慢。需要說明的是，為了能夠表示出光場的漂移，在圖1（d）中，擴大了縱坐標時間軸的取值范圍。另一方面，考慮偶次高階色散對圖靈環(huán)光場的影響，結果如圖1（c）所示，在初始階段，腔內光場在各種作用下沒有達到穩(wěn)定狀態(tài)，圖靈環(huán)脈沖有微小的變化，當光場達到穩(wěn)定后，脈沖的位置和形狀保持不變。因此，在圖1（c）所示的條件下，偶次高階色散不會導致光場的漂移，光場位置沒有發(fā)生變化。這一數值計算結果和第1節(jié)的理論分析結果相一致。

圖1 不同高階色散條件下圖靈環(huán)光場的演化Fig.1 Evolution of turing patterns with various higher-order dispersion parameters

此外，還研究了色散系數大小對光場漂移速度的影響。由于三階色散對光場漂移的影響較為明顯，因此只以三階色散為例，其余參數設置和圖1一樣。圖2（a）～（c）是三階色散β3取不同值時圖靈環(huán)的演化情況。圖2（a）中光場的漂移方向和圖2（b）和（c）不同，是因為圖2（a）中β3的符號和圖2（b）、（c）中的相反。因此，色散系數的正負號會影響到圖靈環(huán)光場的漂移方向，但不會改變光場中的脈沖個數。將圖2（a）中光場的漂移速度定義為正值，圖2（b）和（c）的漂移速度為負值，β3取不同值時的漂移速度曲線如圖2（d）所示，隨著β3值的增加，光場漂移速度的絕對值也增長，和式（10）的理論分析結果一致。

圖2 β3取不同值時圖靈環(huán)光場的演化Fig.2 Evolution of turing patterns with different β3

在光微腔中，當初始光場為高斯脈沖時，可以產生另一種多脈沖形式的光場分布。在圖3（a）中，假設初始光場為ψ0=0.5+exp［-（θ/0.55）2］，失諧參數α=2.5，泵浦參數F=1.76。在這種情況下，頻率失諧在光場變化中起到主要作用，4個脈沖形式的光場在腔內產生，由于三階色散的作用，這樣一種多脈沖形式的光場也同樣在腔內發(fā)生漂移。此外，高階色散也會對光譜產生影響。根據色散輻射理論［19，20］，色散波的頻率可描述為

式中，m表示模式數；V表示光場在腔內循環(huán)一周的位置漂移大?。籔表示泵浦功率，和式（1）中的泵浦參數F值有關；P0表示光場的背景功率。多脈沖光場對應的光譜以及色散波曲線如圖3（b）所示，光譜在梳狀譜的基礎上受到了明顯的調制。光譜和色散波曲線的位置關系表明，色散波曲線的零點位置對應光譜中的次峰值。保持三階色散值不變，當失諧參數進一步增大時，多脈沖形式的光場演化成另一種形式的圖靈環(huán)光場，如圖3（c）所示，光場中包含了19個等間距的脈沖，因此其光譜相鄰兩個峰值間也有19個模式間隔，光譜次峰值的位置同樣對應圖3（d）中的色散波曲線的零點位置。需要說明的是，為了方便找到色散波曲線中的零點位置，在圖中給出其絕對值曲線。結果表明，三階色散可以引起圖靈環(huán)光場和多脈沖光場的漂移，且色散波曲線零點的位置對應光場光譜次峰值的位置，意味著在考慮三階色散的情況下，光學微腔中受激產生最強的新模式色散值是0。

圖3 腔內損耗對光場演化，色散波曲線及光譜的影響Fig.3 Influence of microresonator loss on optical field evolutions，dispersion wave curves and spectra

研究了三階色散對色散波曲線的影響。在圖2的基礎上繪制了β3取不同值時的色散波曲線，如圖4所示。在圖3中可以看到，兩條色散波曲線是對稱關系，為了簡便，圖4中只給出其中一條色散波曲線，即式（12）中取正號的情況。由于β3值的增加僅影響光場的漂移速度，而不改變光場的脈沖個數，因此色散波曲線的零點位置固定不變。在圖4中，β3的增加會導致色散波曲線斜率的增加，意味著高階色散會引起圖靈環(huán)光場中高階模式的色散波增強，但是對其中的低階模式幾乎沒有影響。低階模式下，色散波強度幾乎為0。

圖4 β3取不同值時的色散波曲線Fig.4 Dispersive wave curves with different β3

3 結論

本文以歸一化的LLE為理論模型，分析了高階色散對光學微腔內的圖靈環(huán)光場。理論分析和數值計算結果均表明，奇次高階色散會引起腔內圖靈環(huán)光場以恒定速度漂移，而偶次高階色散則不會對腔內光場產生影響。奇次高階色散不僅直接關系到光場漂移的方向，還會影響漂移速度。以三階色散為例，三階色散值的正負對應著不同的光場漂移方向，其值越大，圖靈環(huán)光場的漂移也越快。此外，在考慮高階色散的情況下，研究了表征光譜性質的圖靈環(huán)光場色散波曲線。色散波曲線中，零點的位置對應了光譜中次峰值的位置。高階色散還會加強圖靈環(huán)中高階模式色散波的大小。理論分析結果對研究高階色散不可忽略的光學微腔中的圖靈環(huán)光場具有一定意義。