非線性邊界條件下擬線性瞬態(tài)方程組的Phragmén-Lindel?f 型二擇一結(jié)果

李遠(yuǎn)飛，肖勝中，曾鵬，歐陽柏平

（1.廣州華商學(xué)院，廣東 廣州 511300；2.廣東農(nóng)工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院,廣東 廣州 510507）

1856 年SAINT-VENANT［1］提出的數(shù)學(xué)和力學(xué)方程，后被稱為Saint-Venant 原理，廣受應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究者的關(guān)注和深入研究。其含義為“能量”隨與柱體有限端距離的增大逐漸衰減為零［2-7］。幾乎所有的研究均需要方程的解在無窮遠(yuǎn)處衰減于零或趨近于瞬態(tài)層流的先驗(yàn)假設(shè)，且通常假設(shè)在柱體的側(cè)面滿足零邊界條件。

20世紀(jì)90 年代后，Phragmén-Lindel?f 型二擇一原理被提出，并逐步成為研究熱點(diǎn)，不必再假設(shè)方程的解滿足Saint-Venant 原理，只要證明“能量”隨與柱體有限端距離的增加要么無限增大要么衰減為零。Phragmén-Lindel?f 型二擇一原理在物理學(xué)、力學(xué)和生物學(xué)等領(lǐng)域具有巨大的應(yīng)用前景［8-14］。

通常的做法是先定義一個(gè)半無窮的柱體：

其中，D為x1Ox2平面上的一個(gè)有界區(qū)域且具有光滑的邊界?D。用Rz表示R的一個(gè)子區(qū)域：

其中，z為x3軸上的一個(gè)動點(diǎn)。用Dz表示R在x3=z處的橫截面：

假設(shè)方程的解在柱體的有限端滿足非零邊界條件，在柱體的側(cè)面滿足齊次Dirichlet 邊界條件或齊次Neumann 邊界條件。用微分不等式技術(shù)證明“能量”要么呈指數(shù)式（多項(xiàng)式）增加，要么呈指數(shù)式（多項(xiàng)式）衰減。如LIN［13］考慮了定義在R×(0，∞)上的穩(wěn)態(tài)擬線性方程

對非線性項(xiàng)做一定限制，可得到解的二擇一定理?？紤]瞬態(tài)擬線性方程

在柱體側(cè)面施加非齊次Dirichlet 邊界條件

其中，h（u）為已知函數(shù)。在柱體的有限端，有

式（3）中，g為大于零的給定函數(shù)且滿足兼容性條件g=0，在D0×(0，∞)和g（x1，x2，0）=0。

實(shí)際情況是研究的物理模型很難滿足齊次邊界條件，因此本研究更有意義。據(jù)知，目前除文獻(xiàn)［8，11］外，很少見關(guān)注非齊次邊界條件下二擇一拋物問題的文獻(xiàn)。文獻(xiàn)［8］研究的是三維柱體上調(diào)和方程的二擇一拋物問題，文獻(xiàn)［11］則假設(shè)調(diào)和方程在柱體側(cè)面滿足不同的非零邊界條件，得到解的二擇一定理。本文的模型更復(fù)雜，無法直接應(yīng)用文獻(xiàn)［8，11］中的方法。

1 基本不等式

在研究二擇一問題時(shí)，大多文獻(xiàn)通常用?w的L2積分控制w的L2積分，即若w|?D=0，則

為證明本文的主要結(jié)果，結(jié)合文獻(xiàn)［5，8］的方法，推導(dǎo)常用的微分不等式。

引理1存在一個(gè)依賴于區(qū)域D的大于零的常數(shù)C1，使得

證明設(shè)P為D內(nèi)一點(diǎn)。令P1和P2分別表示過點(diǎn)P平行于x1坐標(biāo)軸的直線與?D的交點(diǎn)，令Q1和Q2分別為過點(diǎn)P平行于坐標(biāo)軸x2的直線與?D的交點(diǎn)。首先，注意到

接下來，定義能量表達(dá)式，然后利用微分不等式技術(shù)推導(dǎo)關(guān)于此能量表達(dá)式的一階微分不等式，得到解的二擇一結(jié)果。

由式（1），可得恒等式

2 二擇一結(jié)果

分以下3 種情形分析式（17）。

由式（13）和式（31），可得到以下定理。

定理2假設(shè)u是式（1）～式（4）的解，且p=1，則當(dāng)z沿x3軸趨近于∞時(shí)，u要么呈指數(shù)式增長，要么呈指數(shù)式衰減，即要么式（33）成立，要么式（35）成立。

定理3假設(shè)u是式（1）～式（4）的解，且p>1，則當(dāng)z沿x3軸趨近于∞時(shí)，u要么呈指數(shù)式增長，要么呈指數(shù)式衰減，即要么式（33）成立，要么式（35）成立。

顯然，在衰減情形下，Φ(0)，Q0均與?E(0，t)有關(guān)。因此，要使定理1～定理3 都有意義，須證明?E(0，t)有界。

3 全能量估計(jì)

為在衰減情形下，推導(dǎo)全能量E(0，t)的上界，首先假設(shè)

其中，ε3為大于零的任意常數(shù)。取適當(dāng)?shù)摩?，ε2和ε3，使得

再由Φ0和Q0的定義，易得其上界。

4 總結(jié)

首先推導(dǎo)了引理1，假設(shè)式（1）～式（4）在柱體側(cè)面滿足非齊次Dirichlet 條件，利用引理1 并運(yùn)用微分不等式技術(shù)，得到了解的二擇一結(jié)果。事實(shí)上，經(jīng)必要的修正，本文的結(jié)論也適合非齊次Neumann邊界條件。顯然，本文結(jié)論是對文獻(xiàn)［13］的推廣，研究方法和結(jié)果可為進(jìn)一步研究復(fù)雜模型提供借鑒。

今后，可繼續(xù)進(jìn)行更深層次的研究，如研究文獻(xiàn)［16］中的模型

以及文獻(xiàn)［17］中變系數(shù)熱量方程