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    例析勾股定理常見的應(yīng)用類型

    2022-11-25 11:30:33甘肅省武威市天祝藏族自治縣新華中學(xué)
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年20期
    關(guān)鍵詞:路程勾股定理內(nèi)壁

    ?甘肅省武威市天祝藏族自治縣新華中學(xué) 趙 霞

    1 引言

    勾股定理在生活中的應(yīng)用比較普遍,大致可歸類為求邊長,求最短路程,求解折疊問題,等等.下面結(jié)合幾道例題對勾股定理常見的應(yīng)用類型及解決策略作分析和探究.

    2 利用勾股定理求邊長

    例1如圖1所示,在直角三角形ABC中,∠ABC為直角,且AB=16 m.正方形BCEF的周長為48 m,BD⊥AC于點(diǎn)D.求BD的長.

    圖1

    分析:本題是非常典型的“三垂直”問題,可用等面積法和方程法解決.無論用何種方法,都需先根據(jù)“正方形BCEF的周長為48 m”求出BC=12 m,然后根據(jù)勾股定理將AC的長求出.

    方法二(方程法):首先,設(shè)AD=xm,那么CD=(20-x) m.由于BD⊥AC于點(diǎn)D,所以△ABD和△BDC都是直角三角形.在Rt△ABD中,BD2=AB2-AD2;在Rt△BDC中,BD2=BC2-DC2.于是,就得到了AB2-AD2=BC2-DC2,進(jìn)而得到方程162-x2=122-(20-x)2,解得x=12.8 m.然后利用BD2=AB2-AD2得到BD的長為9.6 m.

    方法總結(jié):利用勾股定理求圖形的邊長,常用的有等面積法和方程法,在實(shí)際解題中都非常適用,且通常前者更簡單[1].等面積法多用于“三垂直”問題,而方程法多用于非直角三角形中,以求高問題最為典型[2].

    3 利用勾股定理進(jìn)行證明

    例2如圖2所示,圖形ABFC為一任意四邊形,且AB⊥CB,垂足為B;CD⊥AD,垂足為D,AD2=2AB2-CD2.

    圖2

    求證:AB=BC.

    分析:本題中的“AD2=2AB2-CD2”條件比較復(fù)雜,容易讓學(xué)生產(chǎn)生畏難心理.事實(shí)上,仔細(xì)觀察便可以發(fā)現(xiàn),該條件與勾股定理聯(lián)系非常緊密.所以,只需找到圖中與勾股定理有關(guān)的“線索”,然后利用勾股定理進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

    在Rt△ABC中,由勾股定理,可得AC2=AB2+BC2;在Rt△ACD中,由勾股定理,可得AC2=AD2+DC2.于是,就有AB2+BC2=AD2+DC2,即AD2=AB2+BC2-DC2.由于AD2=2AB2-CD2,于是得到2AB2-CD2=AB2+BC2-DC2,由此進(jìn)一步得到2AB2=AB2+BC2,即AB2=BC2,因此證得AB=BC.

    方法總結(jié):當(dāng)題中邊之間的數(shù)量關(guān)系非常復(fù)雜時(shí),學(xué)生首先不能有畏難心理,應(yīng)嘗試著從復(fù)雜的條件中找到“提示”,進(jìn)而找到解題的突破口.

    4 利用勾股定理求解最短路程問題

    例3如圖3,是一個(gè)透明的長方體魚缸,AD為80 cm,AB為60 cm,水深A(yù)E為40 cm.在水面上緊貼內(nèi)壁G處有一滴蜂蜜,G在水面線EF上,且EG為60 cm.一只小螞蟻想從魚缸外的A點(diǎn)沿外壁爬到魚缸內(nèi)壁G處吃蜂蜜,求小螞蟻爬行的最短路線長度.

    圖3

    解析:本題是常見的幾何體表面上最短路程問題,但與以往不同的是“蜂蜜”G點(diǎn)不在外壁,而在內(nèi)壁,于是小螞蟻的運(yùn)動(dòng)路線分為外壁和內(nèi)壁兩部分.要使得小螞蟻爬行的距離最短,則需這兩部分的路線在一條直線上,于是就需要作A點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A′.

    首先,如圖4所示,作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A′,連接A′G且交BC于點(diǎn)O.根據(jù)對稱性質(zhì),可得A′O與OA相等,即線段OA為小螞蟻在外壁爬行的最短路線.而OG就是小螞蟻在內(nèi)壁爬行的最短路程,它與A′O正好在同一直線上.因此,小螞蟻爬去吃蜂蜜最短的路程就是線段A′G.在Rt△A′EG中,根據(jù)勾股定理得到A′G的長為100 cm.

    圖4

    方法總結(jié):“蜜蜂問題”是勾股定理中??嫉念}型,分內(nèi)壁和外壁兩種.如果將蜂蜜從外壁移至內(nèi)壁,求最短路程的方法其實(shí)并未改變,仍然是根據(jù)對稱性作圖,找到點(diǎn)的對稱點(diǎn),然后求解.為了便于理解,學(xué)生應(yīng)首先作出相應(yīng)的圖形,然后靈活利用相關(guān)性質(zhì)解題.

    5 利用勾股定理求解折疊問題

    例4如圖5,長方形ABCD中,長AB為8,寬BC為6,P是AD上的一點(diǎn),現(xiàn)將△ABP沿著BP折疊,PE和CD相交,BE與CD相交,交點(diǎn)分別為O,G,且OD=OE.求線段AP的長.

    圖5

    解析:本題是典型的折疊問題,根據(jù)折疊性質(zhì)可得到對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等[3].既然本題要求AP的長,那么不妨設(shè)AP=x,于是將相應(yīng)的線段用含有x的代數(shù)式表示出來后,將它們放入一個(gè)直角三角形中,然后根據(jù)勾股定理得到方程并解之,即可求出線段AP的長.

    由題意可得△ABP≌△EBP,然后證明△ODP≌△OEG.于是,得到OP=OG,PD=GE,由此進(jìn)一步可得DG=OD+OG=OE+OP=EP.此時(shí),不妨設(shè)AP=EP=x,則PD=GE=6-x,DG=x,CG=8-x,BG=2+x.在Rt△BCG中,由勾股定理,可得62+(8-x)2=(x+2)2.解得x=4.8,即線段AP的長為4.8.

    方法總結(jié):使用勾股定理解決折疊問題,要注意以下幾個(gè)方面:

    (1)根據(jù)折疊性質(zhì)先得出對應(yīng)點(diǎn)、對應(yīng)線段之間的位置、大小關(guān)系,它們都分別不變.

    (2)緊緊抓住題中所給的點(diǎn)、線,想法構(gòu)造出一個(gè)直角三角形[4].

    (3)在構(gòu)造的直角三角形中,利用勾股定理列方程計(jì)算.當(dāng)然,有時(shí)也只需直接計(jì)算即可.

    6 勾股定理應(yīng)用類型解決思路總結(jié)

    通過以上分析可以發(fā)現(xiàn),勾股定理的應(yīng)用類型非常豐富,且解決思路靈活多變.要想學(xué)好并應(yīng)用好勾股定理,筆者認(rèn)為要從以下幾個(gè)方面出發(fā):

    首先,夯實(shí)基礎(chǔ),在“熟”的基礎(chǔ)上“巧”.所謂“熟能生巧”,就是在熟練掌握的基礎(chǔ)上巧妙解決問題.所以,平時(shí)教學(xué)和訓(xùn)練中,教師可根據(jù)上述幾種類型對學(xué)生進(jìn)行針對性訓(xùn)練,并作適當(dāng)拓展,讓學(xué)生對勾股定理及其逆定理有更深刻的感悟.

    其次,重視思維,在“?!钡幕A(chǔ)上“變”.制約學(xué)生應(yīng)用勾股定理解決問題的一個(gè)重要因素是思維受限.為此,在平時(shí)的教學(xué)與訓(xùn)練中,教師可對上述每一個(gè)類型進(jìn)行變式,或激發(fā)學(xué)生利用“一題多解”解決問題.這樣一來,不僅讓問題得到了有效延伸,也讓學(xué)生的思維更加靈活.

    7 結(jié)語

    總而言之,勾股定理及其應(yīng)用在初中幾何部分占據(jù)著非常重要的地位,在知識(shí)的考查形式上變化多樣,本文中只選擇了幾種具有代表性的問題加以分析.作為初中數(shù)學(xué)教師,一方面要不斷加強(qiáng)這方面知識(shí)體系的構(gòu)建,讓學(xué)生思維變得更靈活,另一方面要勤于發(fā)現(xiàn)和總結(jié),不斷提高自身的分析和研究能力.只有這樣,才能將更多、更好的方法傳授給學(xué)生.

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