懸浮隧道子結(jié)構(gòu)簡化模型與動(dòng)力響應(yīng)分析

潘權(quán)，易壯鵬，楊勝江，顏東煌，楊聰

(1.長沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙，410114；2.貴州交通建設(shè)集團(tuán)有限公司，貴州 貴陽，550001)

懸浮隧道[1-2]是一種新型的水下交通結(jié)構(gòu)，具有跨越能力超強(qiáng)、對水面環(huán)境影響小、單位長造價(jià)不隨跨度變化等優(yōu)點(diǎn)。錨索水下固定是一種有效的支撐錨固方式，具有交通承載的功能，國內(nèi)外學(xué)者對其在波浪、洋流、交通荷載、爆炸[3]、地震等動(dòng)力荷載作用下的結(jié)構(gòu)建模[4]、動(dòng)力響應(yīng)[5]和合理參數(shù)設(shè)置進(jìn)行了廣泛研究。懸浮隧道由管體、錨索組成，針對這兩類構(gòu)件單獨(dú)建?？珊芎玫亓私饩植空駝?dòng)并突出某些非線性效應(yīng)。就管體而言，SATO 等[6-7]提出了簡化之后的均勻彈性地基梁模型，并給出了等間距支撐剛度的取值范圍，在此基礎(chǔ)上，XIANG等[8-9]探討了沖擊荷載下的振動(dòng)效應(yīng)；秦銀剛等[10]基于簡支梁模型探討了管體的合理支撐間距；田雪飛等[11]提出了研究管體振動(dòng)的彈性簡支梁-彈性支撐剛性梁疊加模型。整體上，現(xiàn)有管體模型一般假定每一處錨索支撐剛度是相同的，適用于特定的均勻情形并得到一些相應(yīng)的規(guī)律。然而，跨度范圍內(nèi)錨索支撐剛度與材料、截面、錨固長度等均相關(guān)，實(shí)際擬建水域的地形地貌具有長、深、陡等特點(diǎn)，不同位置錨索的支撐剛度不相同。研究實(shí)際交通荷載作用下多錨索的懸浮隧道管體建模及分布不均勻等因素的影響具有重要意義，目前人們對這方面的研究較少。為此，本文作者基于一種新的建模思路，即采用子結(jié)構(gòu)離散/整合技術(shù)構(gòu)建懸浮隧道的簡化分析模型，以多錨索約束且其剛度非均勻的懸浮隧道為對象，研究錨索支撐剛度對結(jié)構(gòu)自振特性、移動(dòng)荷載響應(yīng)的影響。將管體沿錨索支撐點(diǎn)離散為多段梁單元，采用多節(jié)段子結(jié)構(gòu)離散/整合技術(shù)[12-13]，建立管體的動(dòng)力學(xué)模型。同時(shí)，采用Morison 公式[14]描述水動(dòng)力荷載，考慮高鐵列車[15]的移動(dòng)荷載響應(yīng)。

1 問題描述

1.1 力學(xué)模型

為模擬跨越長、深、陡水域的懸浮隧道，適用于跨內(nèi)錨索多點(diǎn)支撐且支撐剛度不均勻的情形，將任意第i個(gè)位置錨索的作用等效為豎向剛度為Ksi的彈性支撐，將管體視為在Ksi處分開的梁節(jié)段，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。為探索一般性規(guī)律及便于推導(dǎo)，引入如下基本假定和簡化條件：1) 隧道管體簡化為歐拉-伯努利梁；2) 兩端邊界為鉸接；3) 隧道管體材料、截面等參數(shù)沿跨徑為常數(shù)；4) 采用Morison公式[14]考慮水動(dòng)力荷載；5) 荷載[15]等效為一列移動(dòng)集中力。

圖1 跨內(nèi)多錨索支撐懸浮隧道的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagrams of a submerged floating tunnel with multiple intermediate cable supports

圖1中，直角坐標(biāo)系xOy中坐標(biāo)原點(diǎn)位于左端點(diǎn)；Vi為第i節(jié)段的豎向位移；mt為單位長質(zhì)量；Et和It分別為彈性模量和慣性矩；L為總跨度；n為錨索的數(shù)量；D i為錨索處橫坐標(biāo)?？紤]移動(dòng)荷載列Ph(h=1～m)以速度vp通過懸浮隧道，t時(shí)刻的荷載位置為xh=vpt-(h-1)Lm-Di-1(其中，m為集中力數(shù)目，Ph為集中力大小，Lm為相鄰集中力間距)。根據(jù)假定條件4)水動(dòng)力荷載Fd(x，t)的表達(dá)式為

式中：ρw為流體密度；Cm和Cd為水動(dòng)力系數(shù)；D為管體直徑。借鑒文獻(xiàn)[6-9,16]中處理方法，基于子結(jié)構(gòu)離散/整合技術(shù)構(gòu)建新的懸浮隧道簡化分析模型，第i節(jié)段管體節(jié)段的量綱一動(dòng)力方程可寫為

式中：γ為長細(xì)比；δ為delta 函數(shù)。量綱一變量的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

其中：c為阻尼系數(shù)；W=EtIt·?2Vi/?x2，Q=EtIt·?3Vi/?x3，分別為管體彎矩與剪力；為考慮流體附加質(zhì)量的隧道管體單位長度質(zhì)量；vi，，，di，lm，τ，ksi，，，ph，，和cd分別為與Vi，x，xh，Di，Lm，t，Ksi，W，Q，Ph，vp，c和Cd對應(yīng)的量綱一變量。彈性支撐ksi位于相鄰節(jié)段銜接處，由此處的量綱一位移、量綱一轉(zhuǎn)角、量綱一彎矩和量綱一剪力滿足變形協(xié)調(diào)關(guān)系[12-13]可以得到：

式中：右上標(biāo)的加、減號分別表示截面的左、右側(cè)。

1.2 自振特性

對于整體結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)解為{v1，v2，…，vn+1}T=其中i 為虛數(shù)單位，上標(biāo)T表示裝置，ωj為系統(tǒng)自振量綱一頻率，φji()為第j階模態(tài)第i個(gè)節(jié)段的振動(dòng)幅度。將其代入與式(2)對應(yīng)的無阻尼線性自由振動(dòng)方程，可得如下特征方程：

其解為

其中，2×4 階邊界矩陣BL和BR及4×4 階銜接矩陣Θi均為ηj，di和ksi的函數(shù)。整合跨度內(nèi)n+1個(gè)節(jié)段可得懸浮隧道的整體特征方程為

由式(8)可求得各階量綱一頻率及向量A1，結(jié)合式(7)可得懸浮隧道結(jié)構(gòu)正交規(guī)范化的整體模態(tài)[17-18]。

1.3 移動(dòng)荷載響應(yīng)

懸浮隧道振動(dòng)系統(tǒng)的量綱一解可以表示為各階模態(tài)與對應(yīng)時(shí)間廣義坐標(biāo)qj(τ)的乘積：

由模態(tài)正交性和Galerkin積分取前N階，可得qj(τ)的求解方程：

其中：q(τ)={q1(τ)，q2(τ)，…，qN(τ)}T，為廣義坐標(biāo)向量；質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C、剛度矩陣K為對角矩陣，其第j個(gè)主對角元素分別為1，cˉ，ω2j；FQ(τ)，F(xiàn)M(τ)和FH(τ)分別為與非線性項(xiàng)、移動(dòng)荷載項(xiàng)和波流荷載項(xiàng)對應(yīng)的向量，其與第j階模態(tài)相關(guān)的分量分別為

式中：sign(x)為符號函數(shù)。

2 錨索支撐剛度影響分析

2.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)、列車荷載與錨索支撐剛度確定

對于尚未建成的懸浮隧道，通過大量參數(shù)分析獲取結(jié)構(gòu)性能是可取的途徑。因此，采用所提方法進(jìn)行分析時(shí)，參考文獻(xiàn)[19]選取如下基本結(jié)構(gòu)參數(shù)：L=1 000 m，D=15 m，ρw=1 000 kg/m3，ρt=2 500 kg/m3，Et=34.5 GPa，錨索彈性模量Ec=200 GPa，Cm=Cd=1.0。

以高速行駛的列車為背景，考慮作用于懸浮隧道上的移動(dòng)荷載，車廂軸重力組成的荷載如圖2(a)所示。為便于探討一般性規(guī)律，將列車等效為圖2(b)所示的移動(dòng)集中力[15]。根據(jù)所選懸浮隧道基本參數(shù)將1列8車廂(每節(jié)車廂質(zhì)量為60 t)高鐵列車的荷載乘以2 作為作用于管體上的移動(dòng)荷載，于是，取m=8，Ph=1 200 kN，vp=250 km/h，Lm=25 m。

圖2 高鐵列車編組及等效荷載示意圖Fig.2 Schematic view of high speed railway train carriage and equivalent loads

針對錨索豎向剛度，一方面，為了研究ksi變化對頻率的影響，通過量綱一剛度ks建立量綱一剛度ksi之間的聯(lián)系?？紤]跨度內(nèi)n有3，4，7 和9個(gè)支撐錨索的均勻情形，對應(yīng)表1內(nèi)的工況1至工況4，并以n為4和9為例考慮表1所示錨索剛度為不均勻情形的工況2-1至工況2-4、工況4-1至工況4-4，剛度在ksi的基礎(chǔ)上乘以材料安全系數(shù)、錨固長度等引起的變化系數(shù)。另一方面，為了研究移動(dòng)荷載引起的位移、內(nèi)力規(guī)律，ksi按照錨索索力與該錨索支撐范圍內(nèi)凈浮力相等的原則確定，此時(shí)，Di處的豎向彈性支撐剛度基準(zhǔn)值Ksi可以表示為

表1 懸浮隧道跨度內(nèi)支撐剛度分布工況Table 1 Distribution of intermediate supporting stiffness of SFT

其中：[σ]為錨索的應(yīng)力限值，取1 350 MPa；hci為錨索豎向投影長度，取50 m；β為管體浮重比；λ為索力安全系數(shù)或放大系數(shù)，其取值可作為錨索參數(shù)合理性判定指標(biāo)。當(dāng)懸浮隧道結(jié)構(gòu)發(fā)生流致振動(dòng)時(shí)，錨索索力會(huì)出現(xiàn)變化，尤其是出現(xiàn)大位移可能導(dǎo)致錨索出現(xiàn)松弛現(xiàn)象時(shí)[20]，錨索的瞬態(tài)沖擊力可達(dá)到靜態(tài)平衡的10 倍左右，因此，取λ=10 對移動(dòng)荷載下結(jié)構(gòu)位移、內(nèi)力分布規(guī)律進(jìn)行研究。

式(8)可用于分析懸浮隧道的量綱一頻率等自振特性，式(10)可用于分析移動(dòng)荷載響應(yīng)的分布規(guī)律，同時(shí)，采用ANSYS軟件對部分結(jié)果進(jìn)行有限元(FEM)驗(yàn)證。各物理量之間的量綱轉(zhuǎn)換關(guān)系見式(3)。為獲取更一般性規(guī)律，文中分析結(jié)果以量綱一形式給出。

2.2 自振特征分布

圖3 和圖4 所示分別為工況1 至工況4 和工況2-1 至工況2-4 中懸浮隧道各階量綱一頻率ωj隨量綱一剛度ks變化的頻譜圖，其中，1st，2nd，…，10th分別為第1，2，…，10階量綱一頻率的階次。同時(shí)，采用ANSYS軟件對工況2-1至工況2-4的理論結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，管體和彈性支撐分別采用Beam和Combine單元模擬。圖4(b)中空心三角形表示有限元模擬結(jié)果，可知工況2-1 至工況2-4 的理論結(jié)果與有限元結(jié)果較吻合，二者頻率的最大相對誤差在2%之內(nèi)。

圖3 均勻工況下量綱一頻率ωj隨量綱一剛度ks變化的頻譜圖Fig.3 Frequency spectrum of variation of frequency ωj versus dimensionless stiffness ks for uniform cases

圖4 非均勻工況下量綱一頻率ωj隨量綱一剛度ks變化的頻譜圖Fig.4 Frequency spectrum of variation of frequency ωj versus dimensionless stiffness ks for no-uniform cases

由圖3 可知：在工況1 至工況4 中，頻譜上每n+1階量綱一頻率為一組，其中第(n+1)整數(shù)倍階次量綱一頻率不隨ks變化，而其余階次的量綱一頻率隨著ks的增大而增大。這是因?yàn)閚+1剛好為梁節(jié)段數(shù)目，整體特征方程式(8)可進(jìn)一步寫為含ks項(xiàng)與不含ks項(xiàng)的乘積；每組n+1階量綱一頻率均匯聚于某一個(gè)局部區(qū)域，對應(yīng)圖3中的長方形區(qū)域，在該區(qū)域內(nèi)量綱一頻率密集匯集，與該區(qū)域結(jié)構(gòu)參數(shù)對應(yīng)的結(jié)構(gòu)可能存在模態(tài)能量轉(zhuǎn)換等非線性行為。此外，工況1 至工況4 中，按照式(12)中所得的量綱一豎向彈性支撐剛度基準(zhǔn)值ksi分別為2.10×104，2.62×104，4.20×104和5.25×104，這些取值位于或靠近模態(tài)聚集區(qū)。另外，對比工況1至工況4可發(fā)現(xiàn)不同錨索支撐數(shù)目時(shí)各階量綱一頻率對ks變化的敏感區(qū)間不同，如工況1的量綱一頻率敏感區(qū)間為量綱一剛度ks∈[103，105]。

在圖4所示的工況2-1至工況2-4共4種非均勻工況中，與均勻工況類似，每5階量綱一頻率為一組且該組量綱一頻率匯集于某一局部區(qū)域，量綱一頻率隨ks變化的分布規(guī)律也與工況2的類似，敏感區(qū)間為量綱一剛度ks∈[103，105]，在此區(qū)間內(nèi)量綱一頻率增大十分顯著。與均勻工況不同之處在于，由于4個(gè)支撐剛度在跨度范圍內(nèi)不對稱，模態(tài)匯集區(qū)內(nèi)各階量綱一頻率不再交于某一個(gè)類似于交點(diǎn)的小區(qū)域，而是分布在一個(gè)較大的區(qū)域，各階量綱一頻率之間隨著ks變化的接近方式為交叉或轉(zhuǎn)向。

2.3 位移響應(yīng)特征

圖5 所示為錨索支撐剛度取式(12)中基準(zhǔn)值時(shí)，工況2-1 至工況2-4 及工況2 中懸浮隧道xˉ=0.50，0.60 處量綱一位移vi(xˉ，τ)隨量綱一時(shí)間τ的變化曲線，圖中結(jié)果通過式(10)的多階模態(tài)計(jì)算迭加獲取，各種工況下管體不同位置結(jié)構(gòu)豎向位移在模態(tài)截取階數(shù)N≤10時(shí)均已收斂，其中，將工況2-1和工況2的量綱一位移結(jié)果與對應(yīng)的ANSYS結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證，最大相對誤差均在3%之內(nèi)。從圖5(a)可見：各工況下xˉ=0.50處豎向位移峰值均出現(xiàn)在移動(dòng)荷載列經(jīng)過該位置前后的時(shí)刻，其大小與支撐剛度ksi的取值對應(yīng)，工況2-2 和工況2-4的位移峰值較小，工況2-1 和工況2-3 的位移峰值較大，工況2的位移峰值最大。從圖5(b)可見：xˉ=0.60 即彈性支撐ks3處的豎向位移峰值在不同工況下差別不大，這是由于各種工況下此處支撐剛度均為基準(zhǔn)值(即ks3=ks，見表1)，同時(shí)，移動(dòng)荷載對管體支撐剛度處豎向位移的影響范圍僅限于該彈性支撐附近，其原因在于列車長度相對于懸浮隧道長度較小，且支撐剛度在位移影響因素中占主導(dǎo)。

圖5 懸浮隧道的荷載響應(yīng)曲線(n=4)Fig.5 Dynamic response curves of SFT(n=4)

從工程和設(shè)計(jì)的角度來說，外荷載引起的位移或內(nèi)力變化范圍及上下限需重點(diǎn)關(guān)注。圖6所示為基于本文方法繪出的不同參數(shù)組合下懸浮隧道在移動(dòng)列車荷載作用下的量綱一位移包絡(luò)圖，即每種工況下跨度范圍內(nèi)懸浮隧道量綱一位移vi(，τ) 的限值。

對比工況1至工況4的位移包絡(luò)圖可知當(dāng)彈性支撐數(shù)目增加即錨索支撐間距減小時(shí)，位移的上、下限的絕對值均減小，這是間距減小使得結(jié)構(gòu)整體剛度增大所致；對比邊子跨、中子跨的跨中位移可知，邊子跨豎向位移下限值大于中子跨的豎向位移下限值，且不同中子跨下限值一致，這與等跨連續(xù)梁的各子跨豎向位移分布規(guī)律相同；此外，每個(gè)子跨跨中的豎向位移限值顯著小于彈性支撐點(diǎn)的豎向位移限值。

對比圖6(b)中不同浮重比對應(yīng)的位移包絡(luò)曲線可知：隨著浮重比增大，豎向位移下限絕對值減小，這是由于浮重比增大時(shí)凈浮力增大，凈浮力既可以平衡一部分列車荷載，也會(huì)導(dǎo)致支撐錨索截面與剛度均變大，因而，位移減小。此外，中間部分不同子跨范圍內(nèi)位移限值的分布規(guī)律一致。

圖6 懸浮隧道位移包絡(luò)曲線Fig.6 Displacement envelope curves of SFT

從圖6(c)所示不均勻的工況2-1至工況2-4的位移包絡(luò)圖可見：當(dāng)彈性支撐數(shù)目較少(n=4)時(shí)，其剛度較大；當(dāng)列車荷載經(jīng)過時(shí)，不均勻剛度對位移的影響較小。與之對應(yīng)，在圖6(d)所示工況4-1至工況4-4 的位移包絡(luò)圖中，彈性支撐數(shù)目較多(n=9)，剛度較小，列車荷載經(jīng)過時(shí)不均勻剛度對位移的影響較大，所以，不同工況的豎向位移限值相差較大。

2.4 內(nèi)力分布特征

圖7至圖9所示為不同參數(shù)組合下懸浮隧道在移動(dòng)列車荷載作用下的內(nèi)力包絡(luò)圖，即跨度范圍內(nèi)懸浮隧道量綱一彎矩和量綱一剪力的限值，彎矩以上緣受拉為正，剪力使隔離體順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，最大/最小值對應(yīng)圖中每種工況的上/下限值。

圖7 懸浮隧道不同跨內(nèi)支撐數(shù)目的內(nèi)力包絡(luò)曲線Fig.7 Internal forces envelope curves for SFT with different numbers of intermediate elastic supports

圖8 懸浮隧道不同浮重比的內(nèi)力包絡(luò)曲線Fig.8 Internal forces envelope curves for SFT with different buoyancy-weight ratio

圖9 懸浮隧道跨內(nèi)支撐剛度不均勻時(shí)的內(nèi)力包絡(luò)曲線Fig.9 Internal forces envelope curves for SFT with no-uniform stiffness of the intermediate elastic supports

從圖7可見：隨著彈性支撐數(shù)目增加，彎矩和剪力的上、下限值均減小，這是由于此時(shí)錨索支撐間距減小，內(nèi)力隨之減??；正彎矩峰值出現(xiàn)在子跨跨中位置且邊子跨峰值大于中子跨峰值，負(fù)彎矩峰值出現(xiàn)在錨索支撐處且局部還存在1個(gè)較小的增大值；正負(fù)剪力的限值均位于錨索支撐處，類似于多跨連續(xù)梁的剪力分布，不同之處在于連續(xù)梁在橋墩處存在橋墩豎直向上“頂”的作用力，而懸浮隧道在錨索處存在錨索豎直向下“拉”的作用力。

浮重比是懸浮隧道的重要結(jié)構(gòu)參數(shù)。由圖8可見：在各種不同浮重比下，正彎矩峰值位于子跨跨中且邊子跨峰值大于中子跨峰值，負(fù)彎矩峰值位于錨索支撐點(diǎn)；隨著浮重比增大，錨索支撐剛度變大，此時(shí)，正彎矩峰值減小，而負(fù)彎矩峰值增大且局部集中效應(yīng)顯著，在設(shè)計(jì)時(shí)，該位置的管體結(jié)構(gòu)需要局部加強(qiáng)。不同浮重比時(shí)剪力在每個(gè)子跨的分布基本類似，峰值均位于錨索支撐處，且其正負(fù)剪力峰值均隨浮重比增大而增大。

圖9所示為支撐剛度不均勻時(shí)列車荷載作用下的彎矩、剪力包絡(luò)圖。從圖9 可見：在不同工況下，錨索支撐剛度的不均勻性對正負(fù)彎矩峰值影響較大，總體來說，ksi越大，所對應(yīng)的正彎矩峰值越小，而錨索支撐處的負(fù)彎矩峰值顯著越大，局部效應(yīng)十分明顯；錨索支撐剛度的不均勻性對正負(fù)剪力峰值影響也較明顯，當(dāng)跨度范圍內(nèi)的ksi取較大值時(shí)，該處剪力正負(fù)限值隨之變大。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是支撐錨索的剛度ksi在很大程度上決定了彎矩、剪力的峰值。

3 結(jié)論

1) 將各錨索等效為豎向彈性支撐，采用子結(jié)構(gòu)離散/整合技術(shù)建立了懸浮隧道管體的動(dòng)力方程，通過結(jié)構(gòu)自振特性、移動(dòng)列車荷載響應(yīng)的分析及與有限元的比較驗(yàn)證了所提方法的正確性。

2) 頻譜圖存在與錨索支撐數(shù)目相關(guān)的量綱一頻率組，多階量綱一頻率匯集于一個(gè)局部區(qū)域，各階量綱一頻率之間隨著支撐剛度變化的接近方式為交叉或轉(zhuǎn)向，不同支撐數(shù)目時(shí)量綱一頻率隨ks變化的敏感區(qū)間不同。

3) 在各種參數(shù)組合下，懸浮隧道結(jié)構(gòu)子跨跨中和錨索支撐點(diǎn)的豎向位移峰值均出現(xiàn)在移動(dòng)列車經(jīng)過該位置時(shí)刻，位移的上、下限值與錨索支撐數(shù)目、浮重比及剛度不均勻性密切相關(guān)。

4) 彎矩、剪力對多種結(jié)構(gòu)參數(shù)較敏感，總體上說，當(dāng)錨索支撐數(shù)目減少、浮重比增大且支撐剛度變大時(shí)，內(nèi)力包絡(luò)圖中正負(fù)彎矩上、下限值變大，錨索支撐處剪力上、下限值也變大。