非線性光學(xué)系統(tǒng)中呼吸子前沿發(fā)展現(xiàn)狀（特邀）

楊戰(zhàn)營，吳玉涵

（1 西北大學(xué)物理學(xué)院，西安 710127）

（2 陜西省理論物理前沿重點實驗室，西安 710127）

（3 彭桓武高能基礎(chǔ)理論研究中心，西安 710127）

0 引言

呼吸子（Breather），泛指一類具有周期演化或周期分布結(jié)構(gòu)的非線性波，它們的形狀在傳輸過程中經(jīng)歷周期性振蕩，并且可以在有限背景的時間或空間中具有局域性。這類呼吸子廣泛存在于非線性光學(xué)［1-6］、流體力學(xué)［7］、玻色-愛因斯坦凝聚［8-10］、腔光力學(xué)［11-12］和PT 對稱系統(tǒng)［13］等物理系統(tǒng)。通常，按照其激發(fā)背景的不同可分為零背景上的呼吸子和平面波背景上的呼吸子。其中，零背景上的呼吸子本質(zhì)是“多孤子束縛態(tài)”［14-15］。最近，WU Xiuqi等在超快光纖激光器中對其產(chǎn)生及應(yīng)用進行了相關(guān)報道［16］。另一方面，平面波背景上的呼吸子具有豐富的動力學(xué)特性和物理意義。與之前廣泛報道的“孤子”不同，表現(xiàn)出與平面波背景之間穩(wěn)定的周期性能量交換。特別的是，因平面波背景上的呼吸子與非線性系統(tǒng)中普遍存在的調(diào)制不穩(wěn)定性緊密相關(guān)，所以研究呼吸子對于理解各種非線性相干現(xiàn)象中起著至關(guān)重要的作用。其中，Akhmediev呼吸子可以用來描述著名的Fermi-Pasta-Ulam 循環(huán)和高階調(diào)制不穩(wěn)定性，表現(xiàn)出周期性復(fù)現(xiàn)和脈沖劈裂等具有雙重周期特性的動力學(xué)過程［17-20］。另外，對呼吸子的研究有助于理解非線性系統(tǒng)中超連續(xù)光譜的產(chǎn)生、湍流等現(xiàn)象［1，5-6，21］。特別地，呼吸子的相互作用被證明可以用來實現(xiàn)高功率脈沖制備［22］以及揭示調(diào)制不穩(wěn)定性的非線性階段演化特性［23］。

呼吸子動力學(xué)的研究已成為非線性物理學(xué)科中的一個重要課題。在1+1 維非線性系統(tǒng)中已經(jīng)得到的呼吸子按其動力學(xué)特性及產(chǎn)生機制主要分為Kuznetsov-Ma 呼吸子［24-25］，Akhmediev 呼吸子［26］和Tajiri-Watanabe呼吸子［27-28］，以及相應(yīng)的非線性疊加態(tài)［29］。一般地，對呼吸子動力學(xué)的研究主要是基于可積的非線性薛定諤方程展開的。簡單來說，通過可積系統(tǒng)中的精確求解理論得到不同種類呼吸子的存在及激發(fā)條件，利用相應(yīng)條件的簡單初態(tài)進行演化，從而得到對應(yīng)的呼吸子結(jié)構(gòu)。另外，還可以通過分析呼吸子的激發(fā)機制掌握不同呼吸子的激發(fā)條件，探究呼吸子的動力學(xué)性質(zhì)與實驗實現(xiàn)。事實上，考慮實際物理系統(tǒng)中如自頻移、自陡峭、增益和損耗等效應(yīng)的存在對非線性系統(tǒng)中呼吸子的影響也是非常重要的［20，30-32］。目前，對呼吸子的理論和實驗研究結(jié)果主要從以下方面展開討論：1）不同非線性物理系統(tǒng)中呼吸子的存在條件；2）精確求解呼吸子的理論方法；3）呼吸子的結(jié)構(gòu)及性質(zhì)；4）呼吸子的激發(fā)機制及產(chǎn)生條件；5）不同呼吸子的演化特性；6）呼吸子之間的相互作用特性；7）呼吸子在超連續(xù)譜的產(chǎn)生、高功率脈沖制備等方面的應(yīng)用。

對目前的非線性物理系統(tǒng)而言，非線性光纖是實驗科學(xué)上發(fā)展成熟的非線性實驗平臺。因此，本文主要基于非線性光學(xué)系統(tǒng)對平面波背景上的幾種典型呼吸子的相關(guān)理論和實驗研究進展進行簡要論述。首先列舉了Kuznetsov-Ma 呼吸子，Akhmediev 呼吸子和Peregrine 怪波的解析表達(dá)式，展示了時域和頻域空間中的動力學(xué)演化，討論了呼吸子的歷史發(fā)展與實際物理意義。然后利用非線性系統(tǒng)中普遍存在的調(diào)制不穩(wěn)定特性討論了基本呼吸子的激發(fā)機制與產(chǎn)生條件，并結(jié)合有效能量給出了不同呼吸子之間的定量轉(zhuǎn)換關(guān)系。最后報道了在光學(xué)系統(tǒng)中基本呼吸子的相互作用。相關(guān)理論和實驗研究表明，兩列呼吸子發(fā)生碰撞能夠產(chǎn)生高振幅相互作用、準(zhǔn)湮滅相互作用和幽靈相互作用。這些結(jié)果將在很大程度上促進對多種呼吸子的理論探索和實驗觀測，進一步提高呼吸子對實際物理應(yīng)用方面的可能性。

1 基本呼吸子動力學(xué)特性

一般地，光脈沖在光纖中傳輸時需要考慮非線性光學(xué)效應(yīng)和群速度色散的影響。常見的脈沖在非線性光學(xué)系統(tǒng)中傳輸?shù)膭恿W(xué)過程服從非線性薛定諤（Nonlinear Schr?dinger，NLS）模型，其無量綱形式表示為

式（1）描述了在忽略光損耗時，皮秒脈沖在單模光纖中的傳播。其中參數(shù)z和t分別表示歸一化的距離和時間，|ψ|2表示光強，第二項ψtt對應(yīng)群速度色散，第三項|ψ|2ψ為光克爾（Kerr）非線性項。式（1）被證明是可積的，通過達(dá)布變換方法能夠精確求解NLS 方程，并利用非線性疊加原理得到該方程的高階非線性波解［33］。相應(yīng)的Lax pair 可表示為

式中，Φ=(φ1，φ2)T，矩陣U和V為

其中譜參量λ是復(fù)常數(shù)。式（2）將非線性方程的求解問題直接轉(zhuǎn)化為線性方程組求解本征值問題。由可積條件（零曲率方程）Uz-Vt+[U，V]=0 可以直接導(dǎo)出NLS 方程式（1）。由此，NLS 方程解的形式為

式中，φ1(z，t)，φ2(z，t)為相應(yīng)的式（2）在ψ(z，t)=ψ0(z，t)時的解。為了研究平面波背景上的呼吸子，取如下ψ0(z，t)為初始平面波背景解

式中，參數(shù)a和ω分別表示平面波背景的振幅和頻率，k=a2-ω2/2 是平面波的波數(shù)。根據(jù)式（3），得到平面波背景上基本（一階）呼吸子的解析表達(dá)式為

顯然，當(dāng)背景振幅a=0 時，平面波解式（2）退化為平庸解ψ0=0，此時式（5）約化得到標(biāo)準(zhǔn)的亮孤子解。這里的參數(shù)b與呼吸子的初始包絡(luò)形狀有關(guān)，β0，γ0是關(guān)于變量t和z的實函數(shù)，Vg，Vp與呼吸子包絡(luò)的群速度和相速度有關(guān)。上述基本呼吸子解式（5）是雙曲函數(shù)coshβ0，sinhβ0與三角函數(shù)cosγ0，sinγ0的組合形式。通常三角函數(shù)控制呼吸子解的周期性，雙曲函數(shù)控制其局域性。分析式（5）的局域性與周期性就可以判斷在不同參數(shù)條件下對應(yīng)不同的呼吸子動力學(xué)演化特性。例如，當(dāng)ζ=0，且σ≠0 時，呼吸子解僅在分布t方向具有周期特性，此時式（5）被稱為Akhmediev 呼吸子解，如圖1（b）。

由于該類解中存在自由參數(shù)，使得在非線性光學(xué)系統(tǒng)中有利于對呼吸子動力學(xué)進行調(diào)控，從而得到具有物理意義的呼吸子結(jié)構(gòu)。常見的平面波背景上呼吸子如圖1，按其性質(zhì)的不同主要分為Kuznetsov-Ma 呼吸子［24-25］、Akhmediev 呼吸子［26］、Tajiri-Watanabe 呼吸子［27-28］。另外，上述典型的平面波背景上局域波并不是孤立存在的。當(dāng)呼吸子的周期增至無窮大時，它們都將退化為雙重局域的Peregrine 怪波［34］結(jié)構(gòu)。

1.1 Kuznetsov-Ma 呼吸子

從歷史來看，平面波背景上呼吸子的研究可追溯至20世紀(jì)70年代末，由KUZNETSOV E A 和MA Y C在研究標(biāo)準(zhǔn)NLS 方程的非線性激發(fā)時，推導(dǎo)出具有橫向分布局域縱向傳輸周期特性的局域波解［24-25］。該類解的特征與眾所周知的穩(wěn)定傳輸“孤子”截然不同，表現(xiàn)出與平面波背景之間穩(wěn)定的周期性能量交換過程，相應(yīng)的峰值高度以指數(shù)放大又以指數(shù)衰減，故被稱為“Kuznetsov-Ma 呼吸子”，如圖1（a）所示。另外，當(dāng)背景振幅a為零時Kuznetsov-Ma 呼吸子退化為標(biāo)準(zhǔn)亮孤子。由此，Kuznetsov-Ma 呼吸子又被稱為Kuznetsov-Ma 孤子。

基于標(biāo)準(zhǔn)NLS 框架，對于基本呼吸子解式（5）來說，在滿足|b|＞a的條件下，可以得到σ=0，ζ=此時式（5）對應(yīng)于Kuznetsov-Ma 呼吸子，其解析表達(dá)式為

顯然，該呼吸子表現(xiàn)出在分布方向t有局域性而沒有周期性，在演化方向z有周期性的動力學(xué)特征，如圖2 所示，精確解式（6）取參數(shù)a=1，b=1.4，ω=0。根據(jù)式（6）可讀取出Kuznetsov-Ma 呼吸子的包絡(luò)速度Vkm=ω及振蕩周期當(dāng)b=0 時，該解退化為平面波解。另一方面，對其時域分布動力學(xué)過程做關(guān)于t的傅里葉變換，可將Kuznetsov-Ma 呼吸子從時域分布轉(zhuǎn)為頻域空間，相應(yīng)的頻譜演化如圖2（b）。在Kuznetsov-Ma 呼吸子的最大壓縮位置處呈現(xiàn)局域展寬的頻譜分布，盡管這種分布在演化方向上是周期性變化的，它的主頻率始終維持在0 處，且不隨參數(shù)取值變化的影響。

Kuznetsov-Ma 呼吸子于2012年在光纖中被報道［4］，通過時域和頻域中的動力學(xué)特性展示了強調(diào)制連續(xù)波的周期性演化，與理論和數(shù)值結(jié)果具有很好地一致性，并為光學(xué)系統(tǒng)中實驗研究非線性波動動力學(xué)提供基本指導(dǎo)。近年來，研究人員在非線性光學(xué)系統(tǒng)中對Kuznetsov-Ma 呼吸子具有的空間局域特性進行了廣泛研究。XIONG Hao 等提出利用Kuznetsov-Ma 呼吸子來描述光場與機械振子之間的相互作用，從而在腔光力學(xué)系統(tǒng)中表現(xiàn)出豐富的非線性特性和量子效應(yīng)［12］。ZHAO Lichen 等對平面波背景上由局域擾動引起呼吸子的機制進行了分析，表明Kuznetsov-Ma 呼吸子是由調(diào)制不穩(wěn)定特性和亮孤子與平面波背景間的干涉效應(yīng)共同決定［35］。另外，LIU Chong 等最近研究了矢量NLS 系統(tǒng)下非簡并Kuznetsov-Ma 呼吸子動力學(xué)演化以及頻譜的解析描述，討論了其與矢量亮孤子之間的區(qū)別與聯(lián)系，并給出了在數(shù)值上簡單的激發(fā)方法［36］。

1.2 Akhmediev 呼吸子

1986年，AKHMEDIEV N 等通過推導(dǎo)標(biāo)量NLS 方程得到了一組精確的周期解，該解嚴(yán)格描述了平面波上弱諧波調(diào)制激發(fā)的振幅增長和衰減的單次循環(huán)過程，被稱為著名的Akhmediev 呼吸子［26］。與求解Kuznetsov-Ma 呼吸子解析解的過程相似，基于基本呼吸子解式（5），當(dāng)|b|＜a可得ζ=0，σ=，β0=bσz，γ0=σt-ωσz。由此，相應(yīng)的Akhmediev 呼吸子解析表達(dá)式為

該Akhmediev 呼吸子解表現(xiàn)出了在演化z方向局域且在分布t方向周期排列的特性，如圖3 所示，精確解式（7）取參數(shù)a=1，b=0.5，ω=0。此時波包整體的群速度為無窮大，而重復(fù)排列的每個基本單元的相速度Vab=ω。另外，重復(fù)排列單元在t方向的頻率由σ決定，因此分布周期為Akhmediev 呼吸子解式（7）在頻域空間的演化如圖3（b）所示，它存在著周期性排列的邊帶成分，且表現(xiàn)為頻譜能量從中心向兩側(cè)逐級遞減，隨后被逆轉(zhuǎn)的過程。這一原理本質(zhì)上是著名的Fermi-pasta-Ulam 循環(huán)［17，37］，呈現(xiàn)出了復(fù)雜的中心泵浦與其他各邊帶譜模式之間能量的交換過程。

2009年，DUDLEY J M 和HAMMANI K 等利用周期調(diào)制的連續(xù)波在單模光纖中實現(xiàn)了對Akhmediev呼吸子的特征觀測并揭示了其增長、衰減的頻譜演化規(guī)律［1，5，38］。FATOME J 等在單模光纖的反常色散區(qū)基于周期性分布的Akhmediev 呼吸子動力學(xué)設(shè)計了具有高質(zhì)量和高重復(fù)率的脈沖序列激發(fā)器［39］。近年來，大量的研究表明Akhmediev 呼吸子能夠精確地描述諸多重要的非線性物理現(xiàn)象，如調(diào)制不穩(wěn)定性、Fermi-Pasta-Ulam 循環(huán)、超連續(xù)光譜產(chǎn)生等。其中，高階調(diào)制不穩(wěn)定性誘發(fā)的多重增長-衰減動力學(xué)過程可以由Akhmediev 呼吸子解析解精確地描述［18-19］，相應(yīng)的時域結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出常規(guī)/周期復(fù)現(xiàn)、倍頻/劈裂等具有雙重周期特性的過程。另外，具有雙重局域特性的Peregrine 怪波可以在Akhmediev 呼吸子周期趨于無窮大時獲得。同時，Akhmediev 呼吸子的相互作用在光纖中被證實能夠用來激發(fā)高階怪波［2，22］。

1.3 Peregrine 怪波

怪波現(xiàn)象已被證實為一種由非線性效應(yīng)引起的極端自然現(xiàn)象，最早發(fā)現(xiàn)于海洋并在航海歷史上造成眾多毀滅性的海難。其主要表現(xiàn)出具有超高振幅能量以及無法預(yù)期性和不可控性的特征。事實上，早在1983年，PEREGRINE D H 教授理論預(yù)言了一類時空雙重局域的“單振幅波”［34］，其結(jié)構(gòu)如圖1（d）。這個特殊的結(jié)構(gòu)就是近期被人們廣泛接受的描述“怪波現(xiàn)象”的最基本原型——Peregrine 怪波。該解以其特有的有理分式著名，描述了基于調(diào)制不穩(wěn)定性的單峰弱信號被指數(shù)放大的不穩(wěn)定過程。

基本呼吸子解式（5）取|b|=a時，得到σ=0，ζ=0。即，通過對式（5）取極限|b|→a，可得解析的Peregrine怪波解為

顯然，該解描述的是在分布t方向和演化z方向具有雙重局域的結(jié)構(gòu)，其速度Vrw=ω，如圖4 所示，精確解式（8）取參數(shù)a=1，ω=0。圖4（b）展示了怪波在頻域空間的演化。另外，當(dāng)|b|=a時，上述解析的Kuznetsov-Ma 呼吸子式（6）和Akhmediev 呼吸子式（7）都可以約化為Peregrine 怪波解式（8）。

2007年，SOLLI D R 等［2］率先在非線性光纖中實現(xiàn)了對怪波的實驗觀測，開啟了“光怪波物理”這一全新的非線性科學(xué)研究方向。該實驗報道了怪波高峰值和不可預(yù)期的基本特征，并提出怪波的最大幅值和峰值概率密度函數(shù)能夠作為探究怪波特性的標(biāo)準(zhǔn)之一。自此展開了不同非線性系統(tǒng)中對具有雙重局域特性怪波的相關(guān)實驗驗證，并進一步地深入探究相應(yīng)的物理機制。特別地，SOLLI D R 等和DUDLEY J M 等基于受激超連續(xù)光譜產(chǎn)生對光怪波現(xiàn)象進行了有效控制［21，40］。ERKINTALO M 等研究了由飛秒超連續(xù)光譜激發(fā)的光怪波特征［41］。另外，LECAPLAIN C 等報道了光纖環(huán)形激光器中觀測光怪波現(xiàn)象的實驗條件［42］。直到2016年，F(xiàn)RISQUET B 等通過在隨機雙折射的通信光纖中注入兩個正交偏振態(tài)，實驗觀察到了光學(xué)暗怪波結(jié)構(gòu)，為多分量耦合光纖系統(tǒng)的研究開辟了新的方向［43］。

2 呼吸子激發(fā)機制

事實上，上述典型的基本呼吸子主要由非線性系統(tǒng)中廣泛存在的調(diào)制不穩(wěn)定性（Modulation Instability，簡稱MI）所引起。調(diào)制不穩(wěn)定性存在于各種保守和耗散的物理系統(tǒng)，是非線性系統(tǒng)的基本屬性。2014年，DUDLEY J M等［1］在標(biāo)準(zhǔn)的NLS系統(tǒng)中，利用連續(xù)波背景疊加寬頻噪聲觸發(fā)的混沌場數(shù)值研究了隨機初態(tài)的演化動力學(xué)過程，如圖5。相應(yīng)的結(jié)果表明，Kuznetsov-Ma呼吸子（KM）、Akhmediev呼吸子（AB）、Peregrine 怪波（PS）的動力學(xué)可以通過隨機噪聲誘發(fā)的調(diào)制不穩(wěn)定性成功“映射”在混沌場中［1，44-45］，從而得到與解析結(jié)構(gòu)完全一致的實驗結(jié)果。這些結(jié)果證明了這一系列的解析解代表著一類普遍存在的具有重要物理意義的非線性激發(fā)單元。

重要的是，線性穩(wěn)定性分析作為一種定量分析調(diào)制不穩(wěn)定性動力學(xué)的有效手段，對非線性系統(tǒng)中呼吸子激發(fā)的研究具有推動作用。因此，我們能夠利用線性穩(wěn)定性分析探究平面波背景上由調(diào)制不穩(wěn)定性誘發(fā)呼吸子的可控激發(fā)條件［46］。上述幾種典型的呼吸子解式（5）～（8）可寫為

表示平面波ψ0與擾動動力學(xué)ψp的線性疊加。一般地，ψp取小振幅的周期擾動形式，即

式中，參數(shù)K和Ω分別表示擾動的波數(shù)和頻率，f+，f-(f?a)表示傅里葉模式的小振幅。將式（9）代入NLS模型式（1），得到擾動波數(shù)與頻率之間滿足的色散關(guān)系為：顯然，我們發(fā)現(xiàn)在|Ω|≥2a范圍內(nèi)的平面波在擾動下是穩(wěn)定的，滿足調(diào)制穩(wěn)定性。而平面波在擾動頻率-2a＜Ω＜2a時是不穩(wěn)定的，即調(diào)制不穩(wěn)定性。事實上，波數(shù)K的虛部決定了擾動增長的快慢，故調(diào)制不穩(wěn)定性增長率定義為

圖6（a）、（b）分別給出了調(diào)制不穩(wěn)定性增益G在背景頻率ω和擾動頻率Ω參數(shù)平面的分布以及在背景振幅a和擾動頻率Ω參數(shù)平面的分布。同時，呼吸子的精確解在參數(shù)空間中的對應(yīng)如圖6（c）和（d）所示。通過圖6（a）、（b）和（c）、（d）之間的對比可以看出，Kuznetsov-Ma 呼吸子和Peregrine 怪波激發(fā)在調(diào)制不穩(wěn)定增益分布平面的共振線Ω=0，a≠0 區(qū)域，Akhmediev 呼吸子位于共振線兩側(cè)的調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)，而亮孤子則位于零背景a=0 處。調(diào)制不穩(wěn)定性與上述幾種著名的非線性波之間的定量關(guān)系可以參考文獻(xiàn)［47］。

Kuznetsov-Ma 呼吸子是由局域擾動引起的具有周期演化特性的非線性波，對應(yīng)于擾動頻率Ω=0 的調(diào)制不穩(wěn)定增益分布共振線上。2018年，ZHAO Lichen 等對Kuznetsov-Ma 呼吸子的產(chǎn)生機制進行了系統(tǒng)地討論［35］，表明由弱擾動激發(fā)的Kuznetsov-Ma 呼吸子由調(diào)制不穩(wěn)定性起主導(dǎo)作用；在受強擾動激發(fā)時，亮孤子與平面波背景間的干涉效應(yīng)對Kuznetsov-Ma 呼吸子機制起主導(dǎo)作用。事實上，Kuznetsov-Ma 呼吸子由于與恒定背景發(fā)生相干相互作用而產(chǎn)生周期性振蕩。當(dāng)背景振幅減小時振蕩周期增加，當(dāng)背景振幅等于零時，Kuznetsov-Ma 呼吸子則轉(zhuǎn)化為普通亮孤子。

Akhmediev 呼吸子的激發(fā)可以通過平面波背景上的弱周期擾動經(jīng)歷非線性演化得到，其分布周期等于初始擾動信號的周期，該結(jié)果已在光纖實驗中得到證實［5］。特別的是，不同擾動頻率對應(yīng)不同調(diào)制不穩(wěn)定性增長率，由此激發(fā)出不同的Akhmediev 呼吸子［5，48］。另外，最近的理論和實驗研究表明，由周期弱擾動激發(fā)的Akhmediev 呼吸子能夠用來描述非線性系統(tǒng)中復(fù)雜的高階調(diào)制不穩(wěn)定特性［18］。特別地，LIU Chong 等在具有對稱性破缺特性（由自陡峭效應(yīng)引起）的NLS 系統(tǒng)中利用Akhmediev 呼吸子精確的頻譜演化過程揭示了非對稱的Fermi-pasta-Ulam 循環(huán)［20］，為進一步實驗探究提供了理論支撐。

進一步地，研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)Akhmediev 呼吸子的調(diào)制頻率趨于零、周期趨于無窮大時，其結(jié)構(gòu)會趨于雙重局域的Peregrine 怪波。事實上，在單模光纖中光怪波的實驗激發(fā)主要是利用平面波加一個調(diào)制頻率極小的單峰小振幅擾動光場作為初態(tài)輸入光纖中，傳輸一定距離后得到時域和頻域上的Peregrine 怪波［2］。另外，ZHAO Lichen 等和BARONIO F 等研究證明了在標(biāo)量和矢量NLS 系統(tǒng)下，怪波現(xiàn)象的出現(xiàn)源于非線性系統(tǒng)中廣泛存在的調(diào)制不穩(wěn)定性，并且怪波的激發(fā)位于調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)域擾動頻率Ω趨于零的位置［47，49-51］。由此，GAO Peng 等［52］實現(xiàn)了高階怪波的數(shù)值激發(fā)，表明脈沖的最大功率可達(dá)到初始連續(xù)波功率的63.8 倍，為高強度脈沖的獲取提供了理論指導(dǎo)。

另一方面，為了進一步理解調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)呼吸子的激發(fā)特征，引入有效能量ε，其表達(dá)式為

該有效能量反映的是平面波背景加入擾動后的能量相比于未加擾動時平面波背景多出的能量部分。當(dāng)ε=0表明擾動并不帶來額外能量，此時擾動演化過程中的能量完全由平面波背景轉(zhuǎn)化而來，通常在保守系統(tǒng)下怪波的能量為零；當(dāng)有效能量ε＞0 說明加上擾動后有額外能量輸入；ε＜0 意味著擾動從背景提取了部分能量，如平面波背景上的暗孤子。

結(jié)合基本呼吸子的解析表達(dá)式及相應(yīng)的調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)激發(fā)相圖，表明呼吸子和怪波在擾動頻率不同的特定條件下可以相互轉(zhuǎn)換。圖7 展示了隨著擾動頻率和擾動能量的變化，不同的呼吸子和怪波之間的轉(zhuǎn)換。這些轉(zhuǎn)換關(guān)系清晰地展示了不同基本呼吸子之間的區(qū)別與聯(lián)系。特別地，這種轉(zhuǎn)換關(guān)系具有普適性，不依賴于具體物理系統(tǒng)［46］。

3 呼吸子相互作用

近年來，除了對平面波背景上基本（一階）呼吸子相關(guān)特性及應(yīng)用的研究之外，它們之間的非線性相互作用也引起了人們的廣泛關(guān)注。光學(xué)系統(tǒng)中呼吸子的實驗研究最近也已經(jīng)從基本呼吸子轉(zhuǎn)向了多個呼吸子的碰撞。因其具有許多意想不到的新性質(zhì)與新結(jié)構(gòu)，極大地拓寬了呼吸子在非線性物理中的應(yīng)用。一方面，對于具有相同速度和相位的多呼吸子同向傳播時，可以形成束縛態(tài)呼吸子分子［53］。另一方面，對于速度不相同且反向傳播的多呼吸子而言，初始相對相位對于呼吸子在碰撞過程形成不同非線性局域結(jié)構(gòu)起到至關(guān)重要的作用，包括形成高振幅結(jié)構(gòu)、準(zhǔn)湮滅結(jié)構(gòu)和幽靈結(jié)構(gòu)［22，54-55］。具體來說，固定兩列波碰撞的中心點位于原點（t=0，z=0），通過不斷改變呼吸子的初始相對相位Δθ=θ1-θ2，θ1，2∈[0，2π]來判斷其對生成的相互作用波形和振幅在原點處的影響。實質(zhì)上，呼吸子碰撞的動力學(xué)是高階調(diào)制不穩(wěn)定性的表現(xiàn)［18］，也就是說，在調(diào)制不穩(wěn)定頻寬范圍內(nèi)多重不穩(wěn)定模的同時激發(fā)導(dǎo)致了局域波的非線性疊加。這些相互作用普遍存在于各個非線性系統(tǒng)，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)在非線性光纖及水波等實驗平臺被廣泛證實［22，53-55］。本節(jié)簡述兩列呼吸子在相位滿足特定條件、速度不相同的情況下發(fā)生碰撞，從而形成三種不同局域結(jié)構(gòu)的動力學(xué)過程。

3.1 高振幅相互作用

2009年，AKHMEDIEV N 等［56］率先精確推導(dǎo)出一系列局域波的非線性疊加態(tài)，發(fā)現(xiàn)兩列Akhmediev 呼吸子在碰撞的中心位置處可以形成一個振幅更大的波峰，并且該波峰的解析表達(dá)式是一類與高階怪波相似的更高次有理分式，如圖8（a）中精確的二階呼吸子時空結(jié)構(gòu)所示。研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩列Akhmediev 呼吸子具有相反的速度和相同的相位時，總是在時空平面發(fā)生碰撞并產(chǎn)生高振幅波的結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出與二階怪波精確解較好的一致性。因此這種碰撞被認(rèn)為是產(chǎn)生二階怪波的理論方法。隨后2013年，F(xiàn)RISQUET B等［22］報道了利用光譜整形的光頻梳同時激發(fā)形成兩個Akhmediev 呼吸子，并使其在傳播過程中發(fā)生碰撞，從而證實了形成高振幅怪波的結(jié)論。具體來說，通過控制呼吸子之間的相位差和速度差，找到其特定的初始條件，從而確定地導(dǎo)致它們的有效碰撞并形成高振幅波的過程。如圖8（b）所示，實驗選取的兩列Akhmediev呼吸子在相對相位滿足Δθ=0 時，碰撞點處形成一個具有極高振幅峰值的局域結(jié)構(gòu)，實驗結(jié)果與數(shù)值模擬和解析結(jié)果相比均具有較好的一致性。研究結(jié)果表明，多個呼吸子的高振幅相互作用過程是非常有趣的，因為它們提供了在空間和時間中更高能量集中的可能性，并且表現(xiàn)出巨大振幅波的產(chǎn)生。

3.2 準(zhǔn)湮滅相互作用

與上述碰撞中心形成高振幅波的動力學(xué)過程相似，這里描述了另一類特殊的呼吸子相互作用結(jié)構(gòu)。這種呼吸子的相互作用往往在其發(fā)生碰撞的中心位置處形成小振幅的局域結(jié)構(gòu)，如圖9（a）。這種呼吸子被稱為“Super-regular 呼吸子”，是由ZAKHAROV V E 和GELASH A A 提出并用來描述從平面波的局域單擾動演化而來的調(diào)制不穩(wěn)定特性［23］。這種Super-regular呼吸子是由兩列“準(zhǔn)Akhmediev 呼吸子”相互作用形成，并且兩列呼吸子滿足的初始相位關(guān)系為θ1+θ2=π，使得在碰撞中心形成準(zhǔn)湮滅（不完全湮滅，即表現(xiàn)出小擾動形式）的局域結(jié)構(gòu)。如圖9 所示，兩列呼吸子幾乎由于碰撞而湮滅（準(zhǔn)湮滅）至一個小的局域擾動。反之該過程也是一個重要情景，即初始小振幅局域擾動從z=0 處（圖9（b）中紅色虛線）發(fā)展成兩個反向傳播（圖9（b）中藍(lán)色實線）的呼吸子動力學(xué)過程。研究結(jié)果表明Super-regular呼吸子描述的準(zhǔn)湮滅物理性質(zhì)是其他經(jīng)典局域波所不具備的。這類準(zhǔn)湮滅相互作用揭示了一類新穎的小振幅擾動調(diào)制不穩(wěn)定性的非線性階段。

2013年Super-regular 呼吸子理論的提出激發(fā)了科學(xué)界對于調(diào)制不穩(wěn)定性非線性階段性質(zhì)研究的極大興趣［23］。2015年，在光纖和水箱中觀察到了這類描述調(diào)制不穩(wěn)定性產(chǎn)生和湮滅動力學(xué)過程的Super-regular呼吸子結(jié)構(gòu)［54］。近年來，對于由標(biāo)準(zhǔn)NLS 方程描述的一類保守系統(tǒng)中Super-regular 呼吸子動力學(xué)的研究十分廣泛［23，57］。同時，對于考慮光纖中耗散效應(yīng)存在的Super-regular 呼吸子特性也得到相應(yīng)的研究，為精確研究可積湍流和非線性調(diào)制不穩(wěn)定性提供了依據(jù)［58］。另一方面，在超越標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤模型描述的實際復(fù)雜物理系統(tǒng)中，對Super-regular 呼吸子的探究也取得了相應(yīng)的研究進展［31-32，59］，包括考慮高階效應(yīng)存在的標(biāo)量系統(tǒng)和矢量耦合系統(tǒng)中Super-regular 呼吸子特性的研究。

3.3 幽靈相互作用

與上述兩種碰撞中心形成局域結(jié)構(gòu)不同，在碰撞點處既不發(fā)生放大，也不發(fā)生湮滅。2020年XU Gang等人［55］在單模光纖中報道了這種新型呼吸子相互作用，即兩列相同的呼吸子以相反的速度進行傳播的動力學(xué)過程。具體來說，當(dāng)兩列呼吸子滿足初始相位條件θ1=θ2=π 時，在碰撞點處沒有形成如上所述的兩種局域波結(jié)構(gòu)，而是表現(xiàn)出由碰撞產(chǎn)生的包絡(luò)振幅幾乎等于單個基本呼吸子的包絡(luò)最大值，被稱為呼吸子的幽靈相互作用（ghost interaction），如圖10（a）呼吸子的解析結(jié)果和圖10（b）的實驗結(jié)果。

這表明具有特定相位條件的兩列呼吸子在碰撞點附近發(fā)生非線性相互作用時，其中一個呼吸子幾乎隱藏在背景中，然后在碰撞后根據(jù)能量守恒定律再次出現(xiàn)。在整個演化過程中，呼吸子的相互作用過程保持了空間和時間的對稱性。值得一提的是，由于缺乏脈沖與平面波背景的能量交換，這種新奇的“幽靈”相互作用在傳統(tǒng)的孤子與孤子碰撞場景中不會發(fā)生。

4 總結(jié)與展望

本文簡述了非線性光學(xué)系統(tǒng)中的呼吸子相關(guān)研究進展。詳細(xì)列舉了Kuznetsov-Ma 呼吸子、Akhmediev呼吸子和Peregrine 怪波在時域和頻域空間中的動力學(xué)特性及解析表達(dá)式，討論了呼吸子的歷史發(fā)展與實際物理意義。利用非線性系統(tǒng)中普遍存在的調(diào)制不穩(wěn)定特性討論了基本呼吸子的激發(fā)機制與產(chǎn)生條件，表明調(diào)制頻率為零的局域擾動和調(diào)制頻率不為零的周期擾動可以分別激發(fā)出Kuznetsov-Ma 呼吸子和Akhmediev呼吸子。通過分析有效能量和調(diào)制不穩(wěn)定性，討論了不同呼吸子之間的定量轉(zhuǎn)換關(guān)系。此外，呼吸子之間的相互作用過程及動力學(xué)特性也在光學(xué)系統(tǒng)中被報道，包括高振幅相互作用、準(zhǔn)湮滅相互作用和幽靈相互作用。了解基本呼吸子及其相互作用的實際物理意義，有望對非線性系統(tǒng)中怪波事件的產(chǎn)生、可積湍流、調(diào)制不穩(wěn)定性，F(xiàn)ermi-pasta-Ulam 循環(huán)等現(xiàn)象的研究發(fā)揮重要作用。

事實上，不同的呼吸子在很多領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價值，如超連續(xù)譜的產(chǎn)生、光頻梳的產(chǎn)生、高功率脈沖制備等。本文簡要列舉了呼吸子及其相互作用在理論和實驗方面的部分研究現(xiàn)狀，后續(xù)的研究應(yīng)針對不同非線性系統(tǒng)討論基本呼吸子的動力學(xué)特性及實際物理意義。例如，在對稱性破缺（由自陡峭效應(yīng)引起）的非線性薛定諤系統(tǒng)中，Akhmediev 呼吸子精確的頻譜表達(dá)式能夠嚴(yán)格描述該系統(tǒng)的非對稱Fermi-pasta-Ulam 循環(huán)過程。另一方面，現(xiàn)有的理論和實驗研究結(jié)果表明，在非線性光學(xué)等快速發(fā)展的物理領(lǐng)域中，對于呼吸子的理論和實驗研究仍有很大的空間。目前已知的非線性光學(xué)系統(tǒng)中對呼吸子的研究主要在標(biāo)量系統(tǒng)中進行，而對于考慮多模光纖中的呼吸子及其相互作用的實驗探究及應(yīng)用還有待進一步討論。此外，現(xiàn)有的呼吸子動力學(xué)演化大部分集中于1+1 維物理系統(tǒng)，推廣至高維的非線性系統(tǒng)并對其呼吸子動力學(xué)研究具有重要有意義。進一步的實驗與理論分析有助于加深對于非線性物理系統(tǒng)中呼吸子特性的理解，從而有助于對其可控激發(fā)并探索實際的物理意義和應(yīng)用價值。