中考二次函數(shù)模型試題的源與流

石樹(shù)偉 (江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)教師發(fā)展中心 225006)

無(wú)論是知識(shí)的綜合性還是思維的層次性，二次函數(shù)都當(dāng)之無(wú)愧地占據(jù)著初中數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的“制高點(diǎn)”，是肩負(fù)區(qū)分功能的中考?jí)狠S題的命題熱點(diǎn)．當(dāng)前，二次函數(shù)試題多為“拋物線外衣+幾何內(nèi)核”的命題方式，即以拋物線為背景，將二次函數(shù)與三角形、四邊形、圓等知識(shí)結(jié)合起來(lái)考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，這樣的考查方式“人為拼湊”痕跡嚴(yán)重，掐頭去尾燒中段，對(duì)二次函數(shù)的來(lái)源和應(yīng)用關(guān)注不夠，偏離二次函數(shù)內(nèi)容的課標(biāo)要求，對(duì)數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的考查缺失．因此，二次函數(shù)模型試題應(yīng)運(yùn)而生，越來(lái)越成為考查熱點(diǎn)．

1 認(rèn)識(shí)二次函數(shù)模型試題

1.1 從一道試題說(shuō)起

例1(2013江蘇揚(yáng)州)如圖1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且和B,C不重合，連結(jié)PA，過(guò)P作PE⊥PA交CD所在直線于E．

圖1

(1)在圖1中找出一對(duì)相似三角形，并說(shuō)明理由；(2)若點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E總在線段CD上，求m的取值范圍．

1.2 二次函數(shù)模型試題及其考查思路

例1在題目中根本沒(méi)有出現(xiàn)任何“函數(shù)”或“二次函數(shù)”之類的字眼，但最終卻是用二次函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題．因?yàn)樾枰獙W(xué)生自己構(gòu)造二次函數(shù)，我們把這類試題稱為二次函數(shù)模型試題．二次函數(shù)模型試題與一般的二次函數(shù)試題不同，它關(guān)注了二次函數(shù)的來(lái)源與應(yīng)用，有利于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和應(yīng)用意識(shí)．

二次函數(shù)模型試題考查的基本思路如圖2所示，一般要設(shè)計(jì)一個(gè)現(xiàn)實(shí)情境(生活現(xiàn)實(shí)或數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí))，因?yàn)橹挥性诂F(xiàn)實(shí)情境中才能考查一個(gè)學(xué)生“用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”[1]的能力；一般避免通過(guò)小題鋪墊來(lái)指令學(xué)生先構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)解決問(wèn)題，而是需要學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)情境中存在函數(shù)依賴關(guān)系，從而自主構(gòu)造函數(shù)，自覺(jué)應(yīng)用函數(shù)解決問(wèn)題．這里強(qiáng)調(diào)自主自覺(jué)，是因?yàn)楫?dāng)學(xué)生未來(lái)遇到真正的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，不會(huì)再有人告訴他“這個(gè)問(wèn)題里面有函數(shù)關(guān)系”，或有人替他分解成幾個(gè)小問(wèn)題，指令他構(gòu)造函數(shù)．強(qiáng)調(diào)自主自覺(jué)才能真正考查學(xué)生的函數(shù)建模意識(shí)和能力[2]．

圖2

2 二次函數(shù)模型的源

二次函數(shù)模型試題需要學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)函數(shù)關(guān)系、自主建構(gòu)二次函數(shù)，因此，要想順利解答二次函數(shù)模型試題，首先需了解二次函數(shù)模型的一般來(lái)路．

2.1 如何想到構(gòu)造二次函數(shù)？

二次函數(shù)要靠我們自己發(fā)現(xiàn)、自主構(gòu)造，那怎么想到要去構(gòu)造函數(shù)呢？二次函數(shù)模型試題，雖然題目中不會(huì)直接指令或提示構(gòu)造函數(shù)，但也不是完全無(wú)跡可尋，一般從以下兩個(gè)層面啟示我們要構(gòu)造函數(shù)．

2.1.1顯性層面

顯性層面，如果試題已知情境問(wèn)題的最值或研究其最值，可以啟示我們想到函數(shù)，從而主動(dòng)構(gòu)造函數(shù)去解決問(wèn)題．如下面的例2求最大面積，啟示學(xué)生構(gòu)造二次函數(shù)解決問(wèn)題．

圖3

例2如圖3，要用總長(zhǎng)為16 m的籬笆，一面靠墻(墻的可利用長(zhǎng)度為6 m),圍成一個(gè)長(zhǎng)方形的生物園飼養(yǎng)小兔，求小兔活動(dòng)范圍的最大面積．

分析 本題求最大面積，容易聯(lián)想到構(gòu)造二次函數(shù)解決問(wèn)題．設(shè)生物園面積為S，寬AB=x，則長(zhǎng)BC=16-2x，利用長(zhǎng)方形面積公式可得S=x(16-2x)=-2(x-4)2+32．又因?yàn)?

顯性層面，如果試題已知情境問(wèn)題的增減性或研究其增減性，也可以啟示我們想到函數(shù)，從而主動(dòng)構(gòu)造函數(shù)去解決問(wèn)題．如下面的例3，“30天內(nèi)利潤(rùn)隨天數(shù)t的增大而增大”，這是已知“利潤(rùn)-天數(shù)”函數(shù)的增減性情況，啟示學(xué)生構(gòu)造函數(shù)解決問(wèn)題．

例3(2016江蘇揚(yáng)州)某電商銷售一款夏季時(shí)裝，進(jìn)價(jià)40元/件，售價(jià)110元/件，每天銷售20件，每銷售一件需繳納電商平臺(tái)推廣費(fèi)用a元(a>0)．未來(lái)30天，這款時(shí)裝將開(kāi)展“每天降價(jià)1元”的夏令促銷活動(dòng)，即從第1天起每天的單價(jià)均比前一天降1元．通過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該時(shí)裝單價(jià)每降1元，每天銷量增加4件．在這30天內(nèi)，要使每天繳納電商平臺(tái)推廣費(fèi)用后的利潤(rùn)隨天數(shù)t(t為正整數(shù))的增大而增大，a的取值范圍應(yīng)為．

2.1.2隱性層面

有的試題雖然沒(méi)有出現(xiàn)任何提及“函數(shù)”的字眼，也沒(méi)有最值、增減性等方面的顯性提示，但通過(guò)對(duì)問(wèn)題情境的分析，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含著函數(shù)的三個(gè)要素：一是在一個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，二是有兩個(gè)變量，三是一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化而變化.由此可以啟示我們想到函數(shù)，從而主動(dòng)構(gòu)造函數(shù)去解決問(wèn)題．如例1是一個(gè)點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C的變化過(guò)程，其中BP,CE是變量，且CE隨著B(niǎo)P的變化而變化，這就說(shuō)明CE與BP之間存在著函數(shù)關(guān)系．這樣的函數(shù)考查有利于學(xué)生充分感悟函數(shù)概念的本質(zhì)，可以讓學(xué)生體會(huì)到函數(shù)來(lái)源于運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中變量之間的依賴關(guān)系，感悟到函數(shù)是研究運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程的有效模型．再如下面的例4．

圖4

(1)當(dāng)n=1時(shí)，①求線段AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式；②你完全同意小明的說(shuō)法嗎？若完全同意，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不完全同意，也請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出正確的k的最小值和最大值．

(2)若小明的說(shuō)法完全正確，求n的取值范圍．

2.2 如何構(gòu)造二次函數(shù)？

想到函數(shù)了，如何構(gòu)造函數(shù)呢？二次函數(shù)的構(gòu)造，關(guān)鍵在于“二次”如何得到，一般有以下三個(gè)途徑．

2.2.1乘法模型——一次乘一次得二次

乘法模型“一次乘一次得二次”常見(jiàn)的問(wèn)題情境有：①面積問(wèn)題，矩形面積=長(zhǎng)×寬，三角形面積=底×高÷2，如果長(zhǎng)、寬或底、高都能用含有自變量的一次式表示，則容易得到關(guān)于自變量的二次式，如 例2；②銷售問(wèn)題，總價(jià)=單價(jià)×銷量，總利潤(rùn)= 單件利潤(rùn)×銷量，若單價(jià)、銷量或單件利潤(rùn)、銷量都能用含有自變量的一次式表示，則容易得到關(guān)于自變量的二次式，如例3；③相似問(wèn)題，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，若比例外項(xiàng)或比例內(nèi)項(xiàng)都能用含自變量的一次式表示，則容易得到關(guān)于自變量的二次式，如例1；④其他蘊(yùn)含乘法數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，如例4中反比例函數(shù)的系數(shù)k=動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)×縱坐標(biāo)．

2.2.2幾何模型——運(yùn)用勾股定理得二次

幾何模型“運(yùn)用勾股定理得二次”常見(jiàn)的問(wèn)題情境有以下兩種：

①一個(gè)直角三角形，先用含有自變量的一次式表示各邊，然后運(yùn)用勾股定理得到一個(gè)等式，最后展開(kāi)變形得二次函數(shù)，如下面的例5．

圖5

(1)若四邊形PMCN的面積為3.5，求四邊形PMCN的周長(zhǎng)；

(2)求四邊形PMCN面積的最小值，并說(shuō)明此時(shí)點(diǎn)P的位置．

②兩個(gè)共邊直角三角形，先用含有自變量的一次式表示其余各邊，然后在兩個(gè)直角三角形內(nèi)分別運(yùn)用勾股定理表示出共邊的平方(算兩次)，得到一個(gè)等式，最后展開(kāi)變形得二次函數(shù)，如下面的例6．

圖6

例6(2020江蘇揚(yáng)州)如圖6，已知點(diǎn)O在四邊形ABCD的邊AB上，且OA=OB=OC=OD=2，OC平分∠BOD，與BD交于點(diǎn)G，AC分別與BD,OD交于點(diǎn)E,F．

分析 第(1)題易由基本圖形“等腰三角形(△OAD)+頂角外角平分線(OC平分∠BOD)”得到OC∥AD，也易由三角形中位線定理(OG是△BAD的中位線)得到OC∥AD．

圖7

2.2.3組合模型——多個(gè)已知函數(shù)組合得二次函數(shù)

(1)當(dāng)科研所到宿舍樓的距離x=9 km時(shí)，防輻射費(fèi)y=萬(wàn)元；a=，b=； (2)若每公里修路的費(fèi)用為90萬(wàn)元，求當(dāng)科研所到宿舍樓的距離為多少千米時(shí)，配套工程費(fèi)最少？(3)略．

3 二次函數(shù)模型的流

構(gòu)造出二次函數(shù)關(guān)系式不是最終目的，最終目的是為了應(yīng)用二次函數(shù)去解決問(wèn)題．因此，要想完整解答二次函數(shù)模型試題，還需要把握二次函數(shù)模型的一般去路．

3.1 構(gòu)造的二次函數(shù)一般用來(lái)干什么？

二次函數(shù)模型試題構(gòu)造出二次函數(shù)后，一般應(yīng)用所構(gòu)造的二次函數(shù)研究以下三類問(wèn)題．需要注意的是，研究每一類問(wèn)題都需結(jié)合大致圖象，即數(shù)形結(jié)合．

3.1.1研究最值問(wèn)題

最值問(wèn)題有三種情況：

①頂點(diǎn)最值，即圖象頂點(diǎn)在自變量取值范圍內(nèi)，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)即為函數(shù)最值，如例4第(1)題、例5、例6、例7；

②區(qū)間最值，即圖象頂點(diǎn)不在自變量取值范圍內(nèi)，需結(jié)合圖象確定最值，如例2；

③離散最值，即函數(shù)圖象不是連續(xù)拋物線，而是一系列的散點(diǎn)，需結(jié)合圖象根據(jù)散點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離遠(yuǎn)近確定最值．

3.1.2研究增減性問(wèn)題

增減性問(wèn)題有兩種情況：

①連續(xù)拋物線，所有點(diǎn)要保持統(tǒng)一的變化趨勢(shì)，一般無(wú)需考慮跨對(duì)稱軸的情況，如例4第(2)題；

②離散拋物線，所有點(diǎn)要保持統(tǒng)一的變化趨勢(shì)，最后一點(diǎn)或第一點(diǎn)可以跨對(duì)稱軸，與其余各點(diǎn)分置于對(duì)稱軸的兩側(cè)，但跨對(duì)稱軸的那一點(diǎn)必須最接近對(duì)稱軸，如例3．

3.1.3研究參數(shù)范圍問(wèn)題

這一類問(wèn)題與前面兩類問(wèn)題有交叉．含參數(shù)的二次函數(shù)解析式，既含自變量又含參數(shù)，因此不能利用它去列不等式求參數(shù)范圍．一般需表示出它的最值或?qū)ΨQ軸，這樣就剝離了自變量，僅保留參數(shù)，然后再根據(jù)已知條件，利用最值或?qū)ΨQ軸的范圍列不等式求出參數(shù)范圍，如例1、例4第(2)題．

3.2 構(gòu)造的二次函數(shù)一般有哪些變形？

3.2.1整體的眼光

3.2.2轉(zhuǎn)化的思想