立足學生認知發(fā)展 提升學生數(shù)學素養(yǎng)
——以“探索確定位置的方法”教學設計為例

林琪瑜 (浙江省溫州市南浦實驗中學 325000)

2021年9月，在浙江溫州市南浦實驗中學校級公開課上，筆者執(zhí)教了“探索確定位置的方法”(浙教版數(shù)學八年級上冊第四章第1節(jié))，以知識內(nèi)容為載體，設計貼近實際的生活情境，為學生在探索中自主發(fā)現(xiàn)并構(gòu)建數(shù)學知識提供渠道，同時將數(shù)學抽象這一核心素養(yǎng)的發(fā)展寓于情境活動與學生的體驗歸納中．學生在經(jīng)歷中展開數(shù)學感知與思維，在潛移默化中提升數(shù)學核心素養(yǎng)，取得了良好的數(shù)學教學效果．

1 解讀教材，分析學情，確定教學目標

本節(jié)課的教學內(nèi)容是在小學介紹了確定物體位置的兩種常用方法的基礎上進行的，但學生對于方法的認識并不深入，未達到對生活實際進行抽象的水平．在八年級的數(shù)學教材編排中，探索確定位置的方法重在“探索”“確定位置”，且探究體驗與升華建構(gòu)的過程還有助于學生體會坐標思想、數(shù)形結(jié)合思想等，從知識內(nèi)容層面、或從數(shù)學思想層面而言，它又是后續(xù)平面直角坐標系、函數(shù)等內(nèi)容的重要準備與學習經(jīng)驗．從整個學習進程而言，學生的新知識在舊知識上生長，內(nèi)容螺旋式上升，達到不斷強化認知結(jié)構(gòu)的目的，這是符合學習的認知規(guī)律的．從學情方面分析，在小學四、六年級，學生已學習了確定位置的方法，但是對數(shù)的認識較為局限，而八年級的學生已將數(shù)域拓寬到實數(shù)范圍，所以如何在“似曾相識”的內(nèi)容上激發(fā)學習興趣、讓學生認識到數(shù)學學習的必要性是該節(jié)課要解決的問題．在七年級，學生經(jīng)歷了數(shù)軸的學習后能準確地在一維上確定位置，但是如何在二維中透徹了解確定位置方法的本質(zhì)，提升對有序數(shù)對的認識是本節(jié)課需要突破的．

因此確定這節(jié)課的教學目標：探索確定平面上物體位置的方法，能用有序?qū)崝?shù)對和方向、距離表示平面上點的位置；體驗有序?qū)崝?shù)對和方向、距離表示法中的數(shù)形結(jié)合思想、感受數(shù)對表示形式的坐標思想；體會數(shù)學來源并應用于生活，提升數(shù)學抽象素養(yǎng)，發(fā)展應用意識．教學重點：探索確定位置的兩種常用方法．教學難點：有序數(shù)對從實際到抽象平面的轉(zhuǎn)化．

2 主要教學過程

2.1 游戲?qū)?，激發(fā)興趣

師：我們一起來玩一個“你說我猜”游戲吧！我需要兩個小助手．

規(guī)則要求：(1)乙面向同學；(2)甲向乙描述某點的位置，大家安靜傾聽、觀察；(3)乙轉(zhuǎn)身確定該點的位置．

教師用幻燈片展示：點O，點A，請描述點A的位置．

生1：點A在點O右邊20 cm處．

生2：確定并指出A點位置．

教師用幻燈片展示：點O，點B，請描述點B的位置．

生1：點B在點O東北方向15 cm處．

生2：確定并指出B點位置．

師(過渡)：我們發(fā)現(xiàn)剛才對點A,B的兩種描述都涉及2個量(方向、距離)，那么我們今天就一起來探索確定位置的方法．

設計意圖設計游戲?qū)?，能夠較快地調(diào)動學生的注意力．對于“傳話”表達位置這一問題，學生會盡可能地去表達，教師則有意識地把學生的生成留在黑板上，也為后續(xù)內(nèi)容的學習提供了一條線索與思路．同時，為方位描述意識稍有模糊的學生回憶舊知，為精確、到位的敘述作鋪墊．

2.2 方向距離，玩中獲知

(1)游戲歸納

師：我們?nèi)绾我?guī)范地描述B相對于O的位置呢？

生3：點B在點O東北方向15 cm處．

師：剛才他的回答是以什么為參照點的？確定參照點后要做什么？

生4：此時是以點O為參照點，需要建立東西南北的方向，然后，測得方向與距離．

師：所以我們就可以這樣描述一個點的位置——如“B在O的北偏東…° … cm處”(板書)．假如確定了參照點，平面上任一點的位置都可以描述嗎？這種描述下對應的位置是唯一的嗎？

師生共同得出：一一對應．用方向、距離可以確定平面上一點的位置．

圖1

設計意圖在游戲的導入作用仍延續(xù)的教學環(huán)節(jié)中，讓游戲的作用性放大，而非單純引入課題．方向距離法是學生已經(jīng)接觸過的內(nèi)容，而游戲的回瞻、教師的問題引導能更快地幫助學生自主得到方向距離法的概念．

(2)地點應用

師：請大家完成學習單方法應用一(圖1)．

1)怎樣表述其他地點相對南浦實驗的位置?

生5：交警支隊在南浦實驗的北偏東45° 900 m處．

生6：南浦小學在南浦實驗的南偏東20° 800 m處．

生7：二十一中在南浦實驗中學的南偏西57° 1 400 m處．

2)第一問的參照點在哪里？選用的是哪種描述方式？南浦實驗中學相對于二十一中的位置怎么表述？

生8：南浦實驗．方向距離法．南浦實驗中學在二十一中的北偏東57° 1 400 m處．

設計意圖對知識掌握度的檢驗是將其應用出來，本環(huán)節(jié)問題的設計以當?shù)貙W校周圍的建筑為素材，創(chuàng)造應用情境，將課堂還給學生的同時也讓學生貼近實際生活，情境條件由學生創(chuàng)設．學生通過對問題的解決一方面鞏固了知識要點，另一方面能提高對生活中的數(shù)學觀察感知力，累積經(jīng)驗．

(3)環(huán)節(jié)小結(jié)

師：剛才我們在用方向距離法確定一點的位置時，你覺得使用方向距離法確定位置的步驟有哪些？關(guān)鍵點什么？

師生共同完善：參照點—方位圖—連線—量方向、距離．板書小結(jié)：1找—2畫—3測—4寫．

2.3 有序數(shù)對，體驗建構(gòu)

(1)座位探索

師：剛才我們學了方向距離法，其實呀，生活中還有其他確定位置的方法.現(xiàn)在將目光轉(zhuǎn)移到我們教室，比如，你通常習慣如何描述自己在教室中的位置呢？

師:請生9(該生位置為第四排第三列)來說說看，你會習慣怎么描述自己的位置呢？

生9：第三列第四排．

師：(板書學生的敘述并追問)這樣寫比較麻煩，有更簡潔的表示方式嗎？

生10：(上臺書寫)43．

師(追問)：是表示位置嗎？這兩個數(shù)是整體嗎？數(shù)與數(shù)之間需要隔開嗎？

師生共同得到(4,3)．

師：所以我們就可以嘗試用數(shù)對來表示一個位置．C同學除了是第3列第4排，可以說是第4排第3列嗎？(邊說邊板書)“C：第3列第4排”，那這樣也有更簡潔的表示方式嗎？

生11：(3,4)．

師(追問)：這樣會出現(xiàn)什么問題呢？

生11：可以簡單化，但不對了，會出現(xiàn)一個數(shù)對對應兩個點的位置的情況．

師：是的，此時一個位置會對應不同的數(shù)對，正因為這種表示是一種數(shù)學語言，所以我們可以先“規(guī)定”，如先列后行“(列，行)”，我們把這樣的數(shù)對叫做“有序數(shù)對”．

師：那請問按照我們的規(guī)定，真正的(4,3)同學的位置在哪里呢？請你起立．(生(4,3)起立)

設計意圖從生活中常見的找座位入手，以自身的位置描述展開，學生的課堂參與度能大幅提高．教師在學生的回答生成中推進后續(xù)的問題，期望學生能自主發(fā)現(xiàn)問題沖突，鍛煉學生的思考全面性．同時，設計由學生自主給出簡潔的表示方式，也是為了訓練學生從具體情境中抽象出“橫縱軸”(列、排)觀念的能力，從而實現(xiàn)文字語言到數(shù)學抽象語言的轉(zhuǎn)化．

(2)座位應用

圖2

師：現(xiàn)在大家能在圖2上找到自己的位置嗎？

按照我們之前規(guī)定的起始列、起始排，參照點在哪？這位參照同學是什么數(shù)對？

生12指出該同學(1,1)．

任務1：現(xiàn)在按剛才大家的規(guī)定，請寫出表示自己位置的有序數(shù)對，并左右同桌交流．

(教師巡視學生的情況，及時給予反饋指導)

教師請一斜列學生回答自己的有序數(shù)對，為后面不同的參照點活動做準備．

任務2：現(xiàn)在如果以C同學為參照點(1,1)，大家能再寫出表示自己位置的有序數(shù)對嗎？請大家寫在學習單空白處，并交流．(教師巡視了解學生的情況，及時給予反饋指導)

教師再請同一斜列學生回答自己的有序數(shù)對.

師：為什么這些同學現(xiàn)在的有序數(shù)對和剛才不一樣了呢？

生13：因為參照點變了．對于不同的參照點，位置的表示數(shù)對不同．

設計意圖練習能夠加深知識的理解，明確有序數(shù)對方法的使用規(guī)則與要求．而任務1、2的設置延續(xù)了探索新知中的情境，在同樣的環(huán)境下完成對知識的全面認知，能更大限度地利用好“就地取材”的背景．從“位置”到“數(shù)對”的互相轉(zhuǎn)化，學生體會到數(shù)學的一一對應思想；從參照點的改變到位置表示方法的改變，又進一步讓學生感受到參照的必要性、結(jié)果的相對性，形成辯證觀．

(3)環(huán)節(jié)小結(jié)

師：通過剛才的活動，你覺得使用有序數(shù)對法確定位置的步驟有哪些？關(guān)鍵點什么？

生共同完善：參照點—數(shù)對次序—計數(shù)．板書小結(jié)：1找—2定—3寫．

2.4 校本應用，綜合提升

師：過幾天將迎來我們的“新生游園活動”，學習單上是我們校內(nèi)建筑的分布，你能為新生介紹學校內(nèi)部各地的分布嗎？嘗試回答下列問題．若規(guī)定列在前、行在后．

圖3

(1)在圖3上用有序數(shù)對表示學校各建筑物位置；(2)輔助樓相對于浦西樓或教學樓的位置可以怎么描述？(3)利用今天學習的知識，請你在圖3上自主選擇不同的方法對“新生游園活動”中各建筑物的位置進行標識．

先由學生獨立完成問題，教師巡視，再請學生上臺投影展示，教師點評，再次鞏固本節(jié)課的知識及其包含的各個要素．

設計意圖針對學情、校情設計校本練習，旨在讓學生訓練有序數(shù)對法與方向距離法的同時，也幫助他們對學校有更多的了解，對實際方位有更準確的認知，而非局限于書本的虛設情境或離學生較遠的情境．在積累了確定位置方法的經(jīng)驗后，學生在第3問中能自主選擇方法對建筑的位置進行數(shù)學化抽象，將位置進行符號化表征．對于有序數(shù)對法中參照點的不確定，也為下節(jié)課平面直角坐標系的學習作了鋪墊．

2.5 回顧思考，反饋同化

引導式提問小結(jié)：(1)確定平面上點的位置有哪幾種常用的方法？(2)在平面上確定物體(點)的位置的步驟有哪些？(3)為什么給出2個數(shù)就恰好可以確定一個點呢？你能對確定點的這一過程加以解釋嗎？(4)當參照點、描述方式、數(shù)對次序都確定好后，平面上的點與有序數(shù)對是否一一對應？(5)你覺得用有序數(shù)對表示物體(點)的位置有何意義呢？

學生自主回答，教師補充完善．

師：點不能運算，而數(shù)可以，若能使數(shù)與點一一對應，就可以將點轉(zhuǎn)化為數(shù)，從而用代數(shù)來研究幾何．這就是法國數(shù)學家笛卡爾的想法.借助有序數(shù)對，幾何上的點就可以與數(shù)一一對應，我們就能用代數(shù)的可計算性來研究幾何.

設計意圖以問題清單的形式引導學生進行積極思考、回顧本節(jié)課所學，從學習的探索過程及發(fā)現(xiàn)它們之間的表征、共性、意義，都有助于學生體驗獲得知識的成就感，增強反思的意識．兩個量即可確定點的說明，本質(zhì)蘊涵交軌思想；數(shù)學家故事的代入令學生再次感受人文熏陶．

3 反思教學實踐，體悟教育之道

3.1 貼近真實情境，建構(gòu)生活數(shù)學

有趣的學習環(huán)境能更好地帶領(lǐng)學生融入數(shù)學的發(fā)現(xiàn)與學習過程，以支持學習的積極性．《義務教育數(shù)學課程標準(2011版)》中強調(diào)，數(shù)學素材的選用應在反映數(shù)學本質(zhì)的前提下盡可能地貼近學生的現(xiàn)實，如生活現(xiàn)實、數(shù)學現(xiàn)實、其他學科現(xiàn)實，這樣易使學生感受到數(shù)學的價值和趣味，利于他們經(jīng)歷從真實情境中抽象出數(shù)學知識與方法的過程[1]．本節(jié)課從“你說我猜”游戲?qū)?，一改單純師生問答的引入方式，調(diào)動學生思維的活躍度，從“要我學”變成“我要學”．教學過程中，關(guān)注學生從生活情境發(fā)現(xiàn)數(shù)學并應用數(shù)學的能力，從周邊地點、教室座位、校內(nèi)建筑，幫助學生從來源于生活的問題情境中體驗實際問題“數(shù)學化”的歷程，在主動建構(gòu)的活動中獲得知識[2]．學生在有意義的情境定位問題中自發(fā)提煉確定位置的方法，形成數(shù)學概念與方法，自然轉(zhuǎn)化到抽象平面中去，這樣的教學設計符合學生認知發(fā)展規(guī)律、遵循數(shù)學發(fā)展規(guī)律．

3.2 著力鉆研教材要點，注重數(shù)學過程探究

研讀教材后，發(fā)現(xiàn)小學時期的理解大多在依賴于形象思維，在表述、數(shù)域、應用范圍上存在局限，而八年級學生的知識擴充了，有一定的抽象能力，教材采取螺旋上升式的學習使學生認知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)化、規(guī)范化．因此本節(jié)課的重點落在“探索”“確定”上，學生在學習過程中積累抽象橫縱序列的經(jīng)驗，在過程中建構(gòu)規(guī)范化的概念，獲得抽象的數(shù)學表征意識．過程采用學生主體的發(fā)現(xiàn)式學習，在探索、確定自己位置的3個小活動中，先嘗試表達，再組合規(guī)范．對于唯一性、一一對應的要求，再次通過教室座位活動經(jīng)歷認識沖突，發(fā)現(xiàn)新的知識表征要求．在明確教材起點與拔高點的基礎上，注重“學習過程”的獲得，既尊重學生的認知基礎，又遵循知識的本源．在“確認位置方法”環(huán)節(jié)，以學生原有的知識為起點推動其生長；在“嘗試方法應用”環(huán)節(jié)，學生參與到現(xiàn)實問題的解決中，在數(shù)學化中體會蘊涵的數(shù)學思想；在“小結(jié)回顧方法”環(huán)節(jié)，通過問題驅(qū)動，寓探索提升、過程學習于反思回顧中．“校本問題解決”環(huán)節(jié)，教師贊同學生的表示方法，同時對有序數(shù)對法進行應用引導，啟發(fā)學生通過選擇不同參照點，表示對應建筑的位置．從問題出發(fā)牽引學生，一方面讓學生獲得解決問題的成就感，另一方面也在探究應用中滲透平面直角坐標系的思想．

3.3 明確認知形成過程，發(fā)展學生核心素養(yǎng)

數(shù)學課程的內(nèi)容設計要求符合學生認知發(fā)展特點，符合學生現(xiàn)有的心智狀態(tài)，重視知識的形成，而活動中學生的積極自主建構(gòu)能促進數(shù)學素養(yǎng)的提升．后現(xiàn)代課程觀提倡將抽象的數(shù)學知識向具象化還原，從思維的低起點出發(fā)，經(jīng)過對知識的探索，建立認知聯(lián)系．本節(jié)課的游戲環(huán)節(jié)梯度是面向全班學生的，初中生能較快地投入?yún)⑴c，學生的活動經(jīng)驗與嚴謹?shù)母拍畛橄竽苄纬捎行?lián)結(jié)．在有序數(shù)對的學習中，學生從自身對教室的觀察到幻燈片上的位置轉(zhuǎn)化再到網(wǎng)格化的橫縱軸抽象，其思維是逐層上升的，并且大部分學生在這一抽象轉(zhuǎn)化過程中能鍛煉“會學”的能力，使其在獲得知識的同時提升學習力，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)．

其次，本節(jié)課的應用也是基于生活創(chuàng)設的，于生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學，并能夠在實際問題中抽象出數(shù)學解決方法，是應用數(shù)學的目的所在．優(yōu)質(zhì)高效的課堂教學要求在有限的時間與精力中使學生的核心素養(yǎng)獲得收益最大化．在校本問題應用中，學生經(jīng)歷了對建筑點進行建模、將各點平面化的過程，又在化繁為簡的體驗中形成數(shù)感、符號感．根據(jù)學生認知展開設計，旨在檢驗教學目標的同時，激發(fā)并維持學生的興趣，對數(shù)學學習的本質(zhì)內(nèi)化于心，自然地將知識認知轉(zhuǎn)化為素養(yǎng).