高考立體幾何全國卷與浙江卷對比研究

朱成萬 (浙江省杭州第十四中學 310006)

浙江省自2004年自主命題以來形成了自己的獨特風格，浙江省教師的教學也形成了與之相應的思維定式和教學套路.2023年浙江高考將使用全國卷，全國卷與浙江卷相差很大，包括命題風格、題型、考查知識點的側重等.因此，研究高考全國卷的特點對迎考復習具有現(xiàn)實意義.本文研究近10年(2012—2021年)高考立體幾何部分試題(僅研究理科卷或文理合卷，其中全國卷共30份，浙江卷10份)，分析它們的異同，以期對教學有啟發(fā)作用.

1 題量與分值對比分析

1.1 題量、分值統(tǒng)計表

1.2 題量、分值分析

從表1可以看到，兩卷的題量與分值差別不大.全國卷中立體幾何的分值以22分為主，約占總分(150分)的14%；題量以3題為主，都有1道大題和2道小題(選擇或者填空題).浙江卷中立體幾何的分值均為23分，約占總分(150分)的15%；題量為3題(1大題2小題).無論是浙江卷還是全國卷，立體幾何均是高考必考內容，也是重點考查內容，在試卷中占有較大的比重，處于重要地位.

表1 2012—2021年高考浙江卷、全國卷立體幾何題量、分值

2 考查內容對比與分析

2.1 考查內容統(tǒng)計

為了直觀顯示兩卷的異同，根據(jù)表2畫出相應的頻率分布直方圖(圖1).

表2 2012—2021年高考全國卷、浙江卷立體幾何知識點的考查次數(shù)

圖1 2012—2021年高考全國卷、浙江卷立體幾何考查內容頻率分布直方圖

2.2 考查內容對比分析

從表2和圖1可以看出，對立體幾何內容的考查，浙江卷與全國卷相差很大，主要體現(xiàn)在四個方面：

第一，浙江卷考點集中，全國卷考點分散.全國卷對內容的考查相對分散，幾乎涉及立體幾何的所有知識：幾何體的體積與表面積、長度與距離、三類角度、平行與垂直關系、球的切與接、折疊與展開、數(shù)學文化與數(shù)學應用等.除了二面角及球的切與接，其他知識點分布比較均衡．相比而言，浙江卷中立體幾何的考點相對集中，主要集中在線面角、二面角，線面垂直的判定，以及折疊與展開等幾個問題．可見全國卷中立體幾何的試題比浙江卷的試題視角更寬、層次更多．

第二，兩卷同時反復考查的知識點較少.全國卷與浙江卷同時反復考查的知識點不多，只有線面角、二面角，線面平行、線線垂直、線面垂直等幾個知識點.有許多內容是全國卷反復考查而浙江卷從不考，或者浙江卷反復考查而全國卷從不考.比如球的切與接，全國卷10年考查了10次，而浙江卷從未考查；再如最小角定理，浙江卷考查4次，而全國卷從未考查.

第三，“全國愛考二面角，浙江愛考線面角.”空間三類角(兩異面直線夾角、線面角、二面角)是立體幾何的核心內容，兩卷對它們的考查差別很大.先看線面角，浙江卷考查了6次，而且連續(xù)6年(2016—2021年)浙江卷立體幾何大題都是考查線面角，可見對浙江考生來說“線面角的地位比二面角更高”；再看二面角，浙江卷考查了4次(2012—2015年)，全國卷考查了18次，遠遠多于浙江卷.故稱：“全國愛考二面角，浙江愛考線面角.”

第四，全國卷的創(chuàng)新力度比浙江卷強.浙江卷的題型基本固定，考查內容也基本固定，試題的創(chuàng)新主要體現(xiàn)在幾何體結構上的變化.全國卷試題則不僅在幾何體的結構上創(chuàng)新，在考點和題型上也不斷出現(xiàn)新題，比如考查截面問題、證明四點共面以及數(shù)學文化與應用問題，而且還出現(xiàn)“多選題和結構不良試題”等.特別是2015年全國卷II第19題，需要畫出截面四邊形，該題無論是考查內容還是考查形式都讓人耳目一新.

3 考查內容的理解

全國高考卷本著一核、四層、四翼的評價理念，注重學科特點，從學科思維價值和整體高度的角度出發(fā)，突出了數(shù)學知識的基礎性和綜合性[1]，以立體幾何的重點知識和主干知識為主體，著意于數(shù)學知識運用的靈活性與創(chuàng)新性，將能力與素質融為一體，全面檢測了學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)．下面分析全國高考卷是如何以立體幾何為載體，通過“四翼”實現(xiàn)對學生“四層”的有效考查.

3.1 關注基礎

全國卷注重對立體幾何的基本概念和基本性質的考查，體現(xiàn)了知識立意，旨在檢測學生的“學習掌握”情況．

圖2

例1(2019全國卷II理科題17)如圖2，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1．

(1)證明：BE⊥平面EB1C1；

(2)若AE=A1E，求二面角B-EC-C1的正弦值．

評注 該題以長方體為載體，考查線面垂直關系和二面角的大小.該題給出了圖形，考生可以用綜合法求解，也可以直接建立空間直角坐標系，通過向量運算求解.該題背景常規(guī)、設問常規(guī)，解題方法也常規(guī)，只需掌握立體幾何的基本知識就可以解答.高考通過該題檢測學生對于立體幾何基礎知識的掌握情況，體現(xiàn)基礎性.

3.2 強調綜合

全國卷注重知識的綜合，強調對知識的靈活應用．從學科內容選擇的角度看，綜合性要求以多項相互關聯(lián)的活動組成的復雜情境作為載體，能夠反映學科知識、能力內部的整合及其綜合運用.[2]全國卷以基本知識為載體，考查基本能力，體現(xiàn)了能力立意，旨在檢測學生靈活運用知識的能力．

例2(2019年全國卷I理科題12)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為( ).

評注 該題以三棱錐的外接球問題為載體，主要考查了球的基本概念、三棱錐中元素的幾何度量與位置關系判定，突出考查了球與三棱錐組合情境下的空間想象能力，同時著重考查學生的運算求解能力和應用能力.該題并未給出圖形，如果考生畫出圖3，設PA=PB=PC=x，根據(jù)題中的位置關系和數(shù)量關系，用x表示△AEC各邊長，然后運用余弦定理，則運算非常繁瑣.如果能將三棱錐的外接球等價于正方體的外接球，畫出圖4，則問題迎刃而解.該題突出了對學生綜合、靈活運用知識解決問題的能力的考查，對中學數(shù)學教學有積極的引導作用和很好的指導意義.

圖3

圖4

3.3 重視應用

全國卷重視學以致用，試題聯(lián)系生產(chǎn)生活中的實際問題，要求學生運用立體幾何知識對實際問題進行分析與研究，進而解決問題，即強調立體幾何在數(shù)學外部的綜合應用．

圖5

A.346 B.373 C.446 D.473

評注 本題以“三角高程測量法測量珠穆朗瑪峰高程”為背景設計問題，要求學生利用立體幾何的線面關系等構建模型，通過計算得出結論.這種試題情境真實，有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)，同時滲透數(shù)學建模素養(yǎng)及數(shù)學思想方法的應用.

3.4 適度創(chuàng)新

全國卷注重適度創(chuàng)新，通過創(chuàng)設合理情境，設置新穎的試題呈現(xiàn)方式和設問方式，要求考生在新穎或陌生的情境中主動思考，完成開放性或探究性的任務，發(fā)現(xiàn)新問題、找到新規(guī)律、得出新結論，以檢測考生的關鍵能力和必備品格．

A.當λ=1時，△AB1P的周長為定值

B.當μ=1時，三棱錐P-A1BC的體積為定值

圖6

4 教學建議

4.1 聚焦全國卷，改變教學思維定式

從以上分析可知，浙江卷與全國卷差別很大.浙江教師如果仍以浙江卷命題規(guī)律組織教學，那就很難應對將來全國卷高考.比如浙江卷反復考查最小角定理，這類題目難度較大，學生需要較多的時間才能掌握，但是全國卷從不考，如果教師按照以往的思維定式，仍在該問題上花大力氣，那是費時、費力且效果不佳.再比如，“球的切與接”也是一個較難的問題，學生需要一定的訓練才能掌握.該內容全國卷年年考，但浙江卷從不考.如果教師還是按照之前應對浙江卷的思路，不涉及該內容，那么學生在未來高考遇到該問題，一定會手足無措.因此，浙江教師要以全國卷為導向，教學與復習才有針對性，才能在未來的高考中取得好成績.

4.2 聚焦核心知識，形成空間觀念

高考對基礎知識的考查既全面又突出重點.對支撐學科知識的重要內容，占有較大的比例，構成試卷的主體.[3]立體幾何是高中數(shù)學課程中的重要內容，在全國卷或浙江卷中都占有較高的分值.立體幾何考查的核心是線面關系(特別是平行與垂直關系)和幾何量計算(特別是空間三類角).對平行關系而言，線面平行的判定定理與性質定理是考查的重點，對垂直關系而言，線面垂直與面面垂直也是考查的重點，需要花大力氣去訓練.三類角的計算(特別是線面角與二面角)，無論是浙江卷還是全國卷都是重要考查內容.教學時在這些內容上下功夫，既是掌握立體幾何核心內容、高考取得好成績的必要條件，也是幫助學生形成空間觀念、培養(yǎng)直觀想象核心素養(yǎng)的良好載體.

4.3 不忘冷門知識點，復習要系統(tǒng)全面

高考要求“全面考查基礎知識”，所以教學不僅要關注重點內容、關注熱點問題，對冷門知識也不能遺漏.從表2可以看到，浙江卷考查的知識點相對集中，近10年集中在11個知識點上.對浙江卷而言，有許多知識是冷門(比如證明四點共面)，教師教學不重視，也很少給學生訓練，將來使用全國卷，這些以往不重視、不關注的知識點都要重新重視起來.所以，對知識的復習要系統(tǒng)全面，到邊到角，不留死角.

4.4 兼顧應用與創(chuàng)新，培養(yǎng)思維品質

素養(yǎng)導向的數(shù)學高考命題不斷創(chuàng)新，其主要特點表現(xiàn)為人文性、趣味性、新穎性、生活性、開放性等.教學要適應高考的變化，在鞏固基礎知識的前提下要加強綜合性、應用性問題的訓練，增強對多選題、開放題的研究和訓練.在核心素養(yǎng)統(tǒng)領下組織復習材料，側重對立體幾何知識的理解和應用，減少機械訓練.通過掌握知識，提升思維品質，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)，才能以不變應萬變，在高考中立于不敗之地.