立足學生認知發(fā)展 提升學生數(shù)學素養(yǎng)
——以“探索確定位置的方法”教學設計為例

林琪瑜 (浙江省溫州市南浦實驗中學 325000)

2021年9月，在浙江溫州市南浦實驗中學校級公開課上，筆者執(zhí)教了“探索確定位置的方法”(浙教版數(shù)學八年級上冊第四章第1節(jié))，以知識內容為載體，設計貼近實際的生活情境，為學生在探索中自主發(fā)現(xiàn)并構建數(shù)學知識提供渠道，同時將數(shù)學抽象這一核心素養(yǎng)的發(fā)展寓于情境活動與學生的體驗歸納中．學生在經歷中展開數(shù)學感知與思維，在潛移默化中提升數(shù)學核心素養(yǎng)，取得了良好的數(shù)學教學效果．

1 解讀教材，分析學情，確定教學目標

本節(jié)課的教學內容是在小學介紹了確定物體位置的兩種常用方法的基礎上進行的，但學生對于方法的認識并不深入，未達到對生活實際進行抽象的水平．在八年級的數(shù)學教材編排中，探索確定位置的方法重在“探索”“確定位置”，且探究體驗與升華建構的過程還有助于學生體會坐標思想、數(shù)形結合思想等，從知識內容層面、或從數(shù)學思想層面而言，它又是后續(xù)平面直角坐標系、函數(shù)等內容的重要準備與學習經驗．從整個學習進程而言，學生的新知識在舊知識上生長，內容螺旋式上升，達到不斷強化認知結構的目的，這是符合學習的認知規(guī)律的．從學情方面分析，在小學四、六年級，學生已學習了確定位置的方法，但是對數(shù)的認識較為局限，而八年級的學生已將數(shù)域拓寬到實數(shù)范圍，所以如何在“似曾相識”的內容上激發(fā)學習興趣、讓學生認識到數(shù)學學習的必要性是該節(jié)課要解決的問題．在七年級，學生經歷了數(shù)軸的學習后能準確地在一維上確定位置，但是如何在二維中透徹了解確定位置方法的本質，提升對有序數(shù)對的認識是本節(jié)課需要突破的．

因此確定這節(jié)課的教學目標：探索確定平面上物體位置的方法，能用有序實數(shù)對和方向、距離表示平面上點的位置；體驗有序實數(shù)對和方向、距離表示法中的數(shù)形結合思想、感受數(shù)對表示形式的坐標思想；體會數(shù)學來源并應用于生活，提升數(shù)學抽象素養(yǎng)，發(fā)展應用意識．教學重點：探索確定位置的兩種常用方法．教學難點：有序數(shù)對從實際到抽象平面的轉化．

2 主要教學過程

2.1 游戲導入，激發(fā)興趣

師：我們一起來玩一個“你說我猜”游戲吧！我需要兩個小助手．

規(guī)則要求：(1)乙面向同學；(2)甲向乙描述某點的位置，大家安靜傾聽、觀察；(3)乙轉身確定該點的位置．

教師用幻燈片展示：點O，點A，請描述點A的位置．

生1：點A在點O右邊20 cm處．

生2：確定并指出A點位置．

教師用幻燈片展示：點O，點B，請描述點B的位置．

生1：點B在點O東北方向15 cm處．

生2：確定并指出B點位置．

師(過渡)：我們發(fā)現(xiàn)剛才對點A,B的兩種描述都涉及2個量(方向、距離)，那么我們今天就一起來探索確定位置的方法．

設計意圖設計游戲導入，能夠較快地調動學生的注意力．對于“傳話”表達位置這一問題，學生會盡可能地去表達，教師則有意識地把學生的生成留在黑板上，也為后續(xù)內容的學習提供了一條線索與思路．同時，為方位描述意識稍有模糊的學生回憶舊知，為精確、到位的敘述作鋪墊．

2.2 方向距離，玩中獲知

(1)游戲歸納

師：我們如何規(guī)范地描述B相對于O的位置呢？

生3：點B在點O東北方向15 cm處．

師：剛才他的回答是以什么為參照點的？確定參照點后要做什么？

生4：此時是以點O為參照點，需要建立東西南北的方向，然后，測得方向與距離．

師：所以我們就可以這樣描述一個點的位置——如“B在O的北偏東…° … cm處”(板書)．假如確定了參照點，平面上任一點的位置都可以描述嗎？這種描述下對應的位置是唯一的嗎？

師生共同得出：一一對應．用方向、距離可以確定平面上一點的位置．

圖1

設計意圖在游戲的導入作用仍延續(xù)的教學環(huán)節(jié)中，讓游戲的作用性放大，而非單純引入課題．方向距離法是學生已經接觸過的內容，而游戲的回瞻、教師的問題引導能更快地幫助學生自主得到方向距離法的概念．

(2)地點應用

師：請大家完成學習單方法應用一(圖1)．

1)怎樣表述其他地點相對南浦實驗的位置?

生5：交警支隊在南浦實驗的北偏東45° 900 m處．

生6：南浦小學在南浦實驗的南偏東20° 800 m處．

生7：二十一中在南浦實驗中學的南偏西57° 1 400 m處．

2)第一問的參照點在哪里？選用的是哪種描述方式？南浦實驗中學相對于二十一中的位置怎么表述？

生8：南浦實驗．方向距離法．南浦實驗中學在二十一中的北偏東57° 1 400 m處．

設計意圖對知識掌握度的檢驗是將其應用出來，本環(huán)節(jié)問題的設計以當?shù)貙W校周圍的建筑為素材，創(chuàng)造應用情境，將課堂還給學生的同時也讓學生貼近實際生活，情境條件由學生創(chuàng)設．學生通過對問題的解決一方面鞏固了知識要點，另一方面能提高對生活中的數(shù)學觀察感知力，累積經驗．

(3)環(huán)節(jié)小結

師：剛才我們在用方向距離法確定一點的位置時，你覺得使用方向距離法確定位置的步驟有哪些？關鍵點什么？

師生共同完善：參照點—方位圖—連線—量方向、距離．板書小結：1找—2畫—3測—4寫．

2.3 有序數(shù)對，體驗建構

(1)座位探索

師：剛才我們學了方向距離法，其實呀，生活中還有其他確定位置的方法.現(xiàn)在將目光轉移到我們教室，比如，你通常習慣如何描述自己在教室中的位置呢？

師:請生9(該生位置為第四排第三列)來說說看，你會習慣怎么描述自己的位置呢？

生9：第三列第四排．

師：(板書學生的敘述并追問)這樣寫比較麻煩，有更簡潔的表示方式嗎？

生10：(上臺書寫)43．

師(追問)：是表示位置嗎？這兩個數(shù)是整體嗎？數(shù)與數(shù)之間需要隔開嗎？

師生共同得到(4,3)．

師：所以我們就可以嘗試用數(shù)對來表示一個位置．C同學除了是第3列第4排，可以說是第4排第3列嗎？(邊說邊板書)“C：第3列第4排”，那這樣也有更簡潔的表示方式嗎？

生11：(3,4)．

師(追問)：這樣會出現(xiàn)什么問題呢？

生11：可以簡單化，但不對了，會出現(xiàn)一個數(shù)對對應兩個點的位置的情況．

師：是的，此時一個位置會對應不同的數(shù)對，正因為這種表示是一種數(shù)學語言，所以我們可以先“規(guī)定”，如先列后行“(列，行)”，我們把這樣的數(shù)對叫做“有序數(shù)對”．

師：那請問按照我們的規(guī)定，真正的(4,3)同學的位置在哪里呢？請你起立．(生(4,3)起立)

設計意圖從生活中常見的找座位入手，以自身的位置描述展開，學生的課堂參與度能大幅提高．教師在學生的回答生成中推進后續(xù)的問題，期望學生能自主發(fā)現(xiàn)問題沖突，鍛煉學生的思考全面性．同時，設計由學生自主給出簡潔的表示方式，也是為了訓練學生從具體情境中抽象出“橫縱軸”(列、排)觀念的能力，從而實現(xiàn)文字語言到數(shù)學抽象語言的轉化．

(2)座位應用

圖2

師：現(xiàn)在大家能在圖2上找到自己的位置嗎？

按照我們之前規(guī)定的起始列、起始排，參照點在哪？這位參照同學是什么數(shù)對？

生12指出該同學(1,1)．

任務1：現(xiàn)在按剛才大家的規(guī)定，請寫出表示自己位置的有序數(shù)對，并左右同桌交流．

(教師巡視學生的情況，及時給予反饋指導)

教師請一斜列學生回答自己的有序數(shù)對，為后面不同的參照點活動做準備．

任務2：現(xiàn)在如果以C同學為參照點(1,1)，大家能再寫出表示自己位置的有序數(shù)對嗎？請大家寫在學習單空白處，并交流．(教師巡視了解學生的情況，及時給予反饋指導)

教師再請同一斜列學生回答自己的有序數(shù)對.

師：為什么這些同學現(xiàn)在的有序數(shù)對和剛才不一樣了呢？

生13：因為參照點變了．對于不同的參照點，位置的表示數(shù)對不同．

設計意圖練習能夠加深知識的理解，明確有序數(shù)對方法的使用規(guī)則與要求．而任務1、2的設置延續(xù)了探索新知中的情境，在同樣的環(huán)境下完成對知識的全面認知，能更大限度地利用好“就地取材”的背景．從“位置”到“數(shù)對”的互相轉化，學生體會到數(shù)學的一一對應思想；從參照點的改變到位置表示方法的改變，又進一步讓學生感受到參照的必要性、結果的相對性，形成辯證觀．

(3)環(huán)節(jié)小結

師：通過剛才的活動，你覺得使用有序數(shù)對法確定位置的步驟有哪些？關鍵點什么？

生共同完善：參照點—數(shù)對次序—計數(shù)．板書小結：1找—2定—3寫．

2.4 校本應用，綜合提升

師：過幾天將迎來我們的“新生游園活動”，學習單上是我們校內建筑的分布，你能為新生介紹學校內部各地的分布嗎？嘗試回答下列問題．若規(guī)定列在前、行在后．

圖3

(1)在圖3上用有序數(shù)對表示學校各建筑物位置；(2)輔助樓相對于浦西樓或教學樓的位置可以怎么描述？(3)利用今天學習的知識，請你在圖3上自主選擇不同的方法對“新生游園活動”中各建筑物的位置進行標識．

先由學生獨立完成問題，教師巡視，再請學生上臺投影展示，教師點評，再次鞏固本節(jié)課的知識及其包含的各個要素．

設計意圖針對學情、校情設計校本練習，旨在讓學生訓練有序數(shù)對法與方向距離法的同時，也幫助他們對學校有更多的了解，對實際方位有更準確的認知，而非局限于書本的虛設情境或離學生較遠的情境．在積累了確定位置方法的經驗后，學生在第3問中能自主選擇方法對建筑的位置進行數(shù)學化抽象，將位置進行符號化表征．對于有序數(shù)對法中參照點的不確定，也為下節(jié)課平面直角坐標系的學習作了鋪墊．

2.5 回顧思考，反饋同化

引導式提問小結：(1)確定平面上點的位置有哪幾種常用的方法？(2)在平面上確定物體(點)的位置的步驟有哪些？(3)為什么給出2個數(shù)就恰好可以確定一個點呢？你能對確定點的這一過程加以解釋嗎？(4)當參照點、描述方式、數(shù)對次序都確定好后，平面上的點與有序數(shù)對是否一一對應？(5)你覺得用有序數(shù)對表示物體(點)的位置有何意義呢？

學生自主回答，教師補充完善．

師：點不能運算，而數(shù)可以，若能使數(shù)與點一一對應，就可以將點轉化為數(shù)，從而用代數(shù)來研究幾何．這就是法國數(shù)學家笛卡爾的想法.借助有序數(shù)對，幾何上的點就可以與數(shù)一一對應，我們就能用代數(shù)的可計算性來研究幾何.

設計意圖以問題清單的形式引導學生進行積極思考、回顧本節(jié)課所學，從學習的探索過程及發(fā)現(xiàn)它們之間的表征、共性、意義，都有助于學生體驗獲得知識的成就感，增強反思的意識．兩個量即可確定點的說明，本質蘊涵交軌思想；數(shù)學家故事的代入令學生再次感受人文熏陶．

3 反思教學實踐，體悟教育之道

3.1 貼近真實情境，建構生活數(shù)學

有趣的學習環(huán)境能更好地帶領學生融入數(shù)學的發(fā)現(xiàn)與學習過程，以支持學習的積極性．《義務教育數(shù)學課程標準(2011版)》中強調，數(shù)學素材的選用應在反映數(shù)學本質的前提下盡可能地貼近學生的現(xiàn)實，如生活現(xiàn)實、數(shù)學現(xiàn)實、其他學科現(xiàn)實，這樣易使學生感受到數(shù)學的價值和趣味，利于他們經歷從真實情境中抽象出數(shù)學知識與方法的過程[1]．本節(jié)課從“你說我猜”游戲導入，一改單純師生問答的引入方式，調動學生思維的活躍度，從“要我學”變成“我要學”．教學過程中，關注學生從生活情境發(fā)現(xiàn)數(shù)學并應用數(shù)學的能力，從周邊地點、教室座位、校內建筑，幫助學生從來源于生活的問題情境中體驗實際問題“數(shù)學化”的歷程，在主動建構的活動中獲得知識[2]．學生在有意義的情境定位問題中自發(fā)提煉確定位置的方法，形成數(shù)學概念與方法，自然轉化到抽象平面中去，這樣的教學設計符合學生認知發(fā)展規(guī)律、遵循數(shù)學發(fā)展規(guī)律．

3.2 著力鉆研教材要點，注重數(shù)學過程探究

研讀教材后，發(fā)現(xiàn)小學時期的理解大多在依賴于形象思維，在表述、數(shù)域、應用范圍上存在局限，而八年級學生的知識擴充了，有一定的抽象能力，教材采取螺旋上升式的學習使學生認知結構系統(tǒng)化、規(guī)范化．因此本節(jié)課的重點落在“探索”“確定”上，學生在學習過程中積累抽象橫縱序列的經驗，在過程中建構規(guī)范化的概念，獲得抽象的數(shù)學表征意識．過程采用學生主體的發(fā)現(xiàn)式學習，在探索、確定自己位置的3個小活動中，先嘗試表達，再組合規(guī)范．對于唯一性、一一對應的要求，再次通過教室座位活動經歷認識沖突，發(fā)現(xiàn)新的知識表征要求．在明確教材起點與拔高點的基礎上，注重“學習過程”的獲得，既尊重學生的認知基礎，又遵循知識的本源．在“確認位置方法”環(huán)節(jié)，以學生原有的知識為起點推動其生長；在“嘗試方法應用”環(huán)節(jié)，學生參與到現(xiàn)實問題的解決中，在數(shù)學化中體會蘊涵的數(shù)學思想；在“小結回顧方法”環(huán)節(jié)，通過問題驅動，寓探索提升、過程學習于反思回顧中．“校本問題解決”環(huán)節(jié)，教師贊同學生的表示方法，同時對有序數(shù)對法進行應用引導，啟發(fā)學生通過選擇不同參照點，表示對應建筑的位置．從問題出發(fā)牽引學生，一方面讓學生獲得解決問題的成就感，另一方面也在探究應用中滲透平面直角坐標系的思想．

3.3 明確認知形成過程，發(fā)展學生核心素養(yǎng)

數(shù)學課程的內容設計要求符合學生認知發(fā)展特點，符合學生現(xiàn)有的心智狀態(tài)，重視知識的形成，而活動中學生的積極自主建構能促進數(shù)學素養(yǎng)的提升．后現(xiàn)代課程觀提倡將抽象的數(shù)學知識向具象化還原，從思維的低起點出發(fā)，經過對知識的探索，建立認知聯(lián)系．本節(jié)課的游戲環(huán)節(jié)梯度是面向全班學生的，初中生能較快地投入參與，學生的活動經驗與嚴謹?shù)母拍畛橄竽苄纬捎行?lián)結．在有序數(shù)對的學習中，學生從自身對教室的觀察到幻燈片上的位置轉化再到網格化的橫縱軸抽象，其思維是逐層上升的，并且大部分學生在這一抽象轉化過程中能鍛煉“會學”的能力，使其在獲得知識的同時提升學習力，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)．

其次，本節(jié)課的應用也是基于生活創(chuàng)設的，于生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學，并能夠在實際問題中抽象出數(shù)學解決方法，是應用數(shù)學的目的所在．優(yōu)質高效的課堂教學要求在有限的時間與精力中使學生的核心素養(yǎng)獲得收益最大化．在校本問題應用中，學生經歷了對建筑點進行建模、將各點平面化的過程，又在化繁為簡的體驗中形成數(shù)感、符號感．根據學生認知展開設計，旨在檢驗教學目標的同時，激發(fā)并維持學生的興趣，對數(shù)學學習的本質內化于心，自然地將知識認知轉化為素養(yǎng).