突出思維過程的教學 促進核心素養(yǎng)的提升

孫 磊 (江蘇省無錫市第三高級中學 214000) 錢 銘 (江蘇省無錫市第一中學 214031)

關注學生的長效發(fā)展和可持續(xù)發(fā)展，使學生形成終身受益的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，受到了人們的高度重視，成為當前數(shù)學教學改革的重要導向和熱門話題．《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出：“數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學學習和應用的過程中逐步形成和發(fā)展的．”要求通過數(shù)學教學，引導學生會用數(shù)學的眼光觀察世界、會用數(shù)學的思維思考世界、會用數(shù)學的語言表達世界[1]．在這里，把數(shù)學的眼光、數(shù)學的思維、數(shù)學的語言看成是構(gòu)成數(shù)學核心素養(yǎng)的三大支柱．數(shù)學核心素養(yǎng)既是高度抽象的思維產(chǎn)物，又是高于數(shù)學知識的思維方法．數(shù)學思維是數(shù)學核心素養(yǎng)最重要的部分，也是發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)的根基所在．數(shù)學學習的本質(zhì)，是數(shù)學思維活動的過程．因此，突出數(shù)學思維活動的教學，優(yōu)化學生的思維品質(zhì)，使學生學會理性思維，實現(xiàn)學生在思維層面上的“深度學習”，是培養(yǎng)和發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)、促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)養(yǎng)成的有效途徑和重要抓手．

1 追溯專家的思維過程，培養(yǎng)數(shù)學思維的意識

人們對數(shù)學知識、數(shù)學思想和數(shù)學方法的認識，一般都是先在實踐中獲得了大量的數(shù)學事實和活動經(jīng)驗，然后再根據(jù)這些事實和經(jīng)驗來總結(jié)、歸納和提煉出相應的數(shù)學命題和數(shù)學規(guī)律、數(shù)學思想和數(shù)學方法，再通過邏輯推理來加以證明、予以驗證．在這個程中，數(shù)學的思維起著關鍵性的作用．[2]數(shù)學教學要根據(jù)課標、教材和學情，充分利用現(xiàn)有的教學資源精心設計，引領學生追溯當年數(shù)學家探究數(shù)學知識、發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律、提煉數(shù)學思想方法的心路歷程，體驗數(shù)學家在建構(gòu)數(shù)學概念和用已有的知識去探索未知世界的思維活動，使學生從專家們探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學的知識、思想和方法的思維活動過程中感悟數(shù)學思維的魅力，增強數(shù)學思維的意識．

案例1“弧度制”一課的教學片斷．

師：前面一節(jié)課，我們將角的概念進行了推廣，建立了任意角的概念，對“角”有了新的、進一步的認識．

問題1角的大小是如何進行度量的？

師：角度制是古巴比倫人對天文學和數(shù)學所作出的一個重大貢獻！古巴比倫人受“黃道12星座”和“春秋分日，太陽劃過半個周天的軌跡恰好等于180個太陽直徑”的啟發(fā)，把圓周等分為360份，將每一份所對的圓周角叫做1度的角，由此產(chǎn)生度量角的一種制度——角度制．

問題2用度作為度量角的單位是唯一的嗎？你覺得度量角的大小還能有其他方法嗎？

生：應該有．例如長度的度量，既可以用“尺”，也可以用“米”，度量重量可以用千克、磅等不同單位．

師：很好！角度制是60進制，1度等于60分，1分等于60秒．但我們在進行計算時，很多時候運用的都是10進制．這就產(chǎn)生了進位制不統(tǒng)一的問題．

問題3你覺得還可以選擇怎樣的單位來度量一個角的大小呢？

問題4如圖1，射線OA繞端點O旋轉(zhuǎn)到OB形成角α．在旋轉(zhuǎn)過程中，射線OA上一點P(不同于點O)的軌跡是一條圓弧，這條圓弧對應于圓心角α．記圓弧PP1的長為l、圓弧的半徑OP=r,則l,r,α之間存在著怎樣的關系？

圖1 圖2

師：這就是說，圓心角α所對的弧長與半徑的比值，隨圓心角α的確定而唯一確定．從而啟發(fā)我們，可以利用圓的弧長與半徑的比值來度量角的大?。?/p>

問題6你能類比角度制，給出弧度制的有關概念嗎？

在學習弧度制之前，學生對角度制已經(jīng)有了一定的了解，如果在此基礎上直接給出弧度制的定義，建立起弧度制與角度制之間的聯(lián)系，學生也能接受，并能運用弧度制的知識來解決一些相應的問題．但是，度量角的大小既然有了角度制，為什么還要研究弧度制？怎么想到用弧度來表示角的？弧度制的優(yōu)越性何在？對這些問題，學生會十分困惑，有一種強行灌輸?shù)母杏X，無法激起學習的熱情和興趣．本案例中，針對學生的問題，適時地融入數(shù)學史，介紹弧度制產(chǎn)生的背景，引領學生追溯數(shù)學家的思維軌跡，像數(shù)學家那樣圍繞著面對的問題與困惑，運用類比角度制的研究方法展開探究活動，經(jīng)歷“1弧度角”和“弧度制”概念的發(fā)生和發(fā)展的過程，達成“將弧長與角的度量單位統(tǒng)一起來”的共識，不但自然而然地得出“1弧度角”和“弧度制”概念，揭示出弧度制與角度制之間的聯(lián)系，破解了學習的障礙，而且充分地體驗了數(shù)學家在進行科學探究、解決疑難問題、建立數(shù)學理論時的思維方法，使學生感受了類比推理和演繹推理的價值，學會了用數(shù)學的思維去分析和解決問題，提升了學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，匡扶了學生的數(shù)學學習行為．

2 展示教師的思維過程，學會數(shù)學思維的方法

一般來講，學生的思維往往是在教師思維的引領之下，通過模仿教師的思維而逐漸形成的，所以教師在組織教學活動時必須高度地關注思維形式的“顯化”．現(xiàn)行的數(shù)學教材，因為篇幅的關系和章節(jié)結(jié)構(gòu)的因素，許多內(nèi)容都省略了知識的發(fā)展、探索和思路的發(fā)現(xiàn)、形成的過程，一些定理和性質(zhì)是如何發(fā)現(xiàn)的，解決問題的方法是如何構(gòu)想的和研究的，學生對它們存在著一種必然的神秘感和疑惑感．因此，在課堂教學中，對于每一個數(shù)學概念的建構(gòu)，數(shù)學定理、性質(zhì)和公式的發(fā)現(xiàn)，例題與習題的求解，都應將教師自己真實的思維活動過程完完全全地呈現(xiàn)在學生的面前，讓學生不僅能看到教師獲得成功的思維過程，還要能看到教師受困、碰壁、試誤、失敗和掙脫困境的思維過程．要設法使學生看到，面對一個新問題時教師自己是怎樣尋求解決思路的、其依據(jù)是什么、特別是在思路受阻后如何調(diào)整思路、為什么這樣調(diào)整等等[3]．這樣，學生看到了教師探求數(shù)學知識、解決數(shù)學問題的完整的思維過程，并從這個思維過程中感悟研究數(shù)學現(xiàn)象、解決數(shù)學問題的思維方法，學會數(shù)學地思考問題，從而有效地訓練數(shù)學思維的品質(zhì)，提升數(shù)學學科的核心素養(yǎng)．

案例2“函數(shù)性質(zhì)的應用”一課的教學片斷

師：前面，我們研究過函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，這是函數(shù)的兩個重要性質(zhì)，在解決函數(shù)的有關問題時，有著廣泛的應用．今天這節(jié)課，我們通過一些具體的問題，進一步地來感受一下．請大家先看下面的問題(投影顯示)．

師：怎樣求出不等式(*)的解集呢？

生：先將不等式用x具體地表示出來．

生：？

師：要解這個不等式，脫去f的符號是關鍵，除了上面的方法外，有其他脫去f的方法嗎？

生：容易發(fā)現(xiàn)，f(x)是定義在R上的增函數(shù)，如果能將不等式轉(zhuǎn)化為f(a)>f(b)的形式，就可以利用f(x)的單調(diào)性脫去f的符號了．

師：非常好！這是想到了一種已有的解題經(jīng)驗，前面曾經(jīng)解過類似的問題．問題是，怎樣才能將不等式化為f(a)>f(b)的形式呢？

師：不錯的想法，不妨沿著這個思路試試看．

師生一起嘗試，發(fā)現(xiàn)此路不通，思路受阻．

師：這個思路行不通了，還有其他方法嗎？

生：？

在本案例中，教師運用師生對話的形式，引領 學生對問題進行分析和探索，尋求突破解題障礙的方法和策略，將教師解決這一問題的思維活動完完整整地展示在學生的面前，學生看到的不再單純是教師順利完成解題的神來之筆，而是教師分析和解決這一問題的整個思考過程，有對問題條件和結(jié)論的分析，有對解題思路的探索，也有在一種思路受阻時怎樣借助已有的解題經(jīng)驗聯(lián)想已經(jīng)解決過的類似問題的處理方法，通過對問題化歸、轉(zhuǎn)化、構(gòu)造，沖出解題困境的策略，使學生不僅理解和掌握了一類問題的解題方法，而且體驗了數(shù)學思想，學會了理性思考，優(yōu)化了思維品質(zhì)，實現(xiàn)了在對比中求得簡捷，在運用中變得靈活，在活動中獲得經(jīng)驗，在疏漏后學得縝密，有效地提高了分析問題和解決問題的能力．

3 暴露學生的思維過程，提升數(shù)學思維的能力

教育家斯托利亞爾指出：“數(shù)學教學是數(shù)學活動(思維活動)的教學，而不僅是數(shù)學活動的結(jié)果——數(shù)學知識的教學．”這就是說，數(shù)學教學不僅要反映數(shù)學活動的結(jié)果，而且還要善于暴露得到這些結(jié)果的思維活動的過程．數(shù)學專家和數(shù)學教師解決數(shù)學問題的思維活動與學生的思維活動存在著明顯的差異，無法代替也不應該代替學生的思維過程．只有讓學生親自經(jīng)歷探索的曲折情節(jié)，使思維帶有懸念色彩，才能增添學習的情趣，從而讓學習變得更“有意義”．[4]課堂教學中，教師應注意創(chuàng)設貼切的問題情境，巧妙地設置懸念，激發(fā)學生積極地參與到探索數(shù)學知識、發(fā)現(xiàn)解題方法的思維活動中來，給學生提供廣闊的思考空間和參與平臺，引導學生暢所欲言、各抒己見，評判各種思路和方法的優(yōu)劣，要能耐心地傾聽學生的意見，讓學生充分暴露自己的思維過程，及時地對學生思維過程加以歸納、概括，幫助學生發(fā)現(xiàn)思維的“閃光點”和存在的問題，總結(jié)思維的規(guī)律、方法和技巧，有意識地指出學生思維活動的優(yōu)劣，以此來激發(fā)學生的創(chuàng)造思維，發(fā)展學生的思維能力．

案例3“導數(shù)在研究函數(shù)中的應用”一課的教學片斷．

在研究了導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值之間的關系后，筆者給出了如下的一個問題給學生探究(投影展示)：

問題已知函數(shù)f(x)=(x2-ax+a)ex-x2，是否存在實數(shù)a，使得f(x)在x=0處取得極小值？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

師：請思考，如何來解決這一問題，說出你們的想法．

生1：為使函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值，必須使得f′(0)=0．對f(x)求導，得f′(x)=(2x-a)ex+(x2-ax+a)ex-2x=[x2+(2-a)x]ex-2x．可知f′(0)=0恒成立，故存在實數(shù)a，使得f(x)在x=0處取得極小值，a的取值范圍是R．

師：生1的解法怎么樣？有沒有什么問題？

生2：上面的解法存在漏洞，函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值，不僅需要f′(0)=0，還要滿足條件：x<0時f′(x)<0，并且x>0時f′(x)>0．

師：你上黑板來解解看．

師：生2得出了與生1截然相反的結(jié)論．根據(jù)極小值的定義，生1的解法顯然欠妥，結(jié)論是不正確的．那么生2的解法正確嗎？有沒有什么值得推敲的地方？請同學們再思考思考，不妨相互討論一下．

生3：生2的解法也是錯誤的．函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值，除了必須具備f′(0)=0的條件外，不一定還要使得x<0時f′(x)<0，并且x>0時f′(x)>0．根據(jù)極小值的定義，函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值，應該具備的條件是：f′(0)=0，并且在x=0的左右兩側(cè)的區(qū)間內(nèi)，左側(cè)的導數(shù)f′(x)<0，右側(cè)的導數(shù)f′(x)>0，即在x=0的左側(cè)小區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，右側(cè)小區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)．

師：很好！生3對函數(shù)極值概念的理解就到位了．在解決已知函數(shù)的極值，求參數(shù)的值或取值范圍的一類問題時，容易出現(xiàn)的錯誤就是生1和生2兩位同學那樣的解法，大家必須引起高度的關注．哪一位同學上黑板來完善一下這道題的解法？

生4：同上，得f′(x)=x[(x-a+2)ex-2]．假設存在實數(shù)a，使得f(x)在x=0處取得極小值，則必有f′(0)=0，并且在x=0的左側(cè)附近f′(x)<0，在x=0的右側(cè)附近f′(x)>0．顯然f′(0)=0恒成立，令g(x)=(x-a+2)ex-2，則必須且只需g(x)在x=0的左右兩側(cè)的附近，均有g(x)>0．由g′(x)=ex+(x-a+ 2)ex=0得x=a-3．而x≠0，所以a≠3．易得：當xa-3時，g′(x)>0，即g(x)在(-∞,a-3)上是減函數(shù)，在(a-3,+∞)上是增函數(shù)．從而g(x)在x=a-3處取得極小值，并且g(a-3)= -ea-3-2<0．為使g(x)在x=0的左右兩側(cè)的附近均有g(x)>0，必須且只須g(0)>0，即-a>0，亦即a<0．故存在實數(shù)a，使得f(x)在x=0處取得極小值，a的取值范圍是(-∞,0)．

師：非常好！請同學們對這個問題的探究過程作一個反思，看看有哪些收獲！

在解決有關函數(shù)極值的問題時，學生常常會出現(xiàn)這樣那樣的錯誤．怎樣有的放矢地幫助學生糾正錯誤、深化理解，這是我們必須下功夫去解決的問題．本案例中，教師沒有滔滔不絕地講授，將解決問題的正確方法灌輸給學生，而是留給學生充足的時間和空間，組織學生進行探索，靈活地采取多種方法，有意識地點撥、誘導和啟發(fā)，讓學生思考，讓學生交流，讓學生板書，在這個過程中將學生的思維活動過程完全地暴露了出來．然后循著學生的思維軌跡，針對學生解題中的思維缺陷，組織學生進行對話、合作和交流，及時捕捉學生思維的困惑點和障礙點，引領學生多方面、多角度、多層次地開展探索活動，幫助學生尋找錯因，糾正錯誤，形成對問題的正確認識，使思路越探越清，問題越探越明，知識越探越透，在潛移默化中優(yōu)化了學生的思維品質(zhì)，發(fā)展了學生的思維能力，培養(yǎng)了學生的數(shù)學素養(yǎng)，使課堂真正地成為激情蕩漾場所和智慧飛揚的天地．

4 結(jié)語

數(shù)學教學教給學生的不應只是冰冷的數(shù)學知識，更重要是要使學生學會用數(shù)學的眼光看待問題、用數(shù)學的思維去思考問題，獲得超越書本知識的數(shù)學學科核心素養(yǎng)．數(shù)學是思維的體操，教會學生用數(shù)學的方式去思維，遠遠比數(shù)學知識本身的教學更有意義．實施新課程教學，要求學生從“學會”到“會學”，即掌握知識，發(fā)展思維，形成能力，提升素養(yǎng)．要使學生“會學”最根本的一條就是要在傳授數(shù)學知識的同時，突出數(shù)學思維活動的過程，使數(shù)學教學真正成為數(shù)學思維活動的教學，在數(shù)學概念的建構(gòu)、數(shù)學定理(公式和法則)的發(fā)現(xiàn)、解題思路探索活動中，引領學生掌握數(shù)學思維的方法，學會理性思考，優(yōu)化數(shù)學思維的品質(zhì)，形成分析問題和解決問題的數(shù)學技能，使教材中的知識、思想和方法，通過教師精心設計，轉(zhuǎn)化為學生的智慧，使“培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)”的目標在課堂上落地生根．