“做數(shù)學(xué)”視域下的教學(xué)實(shí)踐探究
——以蘇科版八年級(jí)下“圖形的旋轉(zhuǎn)”教學(xué)為例*

卞煥清 呂小兵 (江蘇省南菁高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 214400)

王俊蓉 (江蘇省江陰市教師發(fā)展中心 214431)

“做數(shù)學(xué)”起源于上世紀(jì)國(guó)外科學(xué)學(xué)科實(shí)施的“Hands-on”學(xué)習(xí)計(jì)劃，我國(guó)于上世紀(jì)90年代在幼兒園和小學(xué)的科學(xué)教育中引入，后被引入中小學(xué)數(shù)學(xué)教育[1].“做數(shù)學(xué)”強(qiáng)調(diào)從實(shí)際生活出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生注意觀察周圍環(huán)境中的事物，鼓勵(lì)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題；引導(dǎo)學(xué)生自己設(shè)計(jì)操作、親身實(shí)驗(yàn)、實(shí)踐等活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷新的概念或者規(guī)律形成的過(guò)程，感悟思維和知識(shí)的發(fā)生過(guò)程.除了獲得知識(shí)結(jié)果以外，還能體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和探究問(wèn)題的基本路徑.當(dāng)前，“做數(shù)學(xué)”教育理念逐步進(jìn)入了研究者的視野，成為教育者關(guān)心的熱點(diǎn)議題之一.

“圖形的運(yùn)動(dòng)”貫穿于整個(gè)義務(wù)教育階段[2]，三個(gè)學(xué)段的課程目標(biāo)各不相同：第一學(xué)段讓學(xué)生感受平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱現(xiàn)象；第二學(xué)段讓學(xué)生體驗(yàn)簡(jiǎn)單圖形的運(yùn)動(dòng)過(guò)程；第三學(xué)段需要學(xué)生能夠探索并理解平面圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱.從“感受”到“體驗(yàn)”再到“探索、理解”，三個(gè)學(xué)段的課程目標(biāo)呈現(xiàn)螺旋上升，而初中階段聚焦探索和理解，需主動(dòng)、深入、系統(tǒng)地研究三種運(yùn)動(dòng)方式的共性和個(gè)性問(wèn)題.圖形的運(yùn)動(dòng)具有高度抽象性，難以直觀想象，因此“做數(shù)學(xué)”理念就成了應(yīng)然之選.

1 教材分析與設(shè)計(jì)理念

蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)中“圖形的旋轉(zhuǎn)”是繼平移之后學(xué)習(xí)的另一種圖形的基本變換，也是后續(xù)學(xué)習(xí)中心對(duì)稱圖形及其變化的基礎(chǔ).然而，對(duì)于旋轉(zhuǎn)的基本概念和性質(zhì)的探索，教師一般采用講授式或者利用動(dòng)畫演示進(jìn)行處理，學(xué)生很難體會(huì)旋轉(zhuǎn)概念的生成，無(wú)法明確旋轉(zhuǎn)的研究目標(biāo)，更無(wú)法直觀地感受到圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程中存在著哪些“變與不變”，導(dǎo)致學(xué)生很難用運(yùn)動(dòng)的眼光去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.為了解決這個(gè)矛盾，筆者基于“做數(shù)學(xué)”教學(xué)理念[3]，以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為抓手，讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，親身體會(huì)圖形旋轉(zhuǎn)概念和性質(zhì)的生成，建立圖形運(yùn)動(dòng)的研究體系.

本節(jié)課的設(shè)計(jì)理念：(1)從學(xué)生實(shí)際接觸、觀察到的現(xiàn)象出發(fā)，從具體到抽象，從感性到理性，從實(shí)際到理論，再用實(shí)踐去檢驗(yàn)理論，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)生活中的旋轉(zhuǎn)，進(jìn)而探索其性質(zhì)；(2)旋轉(zhuǎn)概念和性質(zhì)的探究是本節(jié)課的核心環(huán)節(jié)，整個(gè)探索過(guò)程充分體現(xiàn)“學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”，以探究式的教學(xué)方法為主，讓學(xué)生自主參與知識(shí)的生成；(3)作為初中階段研究的三種基本運(yùn)動(dòng)方式之一，同時(shí)也作為中心對(duì)稱圖形的章首課，課堂不應(yīng)僅僅止于旋轉(zhuǎn)知識(shí)的探索，也要幫助學(xué)生明確圖形的運(yùn)動(dòng)的研究目標(biāo)，更要幫助學(xué)生梳理研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般思路，真正提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

2 問(wèn)題設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)錄

2.1 提出問(wèn)題，明確目標(biāo)，生成研究問(wèn)題的知識(shí)體系

問(wèn)題1相信同學(xué)們都聽(tīng)過(guò)著名哲學(xué)家伏爾泰的一句話——“生命在于運(yùn)動(dòng).”我們的生活也因?yàn)楦鞣N各樣的運(yùn)動(dòng)而過(guò)得絢麗多彩，你能說(shuō)出下列生活場(chǎng)景體現(xiàn)出的運(yùn)動(dòng)方式嗎？能否給下列運(yùn)動(dòng)方式進(jìn)行分類呢？

圖1 生活中的運(yùn)動(dòng)

設(shè)計(jì)意圖社會(huì)、數(shù)學(xué)知識(shí)和學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課程發(fā)展影響的制約不是孤立的[4]，“做數(shù)學(xué)”強(qiáng)調(diào)從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生觀察日常生活中常見(jiàn)的事物，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題.本問(wèn)題通過(guò)生活場(chǎng)景喚醒學(xué)生對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)，能識(shí)別幾種運(yùn)動(dòng)方式并進(jìn)行歸類，同時(shí)趣味性的開(kāi)場(chǎng)白能夠活躍課堂氛圍，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

問(wèn)題2同學(xué)們，圖形的平移是我們學(xué)習(xí)過(guò)的內(nèi)容，我們是如何研究圖形的平移的？

設(shè)計(jì)意圖若是只將目標(biāo)聚焦于旋轉(zhuǎn)的研究，那么學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)知是碎片化的，無(wú)法對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)從整體上認(rèn)識(shí).事實(shí)上，平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是初中階段研究的三種基本運(yùn)動(dòng)方式，研究的基本路徑也保持一致.因此，筆者從課堂整體建構(gòu)理念出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生自主回憶圖形平移的相關(guān)知識(shí)，梳理圖形平移的研究路徑，讓學(xué)生在探索圖形的旋轉(zhuǎn)時(shí)“有路可循”.

2.2 自主探索，形成概念，體會(huì)知識(shí)生長(zhǎng)的基本過(guò)程

問(wèn)題3類比圖形平移的概念，你能從三個(gè)生活情境中說(shuō)出圖形旋轉(zhuǎn)的基本概念嗎？

問(wèn)題4讓我們用動(dòng)手操作來(lái)歸納圖形旋轉(zhuǎn)的概念，同時(shí)請(qǐng)思考，旋轉(zhuǎn)需要研究哪些要素？

設(shè)計(jì)意圖旋轉(zhuǎn)的概念和三要素是本節(jié)課要研究的一個(gè)重點(diǎn)，也是圖形旋轉(zhuǎn)研究的起點(diǎn)，無(wú)論是課件里的圖片還是精美的動(dòng)畫都無(wú)法讓學(xué)生直觀感受到旋轉(zhuǎn)過(guò)程的動(dòng)態(tài)變化.“做數(shù)學(xué)”理念下教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用材料和工具，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)操作、實(shí)驗(yàn)、實(shí)踐等活動(dòng)，讓學(xué)生能夠通過(guò)具身體驗(yàn)來(lái)獲得數(shù)學(xué)概念和性質(zhì).此環(huán)節(jié)通過(guò)細(xì)繩和砝碼設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)操作，讓學(xué)生上臺(tái)演示旋轉(zhuǎn)過(guò)程.在歸納出旋轉(zhuǎn)基本概念的同時(shí)也能明確旋轉(zhuǎn)需要研究的三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度，三者缺一不可.

問(wèn)題5同學(xué)們，我們已經(jīng)知道了旋轉(zhuǎn)的概念，下面我們要研究什么？

問(wèn)題6對(duì)于復(fù)雜圖形的旋轉(zhuǎn)，我們很難發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)，那么我們可以如何研究呢？

設(shè)計(jì)意圖旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本節(jié)課要研究的核心內(nèi)容，但是教師直觀的展示并不能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到為什么要研究以及如何研究“對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等”和“對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心連線所形成的角相等”.問(wèn)題5、6的拋出引導(dǎo)學(xué)生梳理研究問(wèn)題的一般路徑，即從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生從研究點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)開(kāi)始，再研究線段和三角形的旋轉(zhuǎn)(圖2).此處利用兩張疊合的半透明硫酸紙讓學(xué)生體驗(yàn)圖形的旋轉(zhuǎn)(圖3)，通過(guò)實(shí)踐操作探究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

圖2 圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的研究路徑

圖3 疊合的半透明硫酸紙

問(wèn)題7請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手操作，一起探索點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)有什么性質(zhì)？

設(shè)計(jì)意圖旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)變化讓學(xué)生無(wú)法直觀感受到旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，而講授式的教學(xué)也讓學(xué)生無(wú)法體會(huì)到旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的自然生成.“做數(shù)學(xué)”理念強(qiáng)調(diào)課堂的架構(gòu)應(yīng)該由淺入深，有序地探索復(fù)雜問(wèn)題.點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)是研究其他復(fù)雜圖形旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)，任何復(fù)雜圖形的旋轉(zhuǎn)都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行研究.其次旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)研究的就是在旋轉(zhuǎn)這個(gè)動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程中有哪些量是不變的，即“變中不變”.本環(huán)節(jié)中，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)較易發(fā)現(xiàn)，即對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，如圖4中OA=OA′，且∠AOA′即為旋轉(zhuǎn)角.點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)能夠幫助學(xué)生清晰地觀察到旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，為后續(xù)的探究打下基礎(chǔ).

圖4 點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)示意圖

問(wèn)題8對(duì)于線段的旋轉(zhuǎn)，同學(xué)們會(huì)探究了嗎？線段的旋轉(zhuǎn)具有哪些性質(zhì)呢？

追問(wèn)：和點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)不同的是，線段的旋轉(zhuǎn)要注意什么呢？

設(shè)計(jì)意圖旋轉(zhuǎn)中心位于旋轉(zhuǎn)三要素之首，是研究旋轉(zhuǎn)最先需確定的，但也是最容易忽視的，無(wú)序的探究往往也讓學(xué)生難以體會(huì)知識(shí)的內(nèi)在邏輯.在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生能夠自然聯(lián)想到的是旋轉(zhuǎn)中心在線段端點(diǎn)處的情況(圖5①)，這種情況下能夠得到如下發(fā)現(xiàn)：AB=AB′，且∠BAB′即為旋轉(zhuǎn)角.此時(shí)應(yīng)及時(shí)追問(wèn)：旋轉(zhuǎn)中心是否只能在線段端點(diǎn)處？在圖5②中不難有如下發(fā)現(xiàn)：AB=A′B′，OA=OA′，OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′(兩角均為旋轉(zhuǎn)角).在圖5③中可以有如下發(fā)現(xiàn)：AB=A′B′，OA=OA′，OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′.在探索的過(guò)程當(dāng)中，學(xué)生也能很自然地意識(shí)到旋轉(zhuǎn)和平移性質(zhì)之間的聯(lián)系和區(qū)別.

圖5 線段的旋轉(zhuǎn)示意圖

問(wèn)題9相信同學(xué)們會(huì)研究三角形的旋轉(zhuǎn)了，請(qǐng)大家動(dòng)手操作.

追問(wèn)：對(duì)于更復(fù)雜圖形的旋轉(zhuǎn)，同學(xué)們會(huì)探究了嗎？

設(shè)計(jì)意圖在系統(tǒng)地研究了線段旋轉(zhuǎn)性質(zhì)后，相對(duì)復(fù)雜的三角形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)也躍然紙上，旋轉(zhuǎn)中心分別在三角形邊上(圖6①)、在三角形內(nèi)部(圖6②)和在三角形外部(圖6③).學(xué)生也會(huì)聚焦旋轉(zhuǎn)角的相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心連線的長(zhǎng)度相等.對(duì)于更復(fù)雜圖形的旋轉(zhuǎn)，學(xué)生也會(huì)明確其探究路徑和需要探究的性質(zhì)，從而不僅積累了知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，還發(fā)展了能力.

圖6 三角形的旋轉(zhuǎn)示意圖

問(wèn)題10請(qǐng)歸納圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生在整個(gè)探究過(guò)程中歷經(jīng)了點(diǎn)、線段和三角形的旋轉(zhuǎn)的探究，教師需引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)三者的旋轉(zhuǎn)的共同性質(zhì).特別注意的是在探究過(guò)程中需要幫助學(xué)生明確旋轉(zhuǎn)是具有整體性的，即圖形上的每一個(gè)點(diǎn)均隨圖形的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn).

2.3 課堂小結(jié)，梳理框架，實(shí)現(xiàn)知識(shí)探究的整體架構(gòu)

問(wèn)題11你能說(shuō)出本節(jié)課我們經(jīng)歷了怎樣的學(xué)習(xí)過(guò)程，是如何來(lái)研究圖形的旋轉(zhuǎn)的？

設(shè)計(jì)意圖課堂小結(jié)環(huán)節(jié)幫助學(xué)生梳理課堂研究邏輯，但不能局限于課堂知識(shí)的呈現(xiàn)和整理，需進(jìn)一步突出類比思想在研究三種運(yùn)動(dòng)方式中的應(yīng)用，幫助學(xué)生梳理研究數(shù)學(xué)新知的一般線路.同時(shí)，研究路徑的梳理也能進(jìn)一步幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到初中階段圖形運(yùn)動(dòng)相關(guān)知識(shí)的整體性，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)是整體關(guān)聯(lián)的，并非碎片化的堆砌.

圖7 圖形的運(yùn)動(dòng)研究路徑

3 “做數(shù)學(xué)”理念下的教學(xué)反思

3.1 聚焦情境性和具身性，讓知識(shí)在動(dòng)手操作中生長(zhǎng)

“做數(shù)學(xué)”強(qiáng)調(diào)課堂教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生熟悉的生活實(shí)際出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生善于觀察，引發(fā)學(xué)生的共鳴，讓學(xué)生產(chǎn)生探索新知的內(nèi)在需求，進(jìn)而主動(dòng)參與到課堂探索中去.本節(jié)課從常見(jiàn)的生活場(chǎng)景出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生觀察生活中存在的運(yùn)動(dòng)方式，并依據(jù)運(yùn)動(dòng)方式的類型進(jìn)行歸納，引發(fā)學(xué)生思考：生活中常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)到底具有怎樣的性質(zhì)？由此激發(fā)學(xué)生探求問(wèn)題的興趣.

具身體驗(yàn)也是“做數(shù)學(xué)”的聚焦點(diǎn)，課堂教學(xué)中學(xué)生圍繞某個(gè)問(wèn)題開(kāi)展系列的動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)、歸納等實(shí)踐活動(dòng)，化動(dòng)態(tài)為靜態(tài)、化抽象為具體，感悟數(shù)學(xué)的基本思想.本節(jié)課中利用砝碼和細(xì)繩探索旋轉(zhuǎn)的基本概念和旋轉(zhuǎn)的三要素，利用半透明硫酸紙進(jìn)行旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的探索環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)和實(shí)踐.實(shí)驗(yàn)材料的易獲取性使得學(xué)生能夠在課堂有限的時(shí)間后，利用課后時(shí)間進(jìn)一步設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案并探索，培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)和操作發(fā)展解決問(wèn)題的能力.

3.2 緊扣主體性和交互性，讓學(xué)生在主動(dòng)學(xué)習(xí)中探索

“做數(shù)學(xué)”理念下課堂的主體是學(xué)生，知識(shí)、技能和能力的獲得最終都需要學(xué)生自我內(nèi)化.因此，整個(gè)課堂教學(xué)緊密圍繞學(xué)生的實(shí)踐活動(dòng)展開(kāi)，無(wú)論是旋轉(zhuǎn)的概念還是旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的歸納，都需要學(xué)生動(dòng)手操作，在進(jìn)一步的發(fā)現(xiàn)、歸納中獲得知識(shí).整個(gè)課堂中教師起到主導(dǎo)作用，并確保學(xué)生的主體性，引導(dǎo)學(xué)生探究旋轉(zhuǎn)的研究路線和確定實(shí)驗(yàn)方法；修正或改進(jìn)學(xué)生提出的方案.在旋轉(zhuǎn)性質(zhì)探究過(guò)程中，線段旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)中心的確定就需要教師不斷引導(dǎo)學(xué)生思考，探究旋轉(zhuǎn)中心位置的幾種可能性，不斷完善旋轉(zhuǎn)性質(zhì)探究的實(shí)驗(yàn)方案.

3.3 著眼開(kāi)放性和育人性，讓素養(yǎng)在數(shù)學(xué)研究中發(fā)展

“做數(shù)學(xué)”視域下的課堂預(yù)設(shè)是多元的，允許學(xué)生各抒己見(jiàn)，也容許學(xué)生“犯錯(cuò)”.學(xué)生不同想法的大膽表達(dá)往往能夠激發(fā)大家思考，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維，學(xué)生在交流過(guò)程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì).在本節(jié)課中，探究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的過(guò)程中應(yīng)設(shè)置多種預(yù)設(shè)，滿足學(xué)生開(kāi)放性探索的需求，特別是在探究三角形旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中到底有哪些變化的量、哪些不變的量，都需要學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)和歸納.

課堂教學(xué)不僅僅是為了幫助學(xué)生獲取數(shù)學(xué)原理和知識(shí)，更應(yīng)關(guān)注學(xué)生關(guān)鍵能力的提升和認(rèn)識(shí)世界的一般方法的掌握，這正是育人性的體現(xiàn).本節(jié)課不僅關(guān)注旋轉(zhuǎn)概念和性質(zhì)的探究，還通過(guò)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生梳理研究圖形運(yùn)動(dòng)的一般路徑，把握知識(shí)的整體脈絡(luò)，體會(huì)數(shù)學(xué)研究的一般方法.整個(gè)課堂需緊密圍繞學(xué)生自主設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案并動(dòng)手實(shí)踐，達(dá)成知識(shí)體系的建構(gòu)和能力的提升，實(shí)現(xiàn)課堂角色的“翻轉(zhuǎn)”，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)價(jià)值和學(xué)生思維的發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng).