從元認(rèn)知視角探究“數(shù)學(xué)寫作”*

鐘進(jìn)均 (廣東省廣州市鐵一中學(xué) 510440)

唐志威 (廣州大學(xué) 510006)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出，要重視學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)與交流能力的培養(yǎng)[1]．“數(shù)學(xué)寫作”是數(shù)學(xué)交流活動中的一種書面交流形式，正式將“數(shù)學(xué)寫作”納入新人教版高中數(shù)學(xué)教材，這突顯了“數(shù)學(xué)寫作”的重要性．本文將采用案例研究法，從元認(rèn)知視角對中學(xué)生數(shù)學(xué)寫作的一個案例進(jìn)行探究．

1 相關(guān)概念及界定

(1)元認(rèn)知的概念[2].1976年，弗拉維爾(Flavell,John H.)提出了“元認(rèn)知”這一術(shù)語．他指出，元認(rèn)知通常被廣泛地定義為任何以認(rèn)知過程與結(jié)果為對象的知識，或是任何調(diào)節(jié)認(rèn)知過程的認(rèn)知活動．元認(rèn)知的核心意義是對認(rèn)知的認(rèn)知．即認(rèn)知是認(rèn)知主體對自我心理狀態(tài)、能力、任務(wù)目標(biāo)、認(rèn)知策略等方面的認(rèn)識，同時元認(rèn)知又是認(rèn)知主體對自身各種認(rèn)知活動的計劃、監(jiān)控和調(diào)節(jié)．元認(rèn)知的關(guān)鍵概念是元認(rèn)知知識和元認(rèn)知體驗(yàn)．認(rèn)知主體對各種認(rèn)知活動的監(jiān)控正是通過元認(rèn)知知識、元認(rèn)知體驗(yàn)、目標(biāo)(或任務(wù))和行動(或策略)這四個方面的相互作用來實(shí)現(xiàn)的．

元認(rèn)知成分包括元認(rèn)知知識、元認(rèn)知體驗(yàn)和元認(rèn)知監(jiān)控．元認(rèn)知知識是人們具有的關(guān)于認(rèn)知活動的一般性認(rèn)識，是通過經(jīng)驗(yàn)積累起來的關(guān)于認(rèn)知的陳述性知識和程序性知識．元認(rèn)知知識分為三部分：①關(guān)于認(rèn)知個體的知識．指個體具有的有關(guān)自己和他人作為認(rèn)知加工者的所有知識，包括個體內(nèi)差異的認(rèn)識．②關(guān)于認(rèn)知任務(wù)的知識，即對在完成認(rèn)知任務(wù)或目標(biāo)中所涉及的各種有關(guān)信息的認(rèn)識．③關(guān)于認(rèn)知策略的知識，即對認(rèn)知過程中關(guān)于各種有關(guān)策略知識的認(rèn)識．元認(rèn)知體驗(yàn)是人們在從事認(rèn)知活動時產(chǎn)生的認(rèn)知和情感體驗(yàn)．元認(rèn)知體驗(yàn)和元認(rèn)知知識相輔相成．弗拉維爾指出，元認(rèn)知知識與元認(rèn)知體驗(yàn)具有部分重疊，某些元認(rèn)知體驗(yàn)具有元認(rèn)知知識的成分，而某些元認(rèn)知知識可上升為意識并形成相應(yīng)的元認(rèn)知體驗(yàn)．持續(xù)而穩(wěn)定的元認(rèn)知體驗(yàn)可能成為元認(rèn)知知識，而元認(rèn)知知識又指導(dǎo)著元認(rèn)知體驗(yàn)，并在一定程度上成為元認(rèn)知體驗(yàn)的內(nèi)容．在完成認(rèn)知任務(wù)的過程中，元認(rèn)知知識和元認(rèn)知體驗(yàn)相互作用，互為補(bǔ)充，逐漸完善，最終完成認(rèn)知過程．元認(rèn)知監(jiān)控指個體在進(jìn)行認(rèn)知活動的全過程中，對自我認(rèn)知活動進(jìn)行積極、自覺的監(jiān)視、控制和調(diào)節(jié)．元認(rèn)知監(jiān)控就是自我監(jiān)控，必須建立在個體具備一定的元認(rèn)知知識和元認(rèn)知體驗(yàn)的基礎(chǔ)上才能進(jìn)行．元認(rèn)知知識和元認(rèn)知體驗(yàn)在學(xué)習(xí)中的價值體現(xiàn)，必須通過元認(rèn)知監(jiān)控去實(shí)現(xiàn)．

(2)“數(shù)學(xué)寫作”的界定.數(shù)學(xué)交流活動是指在數(shù)學(xué)教與學(xué)過程中學(xué)生之間、教師與學(xué)生之間以提高數(shù)學(xué)交流能力為目的的活動，包括口頭交流和書面交流兩種形式．“數(shù)學(xué)寫作”是以提高核心素養(yǎng)為目標(biāo)，將自己對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的認(rèn)識與理解、對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的感想與體會用文字表達(dá)出來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，是數(shù)學(xué)交流活動的書面交流形式．[3]

2 基于元認(rèn)知視角的“數(shù)學(xué)寫作”案例探究

為了體現(xiàn)本研究的真實(shí)性和科學(xué)性，本文將理論與實(shí)踐相結(jié)合，完整如實(shí)地呈現(xiàn)一篇高一學(xué)生的數(shù)學(xué)寫作作品，從元認(rèn)知視角來探究數(shù)學(xué)寫作．

2.1 學(xué)生數(shù)學(xué)寫作的案例展示

第一個寫下數(shù)學(xué)日記，想想都會有些小興奮．從數(shù)學(xué)日記中，相信我能夠靜下心好好思考平時疏忽的東西，不僅對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有極大幫助，甚至對未來的學(xué)習(xí)、工作都有所裨益．盡管所學(xué)知識點(diǎn)不多，所做習(xí)題也較少，但我仍找到了一些有價值的東西．

問題1已知f(x)為一次函數(shù)，且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)．

剛看到這種題，我明明知道一次函數(shù)是一個很重要的條件，卻感到無從下手，甚至用參考書上一些復(fù)雜的方法求解都無法完成，但沒想到這道題沿用的卻是初中的y=kx+b的式子．

盡管想到初中的方法之后，問題顯得簡單明了，但仍要注意不要混淆括號中的字母運(yùn)算順序，同樣運(yùn)用轉(zhuǎn)換的思想，如代入時x的變化．當(dāng)然，光是一道題無法引起深度的思考．

問題2已知二次函數(shù)f(x)滿足f(0)=0，且對任意x∈R有f(x+1)=f(x)+x+1，求f(x)．

出現(xiàn)在不同試卷的類似題，往往需要引起注意：重復(fù)出這一類型的題目意義何在？

這道題并不算難題，只要熟悉了便不成問題，但我卻從中發(fā)現(xiàn)了一些值得注意的地方．

(1)往往題目給的條件不多，這時需要我們將所涉及的知識點(diǎn)仔細(xì)思考，確保不遺漏易錯點(diǎn)，也不要去將關(guān)系不大的地方挖深，既浪費(fèi)時間，又難有成效．

(2)一些題目需要化簡為繁，再由繁入簡，最簡單的如解方程，便是自己創(chuàng)造條件，再由已知得出結(jié)論，比如函數(shù)f(x)=x2-2x+10，可化為f(x)=x2-2x+1+ 9=(x-1)2+9．

(3)由以上二例可以看出，進(jìn)入高中階段，對初中的一些知識也就有了更好更全面的理解，高一的方法想必多與初中相近，應(yīng)多思考．如函數(shù)的單調(diào)性就是“對y隨著x增大而增大”更好的詮釋，揣摩一下，也會受益良多．

對于數(shù)學(xué)寫作這種記錄的形式是知識的再一次梳理與加深，往往難題只是源于我們目光太過狹隘，多思考，想法更全面，把握題目前后的關(guān)聯(lián)是學(xué)好數(shù)學(xué)的訣竅，也是以后生活、工作的一大準(zhǔn)則．

2.2 基于元認(rèn)知視角的案例探究

(1)數(shù)學(xué)寫作有助于拓展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的元認(rèn)知知識.元認(rèn)知知識作為元認(rèn)知結(jié)構(gòu)中重要的成分之一，是通過經(jīng)驗(yàn)積累起來的關(guān)于認(rèn)知的陳述性知識和程序性知識．該案例中，學(xué)生在解決問題1時表述“明知道一次函數(shù)是一個很重要的條件，仍感到無從下手，甚至用參考書上一些復(fù)雜的方法求解都無法完成”，說明他能明晰“一次函數(shù)”的重要性，卻不知如何用該條件.從元認(rèn)知視角分析，即“一次函數(shù)”條件未能激發(fā)學(xué)生元認(rèn)知策略知識，學(xué)生缺少對一次函數(shù)使用策略的有關(guān)認(rèn)知，從而導(dǎo)致解題失?。?dāng)該生頓悟后，寫出了問題解決所需的“一次函數(shù)解析式”數(shù)學(xué)知識、“轉(zhuǎn)化與化歸”的數(shù)學(xué)思想方法以及解題中每個過程的目的，這一過程暴露了學(xué)生的思考過程，其中呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)生平時學(xué)習(xí)所積累的，屬于陳述性知識，而展示的解題過程實(shí)際上為該生如何解決問題的思維過程，屬于程序性知識．因此，數(shù)學(xué)寫作能將學(xué)生元認(rèn)知知識完整呈現(xiàn)出來，并暴露該學(xué)生所處的元認(rèn)知知識水平，還有助于鞏固和拓展學(xué)生的元認(rèn)知知識．

(2)數(shù)學(xué)寫作能增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的元認(rèn)知體驗(yàn).從元認(rèn)知體驗(yàn)視角來看，學(xué)生在數(shù)學(xué)寫作過程中產(chǎn)生了多次認(rèn)知和情感體驗(yàn)變化．從案例中可知該生在數(shù)學(xué)寫作時非常激動，因?yàn)樗前鄡?nèi)首位進(jìn)行數(shù)學(xué)寫作的學(xué)生，他的作品還可以供后續(xù)的同學(xué)參考和學(xué)習(xí)，這在心靈上給予了他一定的成就感和幸福感，但同時也給他帶來了一定的壓力，迫使他要追求數(shù)學(xué)寫作的質(zhì)量．學(xué)生最初對問題1“無從下手”，不難分析出此刻他內(nèi)心會產(chǎn)生一些困惑和焦慮；而當(dāng)學(xué)生頓悟后，從他陳述的“沒想到這道題沿用的卻是初中的y=kx+b的式子”這句話易知，學(xué)生此時非常驚訝；再當(dāng)其確認(rèn)自己能成功解決同一類型的題后，順勢總結(jié)出對該類型問題的思考以及“學(xué)好數(shù)學(xué)的訣竅，生活、工作的一大準(zhǔn)則”的感想，從中可看出他內(nèi)心此時此刻的喜悅之情．由此可知，學(xué)生在整個數(shù)學(xué)問題解決過程中，經(jīng)歷了由最初的焦慮感到問題解決后的成就感和幸福感．因此，數(shù)學(xué)寫作給學(xué)生搭建了一個抒發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感體驗(yàn)的平臺，讓他們體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功和幸福，從而激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的元認(rèn)知體驗(yàn)．

(3)數(shù)學(xué)寫作能提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的元認(rèn)知監(jiān)控能力[4].元認(rèn)知監(jiān)控伴隨著整個數(shù)學(xué)寫作過程，通過元認(rèn)知知識、元認(rèn)知體驗(yàn)的交互作用來實(shí)現(xiàn)，同時它也是一個動態(tài)過程．首先，學(xué)生會制定詳細(xì)的寫作計劃，保證寫作內(nèi)容從始至終不會偏離數(shù)學(xué)這個大主題，這其實(shí)就是學(xué)生自我監(jiān)控的過程，時刻監(jiān)控著寫作任務(wù)和目的．其次，該生在解決問題1后又找了一道同類型題，繼續(xù)沿用問題1的解題策略進(jìn)行求解，最后確認(rèn)自己已成功突破此類題．由此可知，該生能自我判斷策略知識的有效性，并通過舉一反三來正確評估自己對策略知識的掌握程度，體現(xiàn)出他在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中有較好的監(jiān)控能力．除此之外，口頭交流往往會自帶一定的情景，即使口頭說得不是很清楚，聽者往往也會明晰其含義，而書面表達(dá)則需要把前因后果表達(dá)清楚才能使閱讀者看懂，因此書面表達(dá)一般要比口頭交流更困難．?dāng)?shù)學(xué)寫作是一種書面表達(dá)形式，這表明學(xué)生需要時刻監(jiān)控文字、數(shù)學(xué)語言表達(dá)是否規(guī)范、是否有誤、是否嚴(yán)謹(jǐn)、是否通俗易懂、前后邏輯是否清晰等等．該案例中呈現(xiàn)的寫作思路清晰，書寫規(guī)范，書面表述也通俗易懂，由此體現(xiàn)了該學(xué)生的元認(rèn)知監(jiān)控能力較好，具備良好的元認(rèn)知策略，也說明了數(shù)學(xué)寫作對學(xué)生的元認(rèn)知監(jiān)控能力的培養(yǎng)具有促進(jìn)作用，能提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的元認(rèn)知監(jiān)控能力．

3 從“學(xué)”與“教”的角度窺探數(shù)學(xué)寫作

史寧中教授曾說：“學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，要能用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界．”[5]從一定程度上來講，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并不只學(xué)數(shù)學(xué)中的陳述性知識和機(jī)械的數(shù)學(xué)解題策略，而更應(yīng)該學(xué)會數(shù)學(xué)地思考問題，提高數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力．教學(xué)是“教”與“學(xué)”的兩個過程，相輔相成．而數(shù)學(xué)寫作作為一種教學(xué)交往的工具，既可以促進(jìn)學(xué)生的“學(xué)”，同時也能進(jìn)一步優(yōu)化教師的“教”．

(1)數(shù)學(xué)寫作是展示學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識和情感抒發(fā)的平臺[6].在上述案例中，學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)寫作時，他會搜索記憶中與“一次函數(shù)”和“二次函數(shù)”相關(guān)的數(shù)學(xué)知識以及數(shù)學(xué)思想方法，接著進(jìn)行知識提取，這個過程就包含著數(shù)學(xué)知識的回憶和推理，這種推理的過程會進(jìn)一步鞏固和拓展學(xué)生的元認(rèn)知知識．另外，數(shù)學(xué)寫作還給學(xué)生提供了一個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感抒發(fā)的平臺．學(xué)生可通過數(shù)學(xué)寫作宣泄不良情緒和學(xué)習(xí)壓力，對自己的缺陷與情感經(jīng)歷會有一種新的、正確的認(rèn)知，這樣可以讓學(xué)生能以一種積極的態(tài)度來面對接下來的學(xué)習(xí)；同時，數(shù)學(xué)寫作也可以是一個分享學(xué)習(xí)喜悅的渠道．學(xué)生通過數(shù)學(xué)寫作表達(dá)其對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的愉悅感與成就感，從而進(jìn)一步激發(fā)其對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣．因此，數(shù)學(xué)寫作暴露了該學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的內(nèi)部思維過程以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的情感體驗(yàn)，而這恰好對學(xué)生元認(rèn)知水平的提高具有很好的促進(jìn)作用．

(2)數(shù)學(xué)寫作能優(yōu)化教師的教學(xué)策略，提升教學(xué)質(zhì)量.對教師而言，選擇教學(xué)方式和教學(xué)內(nèi)容的重要依據(jù)就是對學(xué)生的了解，而數(shù)學(xué)寫作可以為教師提供及時和充足的反饋信息，并有助于教師進(jìn)行更好的教學(xué)決策，還可以幫助教師去評估一些其他評價方法和評價工具難以評量或不予關(guān)注的東西．比如在上述案例中，學(xué)生在解決問題1時明知道“一次函數(shù)”非常重要，但就是不知道怎么用，此時教師可以分析出這位學(xué)生數(shù)學(xué)基本功還不夠扎實(shí)，同時還可推測出還有其他學(xué)生可能與該學(xué)生有類似的情況，那么教師在講課時需注意復(fù)習(xí)與本題相關(guān)的初中數(shù)學(xué)內(nèi)容，讓這部分學(xué)生能夠及時鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．除此之外，從上述案例分析中可知，該生在進(jìn)行數(shù)學(xué)寫作和數(shù)學(xué)問題解決過程中由困惑感、焦慮感，到最終問題解決的喜悅感，并且還自行總結(jié)出了“以后生活、工作的一大準(zhǔn)則”，呈現(xiàn)了一種積極向上的學(xué)習(xí)態(tài)度，且超越了學(xué)科知識，上升到了人生哲理的層面，而這些內(nèi)容是平時的數(shù)學(xué)作業(yè)和考試中看不到的．因此，數(shù)學(xué)教師要及時對該生的行為進(jìn)行積極的評價和鼓勵，讓學(xué)生繼續(xù)保持努力向上的態(tài)度，與此同時，也能促進(jìn)教師的教學(xué)反思，讓教師明晰教學(xué)生不但要教會學(xué)生數(shù)學(xué)知識，更重要的是教學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維去思考人生．

4 小結(jié)與展望

本研究從元認(rèn)知視角探究數(shù)學(xué)寫作，可知數(shù)學(xué)寫作有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的元認(rèn)知水平，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感體驗(yàn)，并有助于教師教學(xué)策略的優(yōu)化，推動教師的專業(yè)成長，為實(shí)現(xiàn)“教與學(xué)”的雙贏提供了一條新的途徑．目前，很多研究者在數(shù)學(xué)寫作領(lǐng)域發(fā)表了很多優(yōu)秀的成果，但就如何更有效地利用和發(fā)揮中學(xué)數(shù)學(xué)寫作的作用，還有待進(jìn)一步探究．