立足學(xué)生認(rèn)知發(fā)展 提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)
——以“探索確定位置的方法”教學(xué)設(shè)計(jì)為例

林琪瑜 (浙江省溫州市南浦實(shí)驗(yàn)中學(xué) 325000)

2021年9月，在浙江溫州市南浦實(shí)驗(yàn)中學(xué)校級公開課上，筆者執(zhí)教了“探索確定位置的方法”(浙教版數(shù)學(xué)八年級上冊第四章第1節(jié))，以知識內(nèi)容為載體，設(shè)計(jì)貼近實(shí)際的生活情境，為學(xué)生在探索中自主發(fā)現(xiàn)并構(gòu)建數(shù)學(xué)知識提供渠道，同時(shí)將數(shù)學(xué)抽象這一核心素養(yǎng)的發(fā)展寓于情境活動(dòng)與學(xué)生的體驗(yàn)歸納中．學(xué)生在經(jīng)歷中展開數(shù)學(xué)感知與思維，在潛移默化中提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，取得了良好的數(shù)學(xué)教學(xué)效果．

1 解讀教材，分析學(xué)情，確定教學(xué)目標(biāo)

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是在小學(xué)介紹了確定物體位置的兩種常用方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，但學(xué)生對于方法的認(rèn)識并不深入，未達(dá)到對生活實(shí)際進(jìn)行抽象的水平．在八年級的數(shù)學(xué)教材編排中，探索確定位置的方法重在“探索”“確定位置”，且探究體驗(yàn)與升華建構(gòu)的過程還有助于學(xué)生體會(huì)坐標(biāo)思想、數(shù)形結(jié)合思想等，從知識內(nèi)容層面、或從數(shù)學(xué)思想層面而言，它又是后續(xù)平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)等內(nèi)容的重要準(zhǔn)備與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)．從整個(gè)學(xué)習(xí)進(jìn)程而言，學(xué)生的新知識在舊知識上生長，內(nèi)容螺旋式上升，達(dá)到不斷強(qiáng)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)的目的，這是符合學(xué)習(xí)的認(rèn)知規(guī)律的．從學(xué)情方面分析，在小學(xué)四、六年級，學(xué)生已學(xué)習(xí)了確定位置的方法，但是對數(shù)的認(rèn)識較為局限，而八年級的學(xué)生已將數(shù)域拓寬到實(shí)數(shù)范圍，所以如何在“似曾相識”的內(nèi)容上激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要性是該節(jié)課要解決的問題．在七年級，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)軸的學(xué)習(xí)后能準(zhǔn)確地在一維上確定位置，但是如何在二維中透徹了解確定位置方法的本質(zhì)，提升對有序數(shù)對的認(rèn)識是本節(jié)課需要突破的．

因此確定這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：探索確定平面上物體位置的方法，能用有序?qū)崝?shù)對和方向、距離表示平面上點(diǎn)的位置；體驗(yàn)有序?qū)崝?shù)對和方向、距離表示法中的數(shù)形結(jié)合思想、感受數(shù)對表示形式的坐標(biāo)思想；體會(huì)數(shù)學(xué)來源并應(yīng)用于生活，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，發(fā)展應(yīng)用意識．教學(xué)重點(diǎn)：探索確定位置的兩種常用方法．教學(xué)難點(diǎn)：有序數(shù)對從實(shí)際到抽象平面的轉(zhuǎn)化．

2 主要教學(xué)過程

2.1 游戲?qū)耄ぐl(fā)興趣

師：我們一起來玩一個(gè)“你說我猜”游戲吧！我需要兩個(gè)小助手．

規(guī)則要求：(1)乙面向同學(xué)；(2)甲向乙描述某點(diǎn)的位置，大家安靜傾聽、觀察；(3)乙轉(zhuǎn)身確定該點(diǎn)的位置．

教師用幻燈片展示：點(diǎn)O，點(diǎn)A，請描述點(diǎn)A的位置．

生1：點(diǎn)A在點(diǎn)O右邊20 cm處．

生2：確定并指出A點(diǎn)位置．

教師用幻燈片展示：點(diǎn)O，點(diǎn)B，請描述點(diǎn)B的位置．

生1：點(diǎn)B在點(diǎn)O東北方向15 cm處．

生2：確定并指出B點(diǎn)位置．

師(過渡)：我們發(fā)現(xiàn)剛才對點(diǎn)A,B的兩種描述都涉及2個(gè)量(方向、距離)，那么我們今天就一起來探索確定位置的方法．

設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)游戲?qū)耄軌蜉^快地調(diào)動(dòng)學(xué)生的注意力．對于“傳話”表達(dá)位置這一問題，學(xué)生會(huì)盡可能地去表達(dá)，教師則有意識地把學(xué)生的生成留在黑板上，也為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)提供了一條線索與思路．同時(shí)，為方位描述意識稍有模糊的學(xué)生回憶舊知，為精確、到位的敘述作鋪墊．

2.2 方向距離，玩中獲知

(1)游戲歸納

師：我們?nèi)绾我?guī)范地描述B相對于O的位置呢？

生3：點(diǎn)B在點(diǎn)O東北方向15 cm處．

師：剛才他的回答是以什么為參照點(diǎn)的？確定參照點(diǎn)后要做什么？

生4：此時(shí)是以點(diǎn)O為參照點(diǎn)，需要建立東西南北的方向，然后，測得方向與距離．

師：所以我們就可以這樣描述一個(gè)點(diǎn)的位置——如“B在O的北偏東…° … cm處”(板書)．假如確定了參照點(diǎn)，平面上任一點(diǎn)的位置都可以描述嗎？這種描述下對應(yīng)的位置是唯一的嗎？

師生共同得出：一一對應(yīng)．用方向、距離可以確定平面上一點(diǎn)的位置．

圖1

設(shè)計(jì)意圖在游戲的導(dǎo)入作用仍延續(xù)的教學(xué)環(huán)節(jié)中，讓游戲的作用性放大，而非單純引入課題．方向距離法是學(xué)生已經(jīng)接觸過的內(nèi)容，而游戲的回瞻、教師的問題引導(dǎo)能更快地幫助學(xué)生自主得到方向距離法的概念．

(2)地點(diǎn)應(yīng)用

師：請大家完成學(xué)習(xí)單方法應(yīng)用一(圖1)．

1)怎樣表述其他地點(diǎn)相對南浦實(shí)驗(yàn)的位置?

生5：交警支隊(duì)在南浦實(shí)驗(yàn)的北偏東45° 900 m處．

生6：南浦小學(xué)在南浦實(shí)驗(yàn)的南偏東20° 800 m處．

生7：二十一中在南浦實(shí)驗(yàn)中學(xué)的南偏西57° 1 400 m處．

2)第一問的參照點(diǎn)在哪里？選用的是哪種描述方式？南浦實(shí)驗(yàn)中學(xué)相對于二十一中的位置怎么表述？

生8：南浦實(shí)驗(yàn)．方向距離法．南浦實(shí)驗(yàn)中學(xué)在二十一中的北偏東57° 1 400 m處．

設(shè)計(jì)意圖對知識掌握度的檢驗(yàn)是將其應(yīng)用出來，本環(huán)節(jié)問題的設(shè)計(jì)以當(dāng)?shù)貙W(xué)校周圍的建筑為素材，創(chuàng)造應(yīng)用情境，將課堂還給學(xué)生的同時(shí)也讓學(xué)生貼近實(shí)際生活，情境條件由學(xué)生創(chuàng)設(shè)．學(xué)生通過對問題的解決一方面鞏固了知識要點(diǎn)，另一方面能提高對生活中的數(shù)學(xué)觀察感知力，累積經(jīng)驗(yàn)．

(3)環(huán)節(jié)小結(jié)

師：剛才我們在用方向距離法確定一點(diǎn)的位置時(shí)，你覺得使用方向距離法確定位置的步驟有哪些？關(guān)鍵點(diǎn)什么？

師生共同完善：參照點(diǎn)—方位圖—連線—量方向、距離．板書小結(jié)：1找—2畫—3測—4寫．

2.3 有序數(shù)對，體驗(yàn)建構(gòu)

(1)座位探索

師：剛才我們學(xué)了方向距離法，其實(shí)呀，生活中還有其他確定位置的方法.現(xiàn)在將目光轉(zhuǎn)移到我們教室，比如，你通常習(xí)慣如何描述自己在教室中的位置呢？

師:請生9(該生位置為第四排第三列)來說說看，你會(huì)習(xí)慣怎么描述自己的位置呢？

生9：第三列第四排．

師：(板書學(xué)生的敘述并追問)這樣寫比較麻煩，有更簡潔的表示方式嗎？

生10：(上臺書寫)43．

師(追問)：是表示位置嗎？這兩個(gè)數(shù)是整體嗎？數(shù)與數(shù)之間需要隔開嗎？

師生共同得到(4,3)．

師：所以我們就可以嘗試用數(shù)對來表示一個(gè)位置．C同學(xué)除了是第3列第4排，可以說是第4排第3列嗎？(邊說邊板書)“C：第3列第4排”，那這樣也有更簡潔的表示方式嗎？

生11：(3,4)．

師(追問)：這樣會(huì)出現(xiàn)什么問題呢？

生11：可以簡單化，但不對了，會(huì)出現(xiàn)一個(gè)數(shù)對對應(yīng)兩個(gè)點(diǎn)的位置的情況．

師：是的，此時(shí)一個(gè)位置會(huì)對應(yīng)不同的數(shù)對，正因?yàn)檫@種表示是一種數(shù)學(xué)語言，所以我們可以先“規(guī)定”，如先列后行“(列，行)”，我們把這樣的數(shù)對叫做“有序數(shù)對”．

師：那請問按照我們的規(guī)定，真正的(4,3)同學(xué)的位置在哪里呢？請你起立．(生(4,3)起立)

設(shè)計(jì)意圖從生活中常見的找座位入手，以自身的位置描述展開，學(xué)生的課堂參與度能大幅提高．教師在學(xué)生的回答生成中推進(jìn)后續(xù)的問題，期望學(xué)生能自主發(fā)現(xiàn)問題沖突，鍛煉學(xué)生的思考全面性．同時(shí)，設(shè)計(jì)由學(xué)生自主給出簡潔的表示方式，也是為了訓(xùn)練學(xué)生從具體情境中抽象出“橫縱軸”(列、排)觀念的能力，從而實(shí)現(xiàn)文字語言到數(shù)學(xué)抽象語言的轉(zhuǎn)化．

(2)座位應(yīng)用

圖2

師：現(xiàn)在大家能在圖2上找到自己的位置嗎？

按照我們之前規(guī)定的起始列、起始排，參照點(diǎn)在哪？這位參照同學(xué)是什么數(shù)對？

生12指出該同學(xué)(1,1)．

任務(wù)1：現(xiàn)在按剛才大家的規(guī)定，請寫出表示自己位置的有序數(shù)對，并左右同桌交流．

(教師巡視學(xué)生的情況，及時(shí)給予反饋指導(dǎo))

教師請一斜列學(xué)生回答自己的有序數(shù)對，為后面不同的參照點(diǎn)活動(dòng)做準(zhǔn)備．

任務(wù)2：現(xiàn)在如果以C同學(xué)為參照點(diǎn)(1,1)，大家能再寫出表示自己位置的有序數(shù)對嗎？請大家寫在學(xué)習(xí)單空白處，并交流．(教師巡視了解學(xué)生的情況，及時(shí)給予反饋指導(dǎo))

教師再請同一斜列學(xué)生回答自己的有序數(shù)對.

師：為什么這些同學(xué)現(xiàn)在的有序數(shù)對和剛才不一樣了呢？

生13：因?yàn)閰⒄拯c(diǎn)變了．對于不同的參照點(diǎn)，位置的表示數(shù)對不同．

設(shè)計(jì)意圖練習(xí)能夠加深知識的理解，明確有序數(shù)對方法的使用規(guī)則與要求．而任務(wù)1、2的設(shè)置延續(xù)了探索新知中的情境，在同樣的環(huán)境下完成對知識的全面認(rèn)知，能更大限度地利用好“就地取材”的背景．從“位置”到“數(shù)對”的互相轉(zhuǎn)化，學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的一一對應(yīng)思想；從參照點(diǎn)的改變到位置表示方法的改變，又進(jìn)一步讓學(xué)生感受到參照的必要性、結(jié)果的相對性，形成辯證觀．

(3)環(huán)節(jié)小結(jié)

師：通過剛才的活動(dòng)，你覺得使用有序數(shù)對法確定位置的步驟有哪些？關(guān)鍵點(diǎn)什么？

生共同完善：參照點(diǎn)—數(shù)對次序—計(jì)數(shù)．板書小結(jié)：1找—2定—3寫．

2.4 校本應(yīng)用，綜合提升

師：過幾天將迎來我們的“新生游園活動(dòng)”，學(xué)習(xí)單上是我們校內(nèi)建筑的分布，你能為新生介紹學(xué)校內(nèi)部各地的分布嗎？嘗試回答下列問題．若規(guī)定列在前、行在后．

圖3

(1)在圖3上用有序數(shù)對表示學(xué)校各建筑物位置；(2)輔助樓相對于浦西樓或教學(xué)樓的位置可以怎么描述？(3)利用今天學(xué)習(xí)的知識，請你在圖3上自主選擇不同的方法對“新生游園活動(dòng)”中各建筑物的位置進(jìn)行標(biāo)識．

先由學(xué)生獨(dú)立完成問題，教師巡視，再請學(xué)生上臺投影展示，教師點(diǎn)評，再次鞏固本節(jié)課的知識及其包含的各個(gè)要素．

設(shè)計(jì)意圖針對學(xué)情、校情設(shè)計(jì)校本練習(xí)，旨在讓學(xué)生訓(xùn)練有序數(shù)對法與方向距離法的同時(shí)，也幫助他們對學(xué)校有更多的了解，對實(shí)際方位有更準(zhǔn)確的認(rèn)知，而非局限于書本的虛設(shè)情境或離學(xué)生較遠(yuǎn)的情境．在積累了確定位置方法的經(jīng)驗(yàn)后，學(xué)生在第3問中能自主選擇方法對建筑的位置進(jìn)行數(shù)學(xué)化抽象，將位置進(jìn)行符號化表征．對于有序數(shù)對法中參照點(diǎn)的不確定，也為下節(jié)課平面直角坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)作了鋪墊．

2.5 回顧思考，反饋同化

引導(dǎo)式提問小結(jié)：(1)確定平面上點(diǎn)的位置有哪幾種常用的方法？(2)在平面上確定物體(點(diǎn))的位置的步驟有哪些？(3)為什么給出2個(gè)數(shù)就恰好可以確定一個(gè)點(diǎn)呢？你能對確定點(diǎn)的這一過程加以解釋嗎？(4)當(dāng)參照點(diǎn)、描述方式、數(shù)對次序都確定好后，平面上的點(diǎn)與有序數(shù)對是否一一對應(yīng)？(5)你覺得用有序數(shù)對表示物體(點(diǎn))的位置有何意義呢？

學(xué)生自主回答，教師補(bǔ)充完善．

師：點(diǎn)不能運(yùn)算，而數(shù)可以，若能使數(shù)與點(diǎn)一一對應(yīng)，就可以將點(diǎn)轉(zhuǎn)化為數(shù)，從而用代數(shù)來研究幾何．這就是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾的想法.借助有序數(shù)對，幾何上的點(diǎn)就可以與數(shù)一一對應(yīng)，我們就能用代數(shù)的可計(jì)算性來研究幾何.

設(shè)計(jì)意圖以問題清單的形式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極思考、回顧本節(jié)課所學(xué)，從學(xué)習(xí)的探索過程及發(fā)現(xiàn)它們之間的表征、共性、意義，都有助于學(xué)生體驗(yàn)獲得知識的成就感，增強(qiáng)反思的意識．兩個(gè)量即可確定點(diǎn)的說明，本質(zhì)蘊(yùn)涵交軌思想；數(shù)學(xué)家故事的代入令學(xué)生再次感受人文熏陶．

3 反思教學(xué)實(shí)踐，體悟教育之道

3.1 貼近真實(shí)情境，建構(gòu)生活數(shù)學(xué)

有趣的學(xué)習(xí)環(huán)境能更好地帶領(lǐng)學(xué)生融入數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)與學(xué)習(xí)過程，以支持學(xué)習(xí)的積極性．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》中強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)素材的選用應(yīng)在反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的前提下盡可能地貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，如生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)，這樣易使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的價(jià)值和趣味，利于他們經(jīng)歷從真實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)知識與方法的過程[1]．本節(jié)課從“你說我猜”游戲?qū)?，一改單純師生問答的引入方式，調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的活躍度，從“要我學(xué)”變成“我要學(xué)”．教學(xué)過程中，關(guān)注學(xué)生從生活情境發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)并應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，從周邊地點(diǎn)、教室座位、校內(nèi)建筑，幫助學(xué)生從來源于生活的問題情境中體驗(yàn)實(shí)際問題“數(shù)學(xué)化”的歷程，在主動(dòng)建構(gòu)的活動(dòng)中獲得知識[2]．學(xué)生在有意義的情境定位問題中自發(fā)提煉確定位置的方法，形成數(shù)學(xué)概念與方法，自然轉(zhuǎn)化到抽象平面中去，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律、遵循數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律．

3.2 著力鉆研教材要點(diǎn)，注重?cái)?shù)學(xué)過程探究

研讀教材后，發(fā)現(xiàn)小學(xué)時(shí)期的理解大多在依賴于形象思維，在表述、數(shù)域、應(yīng)用范圍上存在局限，而八年級學(xué)生的知識擴(kuò)充了，有一定的抽象能力，教材采取螺旋上升式的學(xué)習(xí)使學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)化、規(guī)范化．因此本節(jié)課的重點(diǎn)落在“探索”“確定”上，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中積累抽象橫縱序列的經(jīng)驗(yàn)，在過程中建構(gòu)規(guī)范化的概念，獲得抽象的數(shù)學(xué)表征意識．過程采用學(xué)生主體的發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)，在探索、確定自己位置的3個(gè)小活動(dòng)中，先嘗試表達(dá)，再組合規(guī)范．對于唯一性、一一對應(yīng)的要求，再次通過教室座位活動(dòng)經(jīng)歷認(rèn)識沖突，發(fā)現(xiàn)新的知識表征要求．在明確教材起點(diǎn)與拔高點(diǎn)的基礎(chǔ)上，注重“學(xué)習(xí)過程”的獲得，既尊重學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，又遵循知識的本源．在“確認(rèn)位置方法”環(huán)節(jié)，以學(xué)生原有的知識為起點(diǎn)推動(dòng)其生長；在“嘗試方法應(yīng)用”環(huán)節(jié)，學(xué)生參與到現(xiàn)實(shí)問題的解決中，在數(shù)學(xué)化中體會(huì)蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想；在“小結(jié)回顧方法”環(huán)節(jié)，通過問題驅(qū)動(dòng)，寓探索提升、過程學(xué)習(xí)于反思回顧中．“校本問題解決”環(huán)節(jié)，教師贊同學(xué)生的表示方法，同時(shí)對有序數(shù)對法進(jìn)行應(yīng)用引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生通過選擇不同參照點(diǎn)，表示對應(yīng)建筑的位置．從問題出發(fā)牽引學(xué)生，一方面讓學(xué)生獲得解決問題的成就感，另一方面也在探究應(yīng)用中滲透平面直角坐標(biāo)系的思想．

3.3 明確認(rèn)知形成過程，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容設(shè)計(jì)要求符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)，符合學(xué)生現(xiàn)有的心智狀態(tài)，重視知識的形成，而活動(dòng)中學(xué)生的積極自主建構(gòu)能促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升．后現(xiàn)代課程觀提倡將抽象的數(shù)學(xué)知識向具象化還原，從思維的低起點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過對知識的探索，建立認(rèn)知聯(lián)系．本節(jié)課的游戲環(huán)節(jié)梯度是面向全班學(xué)生的，初中生能較快地投入?yún)⑴c，學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍畛橄竽苄纬捎行?lián)結(jié)．在有序數(shù)對的學(xué)習(xí)中，學(xué)生從自身對教室的觀察到幻燈片上的位置轉(zhuǎn)化再到網(wǎng)格化的橫縱軸抽象，其思維是逐層上升的，并且大部分學(xué)生在這一抽象轉(zhuǎn)化過程中能鍛煉“會(huì)學(xué)”的能力，使其在獲得知識的同時(shí)提升學(xué)習(xí)力，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

其次，本節(jié)課的應(yīng)用也是基于生活創(chuàng)設(shè)的，于生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，并能夠在實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)解決方法，是應(yīng)用數(shù)學(xué)的目的所在．優(yōu)質(zhì)高效的課堂教學(xué)要求在有限的時(shí)間與精力中使學(xué)生的核心素養(yǎng)獲得收益最大化．在校本問題應(yīng)用中，學(xué)生經(jīng)歷了對建筑點(diǎn)進(jìn)行建模、將各點(diǎn)平面化的過程，又在化繁為簡的體驗(yàn)中形成數(shù)感、符號感．根據(jù)學(xué)生認(rèn)知展開設(shè)計(jì)，旨在檢驗(yàn)教學(xué)目標(biāo)的同時(shí)，激發(fā)并維持學(xué)生的興趣，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)內(nèi)化于心，自然地將知識認(rèn)知轉(zhuǎn)化為素養(yǎng).