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    概念教學(xué)中基于“問題提出”的情境設(shè)計(jì)
    ——以“加權(quán)平均數(shù)”新授課為例

    2022-11-24 12:03:31200235上海市徐匯區(qū)教育學(xué)院徐曉燕
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年5期
    關(guān)鍵詞:問題提出平均數(shù)概念

    200235 上海市徐匯區(qū)教育學(xué)院 徐曉燕

    200030 上海市徐匯中學(xué) 朱元苑

    一、 研究背景

    (一)“問題提出”及其教學(xué)價(jià)值

    愛因斯坦曾說:提出一個(gè)問題比解決一個(gè)問題更重要.“問題提出”是一個(gè)發(fā)現(xiàn)和產(chǎn)生數(shù)學(xué)問題的過程,師生基于問題情境衍生出新問題,表達(dá)新問題的活動(dòng)和任務(wù).在教學(xué)活動(dòng)中,通過對(duì)問題情境中數(shù)學(xué)對(duì)象的基本構(gòu)成要素的分析與思考,挖掘關(guān)系和矛盾,進(jìn)行質(zhì)疑與猜想,提出新問題.因而,圍繞情境的“問題提出”便是把一個(gè)問題情境變成一個(gè)新的問題情境從而形成問題鏈的過程.學(xué)習(xí)過程就是圍繞情境提出的問題鏈進(jìn)行新知建構(gòu)、內(nèi)容的鞏固理解和新情境中的遷移應(yīng)用的活動(dòng)歷程,而好的情境則能激發(fā)學(xué)生自主提出問題,促使學(xué)生成為更好的問題解決者.

    近年,“問題提出”開始作為一種教學(xué)方法被關(guān)注.學(xué)者張丹的“問題提出”教學(xué)模式包括情境體驗(yàn)、問題產(chǎn)生、問題解決和反思總結(jié)階段,形成了一個(gè)循環(huán)的閉環(huán)(如圖1所示)[1].如果教師營造的氛圍好,不僅在問題情境中會(huì)產(chǎn)生問題,而且在問題解決、反思總結(jié)的過程中都可能產(chǎn)生新的問題,整個(gè)教學(xué)過程就是學(xué)生在情境中不斷思考形成問題鏈,圍繞問題鏈進(jìn)行活動(dòng)實(shí)踐與合作交流的學(xué)習(xí)過程.

    圖1

    (二)“問題提出”與“情境創(chuàng)設(shè)”

    問題情境決定了“問題提出”發(fā)生的基本場(chǎng)域,是“問題提出”得以發(fā)生的活動(dòng)背景和資源條件.正如學(xué)者鄭培珺所說,要關(guān)注問題情境的創(chuàng)設(shè),好的問題情境能夠揭示數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的矛盾和聯(lián)系,激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在動(dòng)力[1].

    情境化教學(xué)理論提出,在數(shù)學(xué)新知學(xué)習(xí)中要調(diào)動(dòng)學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活情境中的經(jīng)歷,增加學(xué)生理解和建構(gòu)數(shù)學(xué)的能力;在知識(shí)運(yùn)用中通過創(chuàng)設(shè)復(fù)雜真實(shí)的情境,讓學(xué)生克服情境干擾、剝離情境,增強(qiáng)把數(shù)學(xué)應(yīng)用到新情境中的能力,從而形成“情境化—去情境化—再情境化”的教學(xué)路徑[2](如圖2所示).章建躍教授則在中國教育學(xué)會(huì)第十二屆初中青年教師課例展示活動(dòng)中指出:“在數(shù)學(xué)對(duì)象引入階段,創(chuàng)設(shè)蘊(yùn)含數(shù)學(xué)對(duì)象的現(xiàn)實(shí)原型的生活情境,激發(fā)興趣便于問題展開,而在新知發(fā)生發(fā)展過程中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境,從數(shù)學(xué)內(nèi)部特殊化、一般化或者類比進(jìn)行問題提出與思考.”上海市教育發(fā)展研究院研究員楊玉東則形象地把新知建構(gòu)中的情境創(chuàng)設(shè)比喻為“搭設(shè)新知建構(gòu)的腳手架”,新知應(yīng)用中的情境則是促進(jìn)知識(shí)遷移的“絆腳石”[3].

    圖2

    二、 課例呈現(xiàn)

    加權(quán)平均數(shù)是對(duì)平均數(shù)算法的推廣,它的本質(zhì)是從數(shù)據(jù)的“大小”與數(shù)據(jù)的“多少”兩個(gè)維度揭示它對(duì)一組數(shù)據(jù)的平均值的影響力.平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式都是總量除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),但為什么要變形處理?這背后到底有什么意義?權(quán)是什么?為什么要加權(quán)?如何用好權(quán)并合理賦權(quán)?本節(jié)課的基本任務(wù)就是通過這些問題揭示“加權(quán)平均數(shù)”概念引入的必要性、概念定義的合理性及其在生活中的應(yīng)用.因此,情境創(chuàng)設(shè)的基本思路是運(yùn)用學(xué)生熟悉的情境和問題創(chuàng)設(shè)矛盾沖突,引發(fā)學(xué)生對(duì)熟悉的平均數(shù)計(jì)算公式的再認(rèn)識(shí)與再思考.

    (一)概念導(dǎo)入——熟悉情境,以舊引新孕育“權(quán)”

    問題情境關(guān)注青少年的身高問題.已知某班級(jí)男生平均身高為170厘米,女生平均身高為160厘米,能否算出全班同學(xué)的平均身高?

    設(shè)計(jì)意圖:在學(xué)生熟悉的身高情境中創(chuàng)設(shè)條件不完備的問題情境,引起錯(cuò)誤的前概念.有學(xué)生求出結(jié)果為165厘米,誘發(fā)其他學(xué)生質(zhì)疑“缺人數(shù)的條件,因?yàn)槿嗤瑢W(xué)的平均身高等于班級(jí)所有同學(xué)身高總和除以人數(shù)”,自然過渡到“添加人數(shù)”進(jìn)行平均值計(jì)算的活動(dòng),孕育權(quán)的雛形.

    (二)概念形成——情境變式,估值驗(yàn)證感知“權(quán)”

    情境變式1情境設(shè)定為班級(jí)總?cè)藬?shù)50不變,控制男生和女生人數(shù)變量.(如表1所示)

    表1

    思考1已知男生人數(shù)、女生人數(shù),先不計(jì)算,請(qǐng)你估計(jì)結(jié)果更偏向于170還是160.

    思考2計(jì)算結(jié)果,判斷是否符合你的估計(jì).它的大小和人數(shù)有關(guān)系嗎?

    設(shè)計(jì)意圖:采取控制變量的方法,班級(jí)總?cè)藬?shù)50不變,男生、女生的平均身高不變,通過控制男女生人數(shù)的變化達(dá)到變化權(quán)的目,讓學(xué)生初步感知權(quán)的存在.通過估值再計(jì)算驗(yàn)證的方式,讓學(xué)生經(jīng)歷定性感知到定量計(jì)算的過程.在課堂中,學(xué)生得到的事實(shí)也是估計(jì)誰的人數(shù)多,結(jié)果就偏向于誰.而當(dāng)人數(shù)相同時(shí),均值則恰好是160與170的平均數(shù),也就是說學(xué)生通過熟悉的生活情境已經(jīng)初步進(jìn)行概念的建構(gòu).

    情境變式2情境變換為年級(jí)人數(shù)和學(xué)校人數(shù),引發(fā)估值驗(yàn)證活動(dòng).(如表2所示)

    思考3到底是什么量影響了平均數(shù)?是人數(shù)嗎?

    學(xué)生對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行觀察與比對(duì)分析,發(fā)現(xiàn)平均值沒有發(fā)生改變,產(chǎn)生了認(rèn)知沖突,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)盡管總?cè)藬?shù)發(fā)生了改變,但是男生人數(shù)和女生人數(shù)之比沒有發(fā)生改變,初步感知影響平均值的并不是數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù),而是數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)與總數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)之比.

    設(shè)計(jì)意圖:通過表2中人數(shù)的同比例放大,創(chuàng)設(shè)觀察與對(duì)比的情境,引發(fā)學(xué)生提出“到底是什么影響了平均數(shù)的值?”的問題.學(xué)生提出“占比”才是影響平均值的關(guān)鍵,用這個(gè)占比來體現(xiàn)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)對(duì)平均數(shù)的影響,自然過渡到對(duì)平均數(shù)公式進(jìn)行代數(shù)式變形.

    表2

    思考4如何對(duì)平均值的列式計(jì)算進(jìn)行變形,從數(shù)學(xué)的角度體現(xiàn)出這個(gè)影響因素?

    思考5如何從理性視角說明男生人數(shù)為30人,女生人數(shù)為20人時(shí),平均數(shù)偏向男生的平均身高?(如表3所示)

    表3

    設(shè)計(jì)意圖:在探究平均身高的活動(dòng)中,人數(shù)從無到有,從有到變,在對(duì)平均數(shù)公式變形進(jìn)行數(shù)學(xué)化表達(dá)的階段中,學(xué)生感受權(quán).思考5引發(fā)學(xué)生觀察170和160兩個(gè)數(shù)據(jù)在前面的占比,深刻體會(huì)“數(shù)據(jù)的多與少”對(duì)身高平均值的影響力.

    (三)概念對(duì)象——數(shù)學(xué)抽象,多元表征明晰“權(quán)”

    創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境,從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問題與思考,從特殊到一般,從兩個(gè)數(shù)據(jù)到多個(gè)數(shù)據(jù),剝離平均身高的情境進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象概括與提煉.

    1.從特殊到一般,初步歸納與概括.

    若男生和女生人數(shù)分別為a人和b人,請(qǐng)用含a,b的式子表示結(jié)果.

    2.介紹孟子在《孟子·梁惠王上》中對(duì)權(quán)的解釋,了解權(quán)在古代的釋義,增加對(duì)概念定義的認(rèn)同感.

    孟子提出:“權(quán),然后知輕重;度,然后知長短.物皆然,心為甚.”意思是物用秤稱一稱,才知道輕重,用尺量一量,才知道長短.什么東西都是這樣,人的心更需要這樣.

    3.數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)從兩個(gè)變?yōu)槎鄠€(gè),提出對(duì)權(quán)進(jìn)行數(shù)學(xué)化定義與數(shù)學(xué)表達(dá).

    設(shè)計(jì)意圖:從具體實(shí)際問題到抽象化的符號(hào)表達(dá),從特殊到一般,從簡(jiǎn)單到復(fù)雜,通過名人名言創(chuàng)設(shè)古今對(duì)話的情境,在感知概念屬性的基礎(chǔ)上順其自然地給出定義.讓學(xué)生感受定義的必要性與合理性,體會(huì)概念在有限的文字背后所隱含的豐富內(nèi)涵、價(jià)值觀和文化.

    (四)概念辨析——情境變換,交流表達(dá)理解“權(quán)”

    問題1保護(hù)視力、愛護(hù)眼睛的重要性使得 “控制青少年上網(wǎng)時(shí)長”成為近期熱點(diǎn)話題.已知A網(wǎng)站和B網(wǎng)站的用戶日人均上網(wǎng)時(shí)間分別為2小時(shí)和3小時(shí),A網(wǎng)站用戶數(shù)為7萬人,B網(wǎng)站用戶數(shù)為3萬人,求這兩家網(wǎng)站所有用戶的日人均上網(wǎng)時(shí)間.

    (1)在不計(jì)算的前提下,你能大致估計(jì)這兩家網(wǎng)站所有用戶的日人均上網(wǎng)時(shí)間嗎?說說你的理由.

    (2)請(qǐng)嘗試列式解決問題.

    問題2如圖3,對(duì)于“須控制青少年上網(wǎng)時(shí)長”這一熱點(diǎn)話題,通過抽樣調(diào)查,已知A網(wǎng)站和B網(wǎng)站認(rèn)為“這個(gè)話題重要”的用戶所占百分比分別為74%和62%,A網(wǎng)站和B網(wǎng)站參與評(píng)價(jià)的用戶數(shù)分別為a人和b人.求這兩家網(wǎng)站所有客戶中認(rèn)為“這個(gè)話題重要”的客戶所占比例.

    圖3

    思考6回顧平均身高問題,回答以下問題.

    (1)計(jì)算所有同學(xué)的平均身高一定需要添加具體的人數(shù)嗎?

    (2)男生、女生人數(shù)均為25人時(shí),數(shù)據(jù)170和160的權(quán)分別是多少?你有什么發(fā)現(xiàn)?

    (五)概念應(yīng)用——綜合情境,關(guān)聯(lián)應(yīng)用深化“權(quán)”

    概念的真正理解,不僅在于學(xué)生在簡(jiǎn)單情境中的模仿,更重要的是在真實(shí)復(fù)雜情境中進(jìn)行知識(shí)的關(guān)聯(lián)理解、遷移和應(yīng)用,理性思考權(quán)的作用,并能根據(jù)需要合理賦權(quán).

    熱點(diǎn)話題許海峰在1984年奧運(yùn)會(huì)上為我國獲得首金.2021年奧運(yùn)會(huì),我國楊倩同樣在射擊項(xiàng)目上獲得本屆奧運(yùn)會(huì)首金,掀起射擊訓(xùn)練熱潮.

    問題3小明學(xué)習(xí)射擊3個(gè)月,教練通過30次射擊訓(xùn)練來了解他目前的水平.

    (1)如圖4,你能根據(jù)圖中提供的信息估計(jì)小明本次訓(xùn)練的平均成績(jī)嗎?

    圖4

    (2)請(qǐng)計(jì)算小明本次訓(xùn)練的平均成績(jī),并與你的估計(jì)比較.

    設(shè)計(jì)意圖:首先通過“奧運(yùn)首金”這一熱點(diǎn)話題創(chuàng)設(shè)情境,增強(qiáng)學(xué)生民族自豪感,培養(yǎng)愛國主義情懷.其次通過預(yù)估結(jié)果(在8-9之間)和計(jì)算出的平均值7.84存在較大差異創(chuàng)設(shè)矛盾沖突,讓學(xué)生從多個(gè)數(shù)據(jù)的維度理解每個(gè)數(shù)據(jù)以及它的權(quán)對(duì)平均數(shù)計(jì)算結(jié)果有共同影響,蘊(yùn)含“截尾平均數(shù)”的雛形,并使學(xué)生意識(shí)到對(duì)事物的判斷需要將定性感知和精確的定量計(jì)算相結(jié)合,建立理性的數(shù)據(jù)觀.

    問題4某網(wǎng)站想招聘一名網(wǎng)絡(luò)維護(hù)員,人事部門從創(chuàng)新能力、計(jì)算機(jī)能力和溝通能力三方面考察候選人的綜合能力.A、B、C三名候選人的測(cè)試成績(jī)(百分制)如表4所示.

    表4

    (1)如果你是人事主管,你會(huì)選誰?為什么? (討論與交流)

    (2)以下方案均讓計(jì)算機(jī)能力權(quán)重最大,會(huì)得到什么樣的結(jié)果?(比對(duì)分析)

    引發(fā)問題根據(jù)不同的方案設(shè)計(jì)求出綜合評(píng)分.(如表5所示)

    表5

    方案1三項(xiàng)能力成績(jī)分別按照 3∶4∶3 計(jì)入綜合評(píng)分.

    方案2三項(xiàng)能力成績(jī)分別按照 3∶5∶2 計(jì)入綜合評(píng)分.

    方案3三項(xiàng)能力成績(jī)分別占綜合評(píng)分的 20%,60%和20%.

    方案4三項(xiàng)能力成績(jī)分別占綜合評(píng)分的 10%,70%和20%.

    設(shè)計(jì)意圖:?jiǎn)栴}4的小問(1)創(chuàng)設(shè)了結(jié)論開放的“選拔人才”的問題情境,激發(fā)學(xué)生討論交流,引發(fā)學(xué)生提出問題“到底如何賦權(quán)才能體現(xiàn)出公平性和合理性?”自然過渡到問題4小問(2)中的四個(gè)方案設(shè)計(jì),通過對(duì)數(shù)據(jù)賦權(quán)的過程感悟權(quán)的價(jià)值,學(xué)生體會(huì)到數(shù)據(jù)的權(quán)重帶有設(shè)計(jì)者的個(gè)人觀點(diǎn),不同的權(quán)背后折射出設(shè)計(jì)者不同的核心理念與價(jià)值觀.引導(dǎo)學(xué)生用理性的觀點(diǎn)對(duì)待數(shù)據(jù),以免被表象誤導(dǎo).

    課堂教學(xué)中,對(duì)于小問(1),部分學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該選擇B, 因?yàn)樗挠?jì)算機(jī)能力最強(qiáng).也有學(xué)生持不同觀點(diǎn),認(rèn)為B的溝通能力不行,應(yīng)該選擇C,因?yàn)樗挠?jì)算機(jī)能力較強(qiáng)且其他方面也不錯(cuò).少部分學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該選擇A,因?yàn)樗麥贤ê蛣?chuàng)新能力較強(qiáng).學(xué)生各說各的理,最后達(dá)成共識(shí),不管選誰,都應(yīng)該對(duì)計(jì)算機(jī)能力賦予最大的權(quán).

    對(duì)于小問(2),學(xué)生感受到盡管四種方案都是賦予計(jì)算機(jī)能力最大的權(quán),但是最終的結(jié)果還是不盡相同.通過比對(duì),學(xué)生分析體會(huì)賦權(quán)背后的價(jià)值取向,并理解在實(shí)際問題中賦權(quán)需要進(jìn)行多方面考量,并事先賦權(quán),這樣才能體現(xiàn)合理性和公正性.

    (六)概念小結(jié)——本原性問題情境,追根溯源,建立概念圖式

    什么是權(quán)?為什么要學(xué)加權(quán)平均數(shù)?通過創(chuàng)設(shè)“為什么?是什么?怎么學(xué)?學(xué)了有什么用?”這樣的本原性問題情境,引發(fā)學(xué)生的深度思考,回顧和反思本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程和問題解決過程,形成如圖5所示的概念圖,并發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性,提升歸納和總結(jié)能力,讓學(xué)生感受概念在有限的文字背后所蘊(yùn)含的豐富的內(nèi)涵、思想方法、數(shù)學(xué)文化.

    圖5

    三、 情境設(shè)計(jì)策略

    (一)核心素養(yǎng)視角下概念教學(xué)的基本任務(wù)與過程

    數(shù)學(xué)概念教學(xué)的任務(wù)不是“講概念”,而是讓學(xué)生在問題情境中“悟概念”.每個(gè)數(shù)學(xué)概念都包含著一些人甚至是人類在一段時(shí)空里的探索、質(zhì)疑、研究和發(fā)現(xiàn),包含著思辨或?qū)嵶C,內(nèi)蘊(yùn)著價(jià)值與信念,而這些努力和過程最終凝練、沉淀為概念.教師要讓學(xué)生在問題情境中感受概念引入的必要性,體驗(yàn)概念抽象的過程性,體會(huì)數(shù)學(xué)概念定義的合理性.讓學(xué)生在觀察與實(shí)驗(yàn)、分析與綜合、歸納與概括中經(jīng)歷概念的抽象過程,通過素材加工與情境的設(shè)計(jì),帶領(lǐng)學(xué)生走入概念呈現(xiàn)的有限文字背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化[4].

    數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下的概念學(xué)習(xí)要經(jīng)歷形象感知、建立表象、數(shù)學(xué)抽象等概念建構(gòu)的基本過程,用數(shù)學(xué)的眼光看世界,夯實(shí)基本的思維素養(yǎng),用推理或計(jì)算分析解決問題.而當(dāng)概念成為數(shù)學(xué)對(duì)象后,要在數(shù)學(xué)或現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)行應(yīng)用,回歸“抽象、表象、形象”,用推理或計(jì)算分析解決問題,從中感悟方法,體會(huì)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界的工具作用,形成觀念、提升意志力和品格[5].(如圖6所示)

    圖6 概念學(xué)習(xí)的基本認(rèn)知過程

    (二)策略

    當(dāng)下教師都關(guān)注創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程,但是常常出現(xiàn)情境與數(shù)學(xué)對(duì)象之間沒有關(guān)系,情境不利于教學(xué)問題的展開等情況.筆者認(rèn)為,教師可運(yùn)用以下策略來創(chuàng)設(shè)問題情境.

    1.基于概念本質(zhì),創(chuàng)設(shè)“概念原型”的情境以提出問題

    數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生主要是源于現(xiàn)實(shí)世界的抽象或數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯構(gòu)造.教師要先厘清概念本質(zhì)和基本要素,才能創(chuàng)設(shè)好的問題情境.設(shè)計(jì)問題情境時(shí)可以從以下方面思考:如何引發(fā)興趣和沖突、找到現(xiàn)實(shí)世界中的概念原型、基于概念本質(zhì)找到新舊概念間的邏輯與關(guān)聯(lián),基于概念框架和聯(lián)系視角整體考慮情境的可變性和問題的發(fā)展性.

    例如,平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)的“源頭”,而加權(quán)平均數(shù)的兩個(gè)構(gòu)成要素是數(shù)據(jù)(數(shù)的大小)和數(shù)據(jù)的權(quán)(數(shù)的多少).所以導(dǎo)入概念時(shí),通過問題1的身高情境提出條件不完備的問題,喚醒和引發(fā)原有的前概念和錯(cuò)誤概念,隱含新概念的原型,為引入的必要性創(chuàng)設(shè)合情合理的情境,并有序進(jìn)行后續(xù)發(fā)展.

    再如,平面直角坐標(biāo)系概念的本質(zhì)是設(shè)置一個(gè)參照點(diǎn),從方向和大小兩個(gè)維度確定和表達(dá)平面內(nèi)的另一個(gè)位置,它在現(xiàn)實(shí)世界中有著豐富的概念原型,所以這類概念的問題情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)該是運(yùn)用豐富的現(xiàn)實(shí)素材(如電影院找位置、問路、象棋或五子棋),引發(fā)基本問題“如何確定平面中點(diǎn)的位置?如何用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)平面中點(diǎn)的位置?”以基本問題為中心,調(diào)動(dòng)數(shù)軸的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),從一維的直線到二維的平面進(jìn)行邏輯構(gòu)造,讓學(xué)生將生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)基礎(chǔ)融合,通過問題驅(qū)動(dòng),在真實(shí)的情境中建立概念和概念聯(lián)系.

    2.基于概念形成,情境變式問題鏈引發(fā)概念進(jìn)階建構(gòu)

    教師要對(duì)概念構(gòu)成要素進(jìn)行概念學(xué)習(xí)進(jìn)階的結(jié)構(gòu)分解和重組,根據(jù)學(xué)情進(jìn)行結(jié)構(gòu)化、系列化的情境問題鏈設(shè)計(jì),不斷誘導(dǎo)學(xué)生在解決問題中合理衍生新問題,從而實(shí)現(xiàn)概念的進(jìn)階建構(gòu)的思維路徑.值得一提的是,創(chuàng)設(shè)的問題與情境要處于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),分解為合適的概念進(jìn)階,這樣學(xué)生才能在概念起點(diǎn)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)概念的獲得.

    在加權(quán)平均數(shù)的課例中,圍繞平均身高問題的情境,運(yùn)用控制變量的方法,在男生、女生平均身高保持不變的前提下,讓“人數(shù)”這一數(shù)據(jù)“從無到有”“從有到變”,不斷自然地衍生出新問題.人數(shù)是如何影響平均數(shù)的?到底是什么影響了平均數(shù)的值?如何將平均數(shù)計(jì)算公式進(jìn)行變形才能體現(xiàn)出權(quán)?計(jì)算平均身高一定需要添加具體的人數(shù)嗎?通過基于情境提出的問題鏈,學(xué)生形成孕育“權(quán)”、感知“權(quán)”、明晰“權(quán)”、理解“權(quán)”的概念學(xué)習(xí)進(jìn)階.問題環(huán)環(huán)相扣,理解層層遞進(jìn),從定性感知數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)對(duì)平均數(shù)結(jié)果的影響力大小,形成加權(quán)平均數(shù)的數(shù)學(xué)化定義,進(jìn)行定量的符號(hào)表達(dá).

    3.基于概念理解,“誘錯(cuò)性”情境引發(fā)質(zhì)疑思辨

    概念的建構(gòu)與理解是一個(gè)教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的雙向互動(dòng)的過程,通過教師有目的的情境創(chuàng)設(shè)與引導(dǎo),學(xué)生不斷反省和抽象,祛除遮蔽、消除誤解、達(dá)成共識(shí)、揭示本質(zhì),大量隱性知識(shí)在課堂充分的交流、活動(dòng)和互動(dòng)中逐漸顯性化、清晰化,學(xué)生建立情境中的現(xiàn)象與數(shù)學(xué)對(duì)象的基本要素的聯(lián)系,逐步建構(gòu)概念對(duì)象.

    加權(quán)平均數(shù)教學(xué)中,問題2的情境將權(quán)以“百分?jǐn)?shù)”的方式呈現(xiàn),進(jìn)行誘錯(cuò).而問題3為幫助學(xué)生脫離“數(shù)據(jù)控制不變,感受權(quán)”的情境,設(shè)計(jì)兩個(gè)到多個(gè)數(shù)據(jù),運(yùn)用條形統(tǒng)計(jì)圖的表征方式進(jìn)行情境的創(chuàng)設(shè),設(shè)計(jì)先估值再計(jì)算驗(yàn)證的活動(dòng),通過數(shù)值差異造成強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突,讓學(xué)生在試錯(cuò)中不斷進(jìn)行概念辨析,理解概念的本質(zhì)內(nèi)涵與外延.

    4.基于概念應(yīng)用,創(chuàng)設(shè)交流互動(dòng)的開放問題情境

    概念成為一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象后,要通過遷移應(yīng)用來進(jìn)行數(shù)學(xué)概念和模型的強(qiáng)化和泛化.此時(shí)問題情境應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有趣的和富有挑戰(zhàn)的,教師運(yùn)用情境的目的更多是擴(kuò)展概念的應(yīng)用性理解.這類情境最好有一定程度的“情境干擾”,讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)世界的問題解決中反思和評(píng)估方法的復(fù)雜優(yōu)劣性、實(shí)際可行性和可操作性,多角度提出問題.許多現(xiàn)實(shí)問題可能不一定有標(biāo)準(zhǔn)答案,“求同存異,和而不同”,學(xué)生在交流互動(dòng)中獲得用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)問題的通透感和愉悅感.

    面對(duì)問題4,學(xué)生在“選拔人才”的情境中思辨性地進(jìn)行賦權(quán)活動(dòng)和任務(wù),充分表達(dá)與交流,互相質(zhì)疑與評(píng)價(jià),不斷將“問題提出”中內(nèi)隱的交流過程外顯化,通過定性感知與定量計(jì)算相結(jié)合,越辯越清晰,思考賦權(quán)背后的價(jià)值取向,體會(huì)如何讓數(shù)據(jù)說話,讓數(shù)據(jù)說真話,初步建立理性的數(shù)據(jù)觀.

    5.基于概念圖式,創(chuàng)設(shè)綜合情境,拓展時(shí)空延展問題

    概念具有過程與結(jié)果的兩重性,概念的理解是逐步螺旋式上升的.一方面,筆者通過小結(jié)圖式化建立概念的聯(lián)系,揭示本質(zhì).另一方面,課堂的時(shí)間是有限的,可以運(yùn)用信息技術(shù)手段,通過視頻方式進(jìn)行數(shù)學(xué)史的分享,追溯歷史,聯(lián)系古今,也可以介紹現(xiàn)實(shí)世界中概念的應(yīng)用與發(fā)展,布置查閱資料等課后長作業(yè),引導(dǎo)學(xué)生探索未來,從概念體系和概念圖式的視角理解和探索概念,體會(huì)概念背后的思想方法和文化.

    四、 結(jié)語

    有效的情境不僅要有豐富的內(nèi)涵,更重要的是要具有“問題”的誘導(dǎo)性、發(fā)展性和探索性.在教學(xué)中,厘清概念的構(gòu)成要素,尋找現(xiàn)實(shí)的概念原型,將兩者有效結(jié)合,精心創(chuàng)設(shè)問題情境,基于學(xué)習(xí)進(jìn)階設(shè)計(jì)問題鏈,引導(dǎo)學(xué)生建立情境和數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)聯(lián),提出有意義的數(shù)學(xué)問題并予以解決,以情境建立數(shù)學(xué)對(duì)象與學(xué)習(xí)者的關(guān)聯(lián),以問題驅(qū)動(dòng)思考,以任務(wù)與活動(dòng)促成能力,以知識(shí)結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)與遷移運(yùn)用促成素養(yǎng)形成.“教是為了不教”,基于情境提出的問題要自然、本原、可模仿,這樣才能早日實(shí)現(xiàn)從教師的“問題引導(dǎo)學(xué)習(xí),激發(fā)學(xué)生思維”過渡到“學(xué)生自主提問,展開創(chuàng)新學(xué)習(xí)”.

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