指向深度學習的高三復(fù)習課教學與啟示
——以2021年新高考全國I卷解析幾何為例

王思儉 (江蘇省蘇州中學 215007)

1 問題提出

高考命題已經(jīng)從能力立意轉(zhuǎn)到素養(yǎng)導(dǎo)向[1]，素養(yǎng)導(dǎo)向的高考命題引導(dǎo)中學教師尊重學生學習的主體地位，激發(fā)學生學習的主觀能動性，養(yǎng)成學生良好的深度學習習慣，達到終身學習的目標．目前不少高三課堂教學并不是以發(fā)展學生的思維能力為主，往往集中于教學生如何能夠快捷、有效地解題，教師只是重視題海訓練，讓學生機械模仿刷題，靠學生自己去“悟”，卻完全不在意學生是否實現(xiàn)了應(yīng)有的理解，從而也就必然會造成“機械學習”的盛行.這對學生未來的數(shù)學學習產(chǎn)生嚴重的消極影響，降低了教學“促進學生發(fā)展”的教育功能．

高三復(fù)習課要根據(jù)學生的需求選取合適的經(jīng)典問題進行合理設(shè)計，這樣做不僅有利于打通各章節(jié)知識的聯(lián)結(jié)，還能滲透思想方法，提升學生深度學習的能力和數(shù)學思維品質(zhì)．因此，加強“深度學習”的研究，把握課程育人的核心，提高數(shù)學課堂的效率，是亟待解決的問題．筆者受教師教研網(wǎng)的邀請，于2022年3月6日以《一道高考題的深度探究》為題給全國部分優(yōu)秀骨干教師和徐州市高三數(shù)學教師開設(shè)了一節(jié)研究課(騰訊會議課堂)，旨在探求激發(fā)學生深度學習的教學方式．

2 基于深度學習的高三二輪復(fù)習教學設(shè)計

2.1 學情分析

本節(jié)課的授課對象是本校與中國科學技術(shù)大學聯(lián)辦的少年預(yù)備班高三學生，原有31位學生，2021年被中國科學技術(shù)大學少年學院提前錄取8位，2022年2月被清華大學丘成桐女子數(shù)學競賽錄取一名，被北京大學數(shù)學精英班和物理精英班各錄取一名．該班數(shù)學學業(yè)成績位列蘇州大市前3名，學生的學習熱情很高，思維活躍，創(chuàng)新思維能力強，解決問題的思路較多，但表述不嚴謹．

2.2 教學設(shè)計理念以及教學過程

·設(shè)計理念

哈爾莫斯認為問題是數(shù)學的心臟[2]，是科學探索的出發(fā)點和動力．在數(shù)學課堂教學中，沒有經(jīng)典問題的設(shè)計就沒有學生的思維活動，有了經(jīng)典問題，學生的好奇心才能被激發(fā)，思維才能被啟動．學生正是帶著對這一經(jīng)典問題的不斷思考與挖掘，在生生、師生的不斷對話與交流的過程中，完成數(shù)學學習內(nèi)容各自特征及其相互關(guān)系的整體把握.正是因為有了經(jīng)典問題的設(shè)計，課堂才得以向著一個全新的方面逐層展開，才能逐步引導(dǎo)學生真正成為深度學習的主人．

本次教學設(shè)計的路線圖如圖1，以此構(gòu)成了一個典型的“深度學習”的探究學習過程．

圖1

·教學目標

(1)通過一道典型高考真題的探究，學會觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析、數(shù)學抽象等素養(yǎng)；(2)滲透數(shù)學思想方法，增強數(shù)學活動經(jīng)驗，會用數(shù)學思維去分析問題并解決問題，強化數(shù)學研討交流的意識，提升數(shù)學運算、數(shù)學模型素養(yǎng)；(3)經(jīng)歷代數(shù)、幾何視角探究直線與圓錐曲線綜合性問題的過程，體驗其中的數(shù)學思想，會用數(shù)學語言描述事件，提升直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)．

2.3 教學過程

·解析經(jīng)典，促進學生的深度聯(lián)系

對于高考真題，教師要舍得花時間去探究，并結(jié)合學生提出的“念頭”，根據(jù)學情，精心設(shè)計開展課堂教學，這樣的課堂才會有精彩的綻放．為此，筆者設(shè)計了以下高考真題的教學．

設(shè)計意圖經(jīng)典的問題是深度學習的起點，能激發(fā)學生的數(shù)學思維，喚起學生對數(shù)學的好奇心，引起學生的共鳴．通過經(jīng)典高考真題把基本曲線的方程與代數(shù)、三角、參數(shù)等知識、方法聯(lián)結(jié)起來，讓學生融會貫通，靈活遷移，從而提高數(shù)學解題能力．

(過程略，答案：0)

師：你們給出兩種不同解法，從一題多解中學會將知識進行有機融合，這樣可以促進深度學習．參考蘇教版《高中數(shù)學·選擇性必修一》第92頁練習第1題：“在△ABC中，BC的長為2，|AB-AC|=1，試確定點A在怎樣的曲線上運動.”立足雙曲線定義，寫出點A的軌跡方程，于是改寫定義中的相關(guān)數(shù)據(jù)即得第(1)小題．結(jié)合人教A版選修4-4(2017年版)第38頁例4：“已知AB,CD是中心為O的橢圓的兩條相交弦，交點為P，兩弦AB,CD與橢圓長軸的夾角(銳角)相等，求證：PA·PB=PC·PD.”將“橢圓內(nèi)的交點P”改為“曲線外一點T”，再將“結(jié)論”改為“已知條件”，這時發(fā)現(xiàn)四個交點共圓，聯(lián)想到圓的相交弦定理，于是進行逆向思維，便可得到高考真題．

設(shè)計意圖分析高考真題的源頭和命題思路，領(lǐng)悟真題所蘊含的數(shù)學思想方法的精髓．

·類比聯(lián)想，促進學生的深度遷移

問題引領(lǐng)是深度學習的起點[3]15．因此，它所關(guān)注的已不只是教師如何發(fā)揮應(yīng)有的主導(dǎo)作用，也直接關(guān)系到了如何很好地調(diào)動學生的學習積極性.教師要鼓勵學生大膽進行類比聯(lián)想，提出新的問題，從而切實體現(xiàn)他們在數(shù)學活動中的主體地位，只有這樣，學生才能積極地參與課堂教學，進行深度學習．鑒于此，筆者設(shè)計以下問題：

師：你們能發(fā)現(xiàn)新問題嗎？

(學生展開熱烈討論，提出很多問題并逐一 解決)

問題3已知拋物線C:y2=2x，設(shè)點T不在曲線C上，過點T的兩條直線分別交拋物線C于A,B兩點和P,Q兩點，且TA·TB=TP·TQ，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和．

師：很好！你們不僅研究逆命題，而且將問題延拓到橢圓和拋物線中了，后一個問題的點T不是在具體的直線上，具有一般性，并且給出了詳細的求解過程，你們還有什么發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計意圖重現(xiàn)經(jīng)典問題往往會產(chǎn)生連鎖效應(yīng)，會引導(dǎo)出一系列新的、富有強烈吸引力的問題結(jié)論，讓學生的數(shù)學思維走向深入、走向深刻，實現(xiàn)深度學習．

問題4已知拋物線E:y2=2x，過點T(1,2)、傾斜角互補的兩直線l1和l2與曲線E分別交于A,B兩點與C,D兩點，并組成四邊形ABCD，求證：直線AC的斜率與直線的BD的斜率之和為0．

問題5已知拋物線E:y2=2x內(nèi)接四邊形ABCD，直線AC的傾斜角與直線BD的傾斜角互補，求證：直線AB的斜率與直線CD的斜率之和為0．

師：很好！求解過程中要先考慮直線AB和CD的斜率不存在的情況，然后再設(shè)直線方程求解．大家繼續(xù)探索，能否再發(fā)現(xiàn)新的問題？

師：你們在圓錐曲線中探究了內(nèi)接四邊形的對邊傾斜角與對角線傾斜角之間的關(guān)系．

設(shè)計意圖通過恰當?shù)脑O(shè)問、追問、反問、辯駁，引導(dǎo)學生更加深入地進行思考和探究．

·抽象概括，促進學生的深度理解

深度學習的主要含義是：數(shù)學學習必須超越具體的知識技能，深入到思維層面，由具體的數(shù)學方法和策略過渡到一般的思維策略與思維品質(zhì)的提升．我們利用“方法論指導(dǎo)下的數(shù)學教學”[3]177-178，幫助學生學會自主學習，啟迪思維．在教學中，我們?nèi)绾文軌蛱幚砗谩皢栴}引領(lǐng)、學法指導(dǎo)”與“層層推進，逐步深入”之間的關(guān)系，更好地發(fā)揮習題、高考題的育人功能，這就需要教師做好“整體設(shè)計的開放性”．鑒于此，筆者設(shè)計了如下問題．

師：同學們，討論圓錐曲線內(nèi)接四邊形的對邊與對角線傾斜角之間的關(guān)系后，你們能否概括出一般結(jié)論？

問題8已知拋物線C:y2=2px(p≠0)，設(shè)點T不在曲線C上，過點T的兩條直線分別交C于A,B兩點和P,Q兩點，求證：TA·TB=TP·TQ的充要條件是直線AB與PQ的傾斜角互補．

問題9已知有心二次曲線C:ax2+by2=r2(a>0，r>0，a≠b，b≠0)，設(shè)點T不在曲線C上，過點T的兩條直線分別交C于A,B兩點和P,Q兩點，求證：TA·TB=TP·TQ的充要條件是直線AB與PQ的傾斜角互補．

問題10若曲線mx2+ny2=1(mn≠0,m≠n)(或C:y2=2px(p≠0))有內(nèi)接四邊形ABCD，則其一組對邊傾斜角互補的充要條件是對角線的傾斜角互補．

設(shè)計意圖用好的問題引發(fā)學生養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，培養(yǎng)學生的抽象概括能力．

師：我們已經(jīng)探究了點T在曲線外的一些重要結(jié)論，大家總結(jié)概括得很好！從特殊到一般的思維方法是眾多科學發(fā)現(xiàn)的重要途徑，因此你們在日常學習中要靈活運用．同學們還有什么“新 發(fā)現(xiàn)”？

當聽到學生在議論“還有點在曲線上沒有討論”“內(nèi)接四邊形退化為內(nèi)接三角形”時，筆者設(shè)計了如下問題：

師：已知過拋物線C:y2=4x上點T(1,2)作傾斜角互補的兩條直線l1,l2，與拋物線C交于點A,B，試探究直線AB的斜率是否為定值？能推廣嗎？

設(shè)計意圖根據(jù)學生的質(zhì)疑，教師給出問題，激發(fā)學生深邃的數(shù)學思考，發(fā)展學生的空間想象能力．

師：很好！有心二次曲線的運算量較大，稍有不慎就會出現(xiàn)差錯，因此對數(shù)學運算能力應(yīng)該加強訓練．

此時又聽到“給出定斜率可以研究定點T一定在曲線上嗎？”，為此，筆者又設(shè)計如下問題：

師：已知拋物線C:y2=4x和定點T，斜率為1的直線l與拋物線C交于點A,B，若直線TA,TB的傾斜角互補，求點T的坐標．你們能推廣嗎？

設(shè)計意圖在學生已經(jīng)沒有問題的時候，提出一個有訓練價值、有思維含量，且能夠有效促進學生深度學習的數(shù)學問題，應(yīng)成為我們的重要教學任務(wù)．

師：非常棒！你們經(jīng)過共同努力探索了過點T的兩條直線與曲線相交時，點T在曲線外或點T在曲線上，兩直線傾斜角互補的充要條件．探索過程中充分展示出你們堅強的意志和銳意進取的精神．

3 教學啟示

教師要積極幫助學生從在教師指導(dǎo)下進行學習，逐步轉(zhuǎn)變?yōu)楠毩⑺伎?、自主學習，包括善于進行同學之間的合作與互動性學習、師生之間的交流性學習，使學生真正成為學習的主人，成為全面而有個性的社會主義建設(shè)人才．

3.1 典例引入促進學生主動參與

波利亞曾說過：“令人討厭的藝術(shù)就是把什么都說出來”[4]116，新課標提倡自主探究和創(chuàng)造性學習，這正是深度學習的具體要求．這就要求教師要尊重學生的主體性，提供充分的思考空間，讓學生主動參與到教學中來，在積極主動的探究過程中表達自己的想法，修正自己的發(fā)現(xiàn)，完善自己的知識結(jié)構(gòu)．如筆者設(shè)計“一課一題高考真題探究”，這樣激發(fā)學生積極思考，積極提出自己的解法.其中參數(shù)方程法最簡潔，這種解法突出參數(shù)法的優(yōu)勢，既培養(yǎng)了學生的解題能力，又培養(yǎng)了學生的數(shù)學思維習慣，使已有的知識和方法具有更大的遷移性．再如學生自覺探究其逆命題是否成立，靈活類比到橢圓、拋物線中的相關(guān)結(jié)論，等等．因此，要引導(dǎo)學生牢固地樹立終身學習的思想，并切實提高自身學習的能力，知識寬廣、知道更多，頻繁更新知識，并運用它創(chuàng)造性地解決新問題，而不僅僅是完成一道道常規(guī)習題的演練．如此的中學數(shù)學教學讓學生積極主動參與到課堂中來，教師不再是課堂的主宰，也不是扮演知識的絕對擁有者，而是學生自主學習和深度學習的策劃者、交流的組織者、討論的引導(dǎo)者、結(jié)果的欣賞者．

3.2 探究過程促進學生智力參與

中學數(shù)學課堂教學的首要目的是教會學生思考[4]129，特別要重視長時間的思考與反思，不要輕易放棄每個“念頭”，可以更換角度去思考問題，往往會頓悟出解決問題的新思路．學會反思解決問題過程中在哪里遇到了障礙？如何逾越？目前還缺少什么知識和方法？等等．

要使學生全身心參與到課堂教學中來，必須要有高質(zhì)量的問題．“沒有好的問題，就無法誘發(fā)深入的數(shù)學思維，深度學習就不可能真正發(fā)生．”[3]179-180筆者選擇了經(jīng)典高考真題，誘發(fā)學生深度探究，從雙曲線類比到橢圓、拋物線中的相關(guān)結(jié)論，同時也探究了“如果兩條直線的傾斜角互補，則線段之積相等、所產(chǎn)生的四邊形的兩條對角線斜率之和為0”，又引導(dǎo)學生繼續(xù)探究各個問題的逆命題是否成立、抽象概括一般結(jié)論．在即將沒有問題探究的瞬間，教師加重語氣道：“已經(jīng)討論了點T在曲線外的情況．”再一次誘發(fā)學生深度思考深度參與，提出新問題，探究點T在曲線上、兩條弦的傾斜角互補時，相應(yīng)終點連線的結(jié)論，也探究其逆命題，繼而概括出一般結(jié)論．一個又一個問題逐漸被學生們引出來，學生的數(shù)學思維也就趨向深刻．

3.3 相互評價促進學生合作參與

探索是數(shù)學的生命線．[5]隨著教學環(huán)節(jié)的開展，課堂由“教師獨角戲”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皩W生提出問題、合作探究”．如“曲線上斜率為定值的弦端點與某一定點連線的傾斜角互補時，定點在何處？”，教師鼓勵學生合作探究，相互評價，先由具體問題探究求解思路，然后再推廣到一般情況，讓學生分組討論并交流自己探究過程中所遇到的困惑，分享自己的探究成果．再如，在推廣到一般情況時，學生運算出現(xiàn)錯誤，此時，同學之間相互交流、尋找錯誤原因，最后得到圓滿解決．教師要為學生搭建深度合作交流的平臺，在討論交流中，學生對數(shù)學思想方法的理解逐步趨向正確、完整和成熟，對數(shù)學的認識、體驗也越來越豐富、深刻，對數(shù)學的價值、情感逐漸趨向深刻、濃厚．讓學生清楚地認識到合作的重要性，相互借鑒，取長補短，完善自身的認知結(jié)構(gòu)．由此可見，教師必須精心設(shè)置問題情境，才能引發(fā)交流思辨、促進深度學習、發(fā)展核心素養(yǎng)、打造高效課堂.