創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)問題 培養(yǎng)學(xué)生探究能力

200030 上海市第四中學(xué) 徐衛(wèi)文

實(shí)驗(yàn)是科學(xué)得以產(chǎn)生與發(fā)展的根本，而探究是當(dāng)今社會(huì)科學(xué)發(fā)展與教育的有效方式.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是再現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程的有效途徑，數(shù)學(xué)中很多知識(shí)都有一定的規(guī)律和推廣潛力，這些知識(shí)在精心設(shè)計(jì)下大部分可以通過實(shí)驗(yàn)探究的方式來學(xué)習(xí)獲得.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，無論是概念、定理、法則、公式的學(xué)習(xí)，還是技能的學(xué)習(xí)、問題的解決，都需要實(shí)驗(yàn).選擇數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)這種有效途徑進(jìn)行數(shù)學(xué)探究教學(xué)，恰好可以為學(xué)生提供動(dòng)手操作、自主探究的機(jī)會(huì).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)問題為載體，為研究與獲得某種數(shù)學(xué)理論、驗(yàn)證某種數(shù)學(xué)猜想、解決某種數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用一定的物質(zhì)手段，引導(dǎo)學(xué)生開展知識(shí)探究，通過觀察分析數(shù)學(xué)現(xiàn)象，調(diào)動(dòng)知識(shí)儲(chǔ)備與生活經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)與探索數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程，構(gòu)建新的知識(shí)結(jié)構(gòu)，引發(fā)學(xué)生積極的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究行為.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究問題是基于教學(xué)內(nèi)容提出的，是教學(xué)內(nèi)容的拓展和延伸.問題設(shè)計(jì)要以培養(yǎng)學(xué)生自主探究能力為出發(fā)點(diǎn)，幫助學(xué)生了解知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系及基本規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì).例如，函數(shù)單調(diào)性、周期性及最值問題，函數(shù)間增長(zhǎng)關(guān)系比較，求不同函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，不定方程的求解，解析幾何中的圖形變換及軌跡探求問題，立體幾何中的圖形變換及展開，概率統(tǒng)計(jì)中的隨機(jī)問題及回歸分析等內(nèi)容，都可以從激發(fā)學(xué)生探究興趣、體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)形成過程、強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用、提高學(xué)生辯證思維能力等角度進(jìn)行設(shè)計(jì).

一、 創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究問題，激發(fā)學(xué)生的探究興趣

根據(jù)教材特點(diǎn)，找準(zhǔn)知識(shí)的切入點(diǎn)，充分挖掘和精心設(shè)計(jì)能夠激發(fā)學(xué)生探究興趣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究問題，為學(xué)生創(chuàng)造自主探索、自主交流的機(jī)會(huì)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，拓寬學(xué)生思維，促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力.

案例1：動(dòng)圓與兩個(gè)定圓相切時(shí)，探求動(dòng)圓圓心的軌跡問題

(一)實(shí)驗(yàn)問題設(shè)計(jì)意圖

由于與兩定圓相切的動(dòng)圓圓心軌跡涉及問題較為復(fù)雜，因此，創(chuàng)設(shè)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，利用多媒體技術(shù)手段可以幫助學(xué)生透過現(xiàn)象把握問題的本質(zhì)，讓學(xué)生真實(shí)感知軌跡的性質(zhì)，并從觀察、猜想、驗(yàn)證中感受數(shù)學(xué)研究的全過程，通過分情況進(jìn)行探究，并得出結(jié)論.

(二)實(shí)驗(yàn)工具

幾何畫板(或TI圖形計(jì)算器等).

(三)實(shí)驗(yàn)探究活動(dòng)設(shè)計(jì)

動(dòng)圓P與兩定圓F1和F2均相切，難點(diǎn)在于動(dòng)圓的運(yùn)動(dòng)變化和兩定圓之間位置關(guān)系的相對(duì)變化，可分為四種情況進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究.

1.動(dòng)圓P與定圓F1和F2均內(nèi)切.

2.動(dòng)圓P與定圓F1和F2均外切.

3.動(dòng)圓P與定圓F1外切，與定圓F2內(nèi)切.

4.動(dòng)圓P與定圓F1內(nèi)切，與定圓F2外切.

上述四種情況還要根據(jù)定圓F1和F2的位置關(guān)系再細(xì)分兩到三種情況進(jìn)行探究(如表1所示).

表1

本案例借助幾何畫板，通過改變兩圓的位置關(guān)系，學(xué)生探索動(dòng)圓圓心的軌跡可能是橢圓、雙曲線、射線等.設(shè)計(jì)的目的在于突出學(xué)生的主體地位，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作、觀察、研究、思考的探究能力，有效拓展學(xué)生學(xué)習(xí)的空間以及解決問題的態(tài)度、深度、廣度和靈活度，激發(fā)學(xué)生的探究興趣.

二、 創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究問題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程

創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究問題，讓學(xué)生體驗(yàn)一些數(shù)學(xué)概念、公式、定理、公理、結(jié)論以及知識(shí)的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生由直觀現(xiàn)象歸納、探索數(shù)學(xué)知識(shí)，或通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的可視化驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論，由此充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，激起學(xué)生的好奇心和求知欲.

(續(xù)表)

(續(xù)表)

案例2：棱錐體積的探究

(一)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)意圖

使學(xué)生深刻理解三棱錐體積公式的推導(dǎo)過程，掌握三棱錐體積公式并能運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算或論證，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，同時(shí)滲透轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想方法.本實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)以實(shí)物的方式使學(xué)生獲得感性認(rèn)識(shí)，在感性上得到認(rèn)可，再從數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性和精確性角度證明該公式.

(二)實(shí)驗(yàn)方法

方案1：利用模型操作(排液法或稱重法或割補(bǔ)法)完成體積測(cè)量.

方案2：利用課件進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn).

(三)實(shí)驗(yàn)過程

方案1(實(shí)物操作)：

1.測(cè)一測(cè)、量一量

利用等底等高的三棱柱、三棱錐以及細(xì)沙探究?jī)蓚€(gè)容器的關(guān)系.運(yùn)用實(shí)物模型演示三棱錐和三棱柱體積的裝沙實(shí)驗(yàn)，在三棱錐體杯子里裝滿細(xì)沙，倒入三棱柱體的模具中，反復(fù)操作，發(fā)現(xiàn)恰好三次倒?jié)M.

2.切一切、割一割

取一個(gè)三棱柱的幾何體(蘿卜塊)進(jìn)行切割，用稱重法或排液法判斷切割后的三個(gè)三棱錐的體積關(guān)系.

方案2(利用課件進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn))：

借助幾何畫板演示，將三棱柱分割成三個(gè)三棱錐，利用動(dòng)態(tài)作圖、動(dòng)態(tài)測(cè)量等功能，可以將抽象性的空間結(jié)構(gòu)關(guān)系直觀生動(dòng)地顯示出來，在動(dòng)態(tài)的過程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)問題的能力，給學(xué)生提供探索的空間.

(四)實(shí)驗(yàn)證明思路

先將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)三棱柱，再將這個(gè)三棱柱分割成三個(gè)三棱錐，接著證明三個(gè)三棱錐體積相等(證明略).(如圖1—圖3所示)

圖3

高中數(shù)學(xué)中的許多公式和定理的發(fā)現(xiàn)都來源于實(shí)驗(yàn)，在棱錐的體積實(shí)驗(yàn)探究教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)探究、歸納猜想、理論證明這一完整的數(shù)學(xué)探究過程得到棱錐的體積公式.學(xué)生不僅能較容易地了解棱錐的體積公式，同時(shí)也加深對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解，培養(yǎng)形成“實(shí)驗(yàn)操作—直覺猜想—直觀驗(yàn)證—推理論證”的科學(xué)探究方法.

圖1圖2

三、創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究問題，強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力

創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究問題，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決現(xiàn)實(shí)問題，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力.在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題；通過分析問題建立數(shù)學(xué)模型；借助信息手段分析數(shù)據(jù)、求解模型、得出結(jié)論，并嘗試基于現(xiàn)實(shí)背景驗(yàn)證模型結(jié)果、改進(jìn)模型、完善模型，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的探究能力.

案例3：水槽問題設(shè)計(jì)

現(xiàn)有寬為a的長(zhǎng)方形板材，在單位時(shí)間水流速度一定的情況下，請(qǐng)將它設(shè)計(jì)成一開口水槽，使水槽的流量最大.(備注：在單位時(shí)間內(nèi)水流速度一定的情況下，水流量的大小取決于水槽橫截面的面積，水槽形狀的選擇又與實(shí)際條件限制和使用者的喜好有關(guān).如果不考慮實(shí)際條件限制和使用者喜好，則可以對(duì)形狀進(jìn)行多種選擇.)

學(xué)生設(shè)計(jì)的水槽橫截面圖形如圖4所示.

圖4

學(xué)生問題探究過程中的分析如表2所示.

表2

在建模過程中，學(xué)生培養(yǎng)了學(xué)習(xí)習(xí)慣、觀察視角、思考方法、思維方式、探索精神和創(chuàng)新能力，提高了數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.通過創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究問題，不斷加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)，學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)應(yīng)用，促進(jìn)全面發(fā)展.

四、 創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究問題，提高學(xué)生的辯證思維能力

引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜的現(xiàn)象中把握事物的本質(zhì)及規(guī)律，探索事物間的聯(lián)系與差異，將已有事實(shí)變更推廣為更有深度的結(jié)論等，啟迪思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

從學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和慣性思維角度創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究問題，通過一定量的特殊情形的實(shí)驗(yàn)觀察來總結(jié)和歸納，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行合情的推理、猜想、證明，發(fā)現(xiàn)和掌握數(shù)學(xué)概念、定理、結(jié)論等規(guī)律，克服抽象性結(jié)論和復(fù)雜推理證明中形成的認(rèn)知障礙.

案例4：互為反函數(shù)的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題

探究指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題(以同一底數(shù)的指、對(duì)函數(shù)圖像為例).

(一)設(shè)計(jì)意圖

面對(duì)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，大多數(shù)學(xué)生的掌握不夠清楚，受思維定勢(shì)的影響，不少學(xué)生會(huì)隨手作出它們的簡(jiǎn)圖.例如，當(dāng)a>1時(shí)，如圖5-1，它們沒有交點(diǎn)；當(dāng)0

(二)實(shí)驗(yàn)工具

幾何畫板或TI圖形計(jì)算器等.

(續(xù)表)

(三)實(shí)驗(yàn)探究問題設(shè)計(jì)

2.借助實(shí)驗(yàn)工具(幾何畫板或TI圖形計(jì)算器)進(jìn)行觀察，舉例說明a取不同的值時(shí)，函數(shù)y=logax與y=ax的圖像交點(diǎn)情況.

問題分析(直觀判斷)：借助幾何畫板可以直觀觀察和探討圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題(如表3所示).

表3

3.在問題2探索的基礎(chǔ)上，當(dāng)a取不同的值時(shí)，探究函數(shù)y=logax與y=ax的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù).

問題分析(數(shù)學(xué)驗(yàn)證)：借助幾何畫板，對(duì)y=ax與y=logax(a>0且a≠1)圖像的交點(diǎn)問題進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究，歸納交點(diǎn)的大致情況，對(duì)交點(diǎn)情況進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)尿?yàn)證和推理，驗(yàn)證如下.

(1)當(dāng)a>1時(shí)

若函數(shù)y=ax與y=logax相交只有一個(gè)交點(diǎn)，由互為反函數(shù)關(guān)系可知它們的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱，所以要使y=ax與y=logax圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則y=x是兩個(gè)函數(shù)的共同的切線，設(shè)兩個(gè)函數(shù)相切時(shí)的切點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1)，由于曲線y=ax在A處的切線斜率為1，所以ax1=x1，且函數(shù)y=ax的導(dǎo)數(shù)為y′=(ax)′=ax1lna=1.

圖6

圖7

圖8

(2)當(dāng)0

同理可得曲線y=ax在A處的切線斜率為-1，所以ax1=x1，且函數(shù)y=ax的導(dǎo)數(shù)為y′=(ax)′=ax1lna=-1.

如果不借助實(shí)驗(yàn)工具，僅靠手工作圖難以作出y=ax與y=logax交點(diǎn)，更難以判斷出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況，由此會(huì)給邏輯推理、驗(yàn)證結(jié)論帶來一定的困難.因此，借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具如幾何畫板等，引導(dǎo)學(xué)生在圖形的動(dòng)態(tài)變化中觀察現(xiàn)象、讀取數(shù)據(jù)、探索圖像之間的關(guān)系，隨后進(jìn)行邏輯推理和結(jié)論驗(yàn)證，克服思維定勢(shì)、封閉的狀態(tài)，將知識(shí)融會(huì)貫通，從而使其發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題，分析和探討數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、問題解決能力、創(chuàng)新思維能力.

創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究問題，通過假設(shè)、猜想、歸納、推理、佐證、拓展等一系列探究活動(dòng)，學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)形成過程，學(xué)會(huì)思考、發(fā)現(xiàn)和探索，提高學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的意識(shí)，逐步培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)事物、發(fā)現(xiàn)真理的方法，學(xué)生在獲得大量知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)又掌握了數(shù)學(xué)基本技能和數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)了創(chuàng)新能力，提高了數(shù)學(xué)素養(yǎng).