2021年高考數(shù)學試題綜合難度比較分析

楊正朝 (貴州師范大學數(shù)學科學學院 550025)

1 問題提出

2019年《國務院辦公廳關(guān)于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》強調(diào)科學設(shè)置試題難度，命題要符合相應學業(yè)質(zhì)量標準，體現(xiàn)不同考試功能．[1]隨后，教育部頒布《普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱》，明確提出高考應具有適當?shù)碾y度．[2]可見，試題難度不僅是教育部門關(guān)注的重點，也是社會關(guān)注的焦點．

為了更好地測量試題難度，文[3]對鮑建生課程難度的綜合難度模型進行改良，并用于測試中韓兩國高考試題的難度差異．文[4]基于文[3]的綜合難度模型，增加了條件含量、閱讀量兩個因素，并以此為框架，對2016—2020年高考數(shù)學(理科)全國卷中的“統(tǒng)計與概率”進行難度對比分析．文[5]以文[3]綜合難度模型為基礎(chǔ)，以是否含參、運算水平、推理能力等難度因素為測評框架，對2019和2020年高考理科數(shù)學全國Ⅱ卷進行難度分析．可見，近年來對高考試題進行難度分析和比較，逐漸成為了數(shù)學教育的熱點話題．因此，本研究以2021年高考試卷為例，對其綜合難度進行分析對比，以便更好地為數(shù)學教學和高考命題提供建議．

2 研究設(shè)計

2.1 研究對象及方法

2021年高考試卷主要由三類組成：一是新高考試卷；二是文理不分科的自主命題；三是高考全國卷．研究以2021年全國理科(甲乙卷)、新高考Ⅰ卷和浙江卷共四套試卷為對象，進行綜合難度分析，數(shù)據(jù)結(jié)果借助SPSS和Excel分別繪制條形圖和雷達圖，以便能夠直觀地進行比較分析．

2.2 研究工具

(1)綜合難度模型

本研究基于文[3]的綜合難度模型，以該模型的七個難度因素為框架，進行水平劃分．各難度因素按A～G逐一進行編碼，每個因素水平都分2～4級，依次賦值1～4，相關(guān)編碼及賦值如表1所示.

表1 綜合難度模型水平劃分及賦值

表1 綜合難度模型水平劃分及賦值(續(xù))

(2)示例分析

例(2021年全國乙卷第10題)設(shè)a≠0，若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點，則( )．

A.abC.aba2

難度水平分析該題編碼為：A1無背景(題目為純數(shù)學知識)，B2有參數(shù)(含有參數(shù)變量a,b)，C3簡單符號運算(包含求導等符號運算)，D2復雜推理(推理較為抽象，步驟在3步以上)，E3兩個知識點(包括零點、極值點、單調(diào)性等知識)，F(xiàn)1順向思維(按題目條件直接求解問題)，G2運用(運用函數(shù)與導數(shù)相關(guān)知識求解)．

3 研究結(jié)果

根據(jù)表1水平劃分和賦值標準，對2021年四套試卷中的試題進行分析，得出相關(guān)數(shù)據(jù)．其中，百分比為各因素水平題目數(shù)除以試卷試題總數(shù)(全國甲乙卷均為23個題，而新高考Ⅰ卷和浙江卷均為22題)，例如全國甲卷無背景A1：19÷23=82.6%，浙江卷無參數(shù)B1：9÷22=40.9%．并結(jié)合公式(*)計算各因素的綜合難度系數(shù)，最終數(shù)據(jù)結(jié)果如表2所示．

表2 四套試卷的試題綜合難度系數(shù)統(tǒng)計

為了能夠生動地刻畫不同試卷的7個因素情況，通過表2數(shù)據(jù)，利用SPSS繪制條形圖，對四套試卷進行比較分析．對于整套試卷的綜合難度系數(shù)，利用Excel繪制雷達圖做整體性分析．

3.1 背景因素分析

由圖1可知，在生活背景方面，全國甲乙卷和新高考Ⅰ卷均有考查到，而且比重均為13.0%左右，浙江卷沒有涉及到生活背景的考查；在科學背景上，僅有全國甲卷和浙江卷考查到，分別為4.4%和4.5%，其余兩套試卷都為0．可見，全國統(tǒng)一命題的試卷比較注重有背景的考查，而浙江卷相對較少．

圖1

3.2 參數(shù)因素分析

由圖2可以發(fā)現(xiàn)，在有參數(shù)方面，全國甲乙卷考查占比較高，均為60.9%，浙江卷次之，為59.1%，新高考Ⅰ卷最低，為50%．試題含有參數(shù)，在一定程度上要比無參數(shù)的試題抽象．

圖2

3.3 運算水平分析

由圖3可知，四套試卷對于運算因素的四個水平都有全面考查到，但是分布不均衡．在簡單數(shù)值運算上，全國乙卷為43.5%，比重最大，其次全國乙卷，為39.1%，最低的是新高考Ⅰ卷和浙江卷，均為31.8%；在復雜數(shù)值運算上，四套試卷的差別不大；在簡單符號運算方面，浙江卷>全國乙卷>全國甲卷>新高考Ⅰ卷；在復雜符號運算上，新高考Ⅰ卷比重最高，為27.3%，運算難度較大，浙江卷次之，為18.2%，全國甲乙卷較低．從整體來看，四套試卷都側(cè)重于考查簡單數(shù)值和簡單符號運算，二者之和占一半以上．

圖3

3.4 推理能力分析

由圖4可知，四套試卷重點考查復雜推理．在復雜推理方面，浙江卷比重最高，為68.2%，新高考Ⅰ卷次之，最低為全國甲乙卷，均為56.5%．可以看出，浙江卷在邏輯推理方面，運算步驟多，要求較高的邏輯推理能力．

圖4

3.5 知識含量分析

由圖5可以看出，對于知識含量因素三個水平的考查，四套試卷都有考查．在單個知識點方面，浙江卷最高，比重為36.4%，其次是新高考Ⅰ卷31.8%，全國甲卷為17.4%，全國乙卷最低，僅有8.7%；在兩個以上知識點的考查上，全國乙卷比重較高，其次是全國甲卷，新高考Ⅰ卷和浙江卷緊隨其后．從整體來看，浙江卷和新高考Ⅰ卷對三個水平考查相對均衡，而全國甲乙卷較為偏向于兩個知識點以上的考查，考查知識點更為綜合．

圖5

3.6 思維方向分析

從圖6可知，四套試卷都傾向于考查順向思維．在順向思維上，浙江卷和全國Ⅰ卷占比最大，均為81.8%，其次是全國甲乙卷，都是78.3%，四套試卷的順向思維考查占比都在三分之二以上，這也體現(xiàn)了順向思維符合學生思考方向，考查難度較適宜．在逆向思維上，四套卷的比重都在20%左右，其中，全國甲乙卷比重較高一些．適當增加逆向思維的試題，能夠考查學生發(fā)散思維，對于不同層次的學生有良好的區(qū)分效果．

圖6

3.7 認知水平分析

由圖7可以看到，四套試卷對于認知因素的三個因素都有考查到，尤其是對于運用水平的考查，比重都比較高．在理解水平上，新高考Ⅰ卷考查較多，占22.7%，全國乙卷最低為8.7%；在運用水平方面，四套試卷占比均為一半以上，其中全國乙卷最高，其次是浙江卷，全國甲卷和新高考Ⅰ卷緊隨其后；在分析水平上，新高考Ⅰ卷>全國甲卷>浙江卷>全國乙卷，分析水平側(cè)重于考查學生綜合運用已有知識、方法等分析和解決問題的能力．

圖7

3.8 綜合難度分析

結(jié)合表2數(shù)據(jù)，利用各難度因素權(quán)重值ki以及公式(** )，計算出四套試卷的綜合難度系數(shù)，統(tǒng)計結(jié)果如表3．為了直觀形象地刻畫各難度因素水平，繪制出雷達圖8.

表3 綜合難度系數(shù)表

圖8

由表3可知，四套試卷的綜合難度系數(shù)從高到低依次排序，分別為：浙江卷>新高考Ⅰ卷>全國甲卷>全國乙卷．浙江卷相對來說，難度較大一些，全國統(tǒng)一命題的試卷差異不大．由于綜合難度系數(shù)不止上述7個因素，因此，該數(shù)據(jù)在此難度模型下，僅供參考．

從圖8可知，一方面四套試卷在背景因素、參數(shù)因素、推理能力、思維方向、認知水平五個方面差異不大，其余兩個難度因素有所差別，但差距不大，這體現(xiàn)了高考試卷保持一定的穩(wěn)定性和一致性．另一方面，四套試卷在運算水平、知識含量兩個難度因素上綜合難度系數(shù)均高于1.9，體現(xiàn)了試卷在運算能力和知識點綜合運用上，考查難度較大．

4 研究結(jié)論

4.1 相對于自主命題而言，全國統(tǒng)一命題更關(guān)注背景因素的考查

上述試卷中，前三套均為全國統(tǒng)一命題試卷，通過數(shù)據(jù)分析比較，不難發(fā)現(xiàn)，其顯著的特點是注重背景因素的考查，背景即課標中的情境．反觀浙江卷，對于背景因素的考查較少．一方面試題以生活和科學設(shè)置情境，貼近現(xiàn)實，符合學生認知水平．例如，2021年全國甲卷的第4題以“青少年視力”為背景設(shè)計數(shù)學問題．近年來，隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，青少年視力問題變成公眾關(guān)注的焦點，以此問題為切入點，不僅能夠引起學生的重視，而且考查學生綜合運用已學知識解決實際問題的能力，培養(yǎng)學生應用能力．另一方面“情境”二字多次出現(xiàn)在新課標，頻次較高，這也體現(xiàn)了情境設(shè)置在高中數(shù)學教學中的重要性，情境作為數(shù)學問題的載體，也能夠更好地體現(xiàn)育人的功能．例如，2021年全國乙卷第6題以“北京冬奧會志愿者”為背景，考查學生對計數(shù)原理和組合的運用，同時，也能夠激發(fā)學生的志愿精神．

4.2 浙江卷綜合難度系數(shù)偏高，學生應具備一定的數(shù)學基礎(chǔ)

通過上述對試卷綜合難度系數(shù)的分析，研究表明，浙江卷在考查難度上要高于其他三套試卷．但是通過試卷的試題分析，能夠發(fā)現(xiàn)，統(tǒng)一命題的全國卷中，存在著許多基礎(chǔ)題，因為統(tǒng)一命制的試卷面向的是多個省份，各省份教育和經(jīng)濟水平不一致，因此，在試卷難度上要保持平衡，注重考查學生的數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本數(shù)學素養(yǎng)．而浙江卷由于面向的是浙江省省內(nèi)學生，加上浙江省教育水平本身比較好，所以在試卷命制上更加注重中、高水平知識的考查，導致難度會有所加大．盡管考查的內(nèi)容一致，但是命制的出發(fā)點不一樣，也就導致了試題難度上難免會有所差異．因此，教學中要注重數(shù)學基礎(chǔ)的培養(yǎng)，如果學生不具備一定的數(shù)學基礎(chǔ)，在成績上很難有所提升．

4.3 四套試卷都重視運算能力和知識含量的考查

對于運算水平和知識含量的考查，兩者的難度系數(shù)都在1.9以上．一方面數(shù)學運算作為一種特殊的演繹推理，是處理數(shù)學問題、得到正確結(jié)果的基本途徑．[7]同時，數(shù)學運算也是數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一，可見，在命題上加強對學生運算能力的考查就顯得理所當然.數(shù)學運算無論是在數(shù)學學習，還是現(xiàn)實生活中，是應用最為普遍的關(guān)鍵能力，而且也是銜接其他學科的重要紐帶．另一方面知識含量體現(xiàn)了學生對知識點的掌握情況，試題的知識點融合得越多，越考查學生對知識的全面掌握程度，也考查學生對多個知識點的綜合運用能力．現(xiàn)實社會中，面對的問題紛繁復雜，如果對于綜合性的數(shù)學問題都一籌莫展，難以解決，那么踏入社會，學生只會舉步維艱．

4.4 相比其他試卷，新高考試卷更加重視知識的綜合運用

新高考在試卷結(jié)構(gòu)和題型上發(fā)生了重大變化，但是試題難度與其他試卷相比，差異性不大．新高考增設(shè)了多選題，一是多選題形式新穎，考查的內(nèi)容更為全面綜合．例如，2021年新高考Ⅰ卷第9題，考查學生對統(tǒng)計中平均數(shù)、中位數(shù)、標準差等內(nèi)容的理解，辨析它們的差異，考查內(nèi)容全面，難度并不大，這就要求學生在日常學習中，掌握基礎(chǔ)數(shù)學知識，養(yǎng)成勤于歸納總結(jié)的習慣，才能正確解決此類問題；二是多選題的設(shè)置，對不同層次的學生更具區(qū)分效果．多選題的得分機制是“全選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分”，其一方面突顯高考的人性化，增加學生的得分機會．另一方面更好地區(qū)分不同層次的學生，使高考起到更為科學的人才選拔作用．

5 研究啟示

高考作為學生學業(yè)質(zhì)量水平檢測的重要手段，同時也肩負著人才選拔的重任．為此，研究通過高考試卷綜合難度分析，旨在為數(shù)學教學和命題提供參考．首先，合理調(diào)節(jié)試卷難度，使其更具區(qū)分效果．這里指的區(qū)分效果并不是每個題都要提升難度，而是要求試卷中的極個別試題在命制上要有區(qū)分度．比如試卷的選擇題或填空題最后兩題，可以適當提升難度，這樣能夠更好地體現(xiàn)人才選拔的目的，對不同層次的學生起到更好的區(qū)分效果．其次，夯實基礎(chǔ)知識，落實“四基”“四能”．新課標強調(diào)“四基”“四能”，其立足于基礎(chǔ)知識的學習，才能夠有更加長遠的發(fā)展．通過試卷分析能夠發(fā)現(xiàn)，高考中大多數(shù)試題是以基礎(chǔ)知識為方向來命制的，尤其是全國統(tǒng)一命制的試卷，更加體現(xiàn)這一特點，這就要求在實際教學中，注重基礎(chǔ)知識的理解和運用，夯實基礎(chǔ)數(shù)學知識，提高自身的分析和解決問題能力．最后，加強開放性題型的命制，全面考查學生數(shù)學素養(yǎng)．開放性題型形式靈活，對學生能力要求更為全面和綜合，能在一定程度上考查學生的創(chuàng)新意識．在教學過程中，要加強對學生探究意識的培養(yǎng)，讓學生在情境中，積極地參與問題提出和問題解決．