數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)學(xué)生高效學(xué)習(xí)

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)思想方法指引著解題方向，是提升解題效率、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要工具. 文章從數(shù)學(xué)思想方法的考查特點(diǎn)入手，通過對(duì)具體案例的解析展示了數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值，進(jìn)而引起師生重視數(shù)學(xué)思想方法的提煉和總結(jié)，促進(jìn)學(xué)生提升數(shù)學(xué)能力.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)思想；解題效率；數(shù)學(xué)能力

高考題目是千變?nèi)f化的，為了提高解題效率，部分師生往往喜歡研究一些特殊的解題技巧，然高考往往側(cè)重于對(duì)通性通法的考核，盲目追求解題技巧可能會(huì)使教學(xué)目標(biāo)發(fā)生偏移，進(jìn)而影響學(xué)習(xí)能力的提升和數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng). 為了引起師生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的重視，筆者通過實(shí)例談?wù)剶?shù)學(xué)思想方法的考查特點(diǎn)以及教學(xué)策略.

考查特點(diǎn)以及考查方式

1. 情境性

數(shù)學(xué)試題中常常會(huì)出現(xiàn)一些與生活緊密相連的問題情境，通過對(duì)具體的問題情境的抽象和概括轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而通過對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的考核來(lái)考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握情況.

例1 小明的身高是176 cm，他爺爺?shù)纳砀呤?73 cm，他父親的身高是170 cm，他兒子的身高是182 cm. 若兒子的身高與父親有關(guān)，請(qǐng)應(yīng)用線性回歸來(lái)推算小明孫子的身高.

分析：不妨設(shè)當(dāng)父親的身高是x cm時(shí)，兒子的身高是y cm，根據(jù)已知可得對(duì)應(yīng)的關(guān)系如表1所示.

由表1可得x的平均值為173，y的平均值為176，利用公式易求得線性回歸方程為y=x+3，于是可預(yù)測(cè)小明孫子的身高為185 cm.

評(píng)注：本題是一道中檔題，主要借助于學(xué)生熟悉的情境來(lái)考查學(xué)生對(duì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)和函數(shù)等相關(guān)知識(shí)的掌握情況，在解題過程中巧妙地滲透著函數(shù)與方程、概率統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.

2. 蘊(yùn)含性

數(shù)學(xué)思想方法的考查往往是隱性的，卻貫穿編題、審題、解題等各個(gè)過程，因此，處處可見數(shù)學(xué)思想方法的影子，其在解題過程中發(fā)揮著重要的作用.

例2 設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是______.

評(píng)注：本題為求最值問題，因?yàn)槭嵌嘣匠?，所以需要換元，換元思想蘊(yùn)含其中. 換元并化簡(jiǎn)后，將原問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)t的一元二次方程問題，這樣求解時(shí)自然會(huì)應(yīng)用與方程相關(guān)的知識(shí)，方程思想也蘊(yùn)含其中. 這樣將換元思想、方程思想“含而不露”地隱藏其中，學(xué)生只有熟練掌握這些數(shù)學(xué)思想方法，問題才能迎刃而解.

3. 綜合性

數(shù)學(xué)題目是豐富多彩的，一個(gè)題目中蘊(yùn)含著多個(gè)知識(shí)點(diǎn)、多種數(shù)學(xué)思想方法. 各知識(shí)點(diǎn)相互交融，因此解題過程中需要各種思想方法與之配合，協(xié)同作戰(zhàn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法的綜合性.

例3 設(shè)函數(shù)f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0.

（2）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；

評(píng)注：本題考查的知識(shí)點(diǎn)主要是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值等. 從本題的解答過程可以看出，其應(yīng)用了多種數(shù)學(xué)思想方法. 例如，解決問題（2）時(shí)應(yīng)用了分類討論思想，解決問題（3）時(shí)應(yīng)用構(gòu)造法構(gòu)造出了一個(gè)新函數(shù)h（x）=x3－x2+ln（x+1），為接下來(lái)的證明做好了鋪墊，轉(zhuǎn)化與化歸思想方法蘊(yùn)含其中，同時(shí)函數(shù)與方程思想貫穿了整個(gè)解答過程.

4. 層次性

命題者往往會(huì)參考學(xué)生的思維特點(diǎn)設(shè)計(jì)一些“多解”的題目，進(jìn)而從解法上考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法靈活應(yīng)用的水平，因?qū)W生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)及思維能力有一定的層次性，故數(shù)學(xué)思想方法也會(huì)呈現(xiàn)一定的層次性.

例4 設(shè)函數(shù)f（x）=x3cosx+1. 若f（a）=11，則f（－a）=______.

解法1：由f（a）=a3cosa+1=11，得a3cosa=10，于是f（－a）=（－a）3cos（－a）+1= －a3cosa+1=－10+1=－9.

解法2：令g（x）=f（x）－1=x3cosx，易知g（x）為奇函數(shù)，于是g（－a）=f（－a）－1= －g（a）=－f（a）+1=－11+1=－10，故f（－a）=-9.

評(píng)注：例4從表面上看是一道函數(shù)求值問題，解法1利用的是函數(shù)的性質(zhì)，雖然用該方法求解也較為方便，然透過解法可以看出學(xué)生的思維層次和數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用能力相對(duì)較弱；解法2通過構(gòu)造奇函數(shù)g（x）=f（x）－1=x3cosx，利用奇函數(shù)的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，可見學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解較為深刻，對(duì)函數(shù)思想方法的運(yùn)用也更加靈活. 教學(xué)中要鼓勵(lì)學(xué)生嘗試從不同的角度去分析和解決問題，這有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度和深度，進(jìn)而使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法有更高層次的理解，這樣應(yīng)用起來(lái)勢(shì)必會(huì)更加靈活，解題效率自然也會(huì)得到提升.

5. 通用性

很多學(xué)生面對(duì)高考數(shù)學(xué)題目時(shí)容易出現(xiàn)畏難情緒，因?yàn)閷W(xué)生往往感覺高考題目都是新奇的、多變的，似乎平時(shí)練習(xí)的解題技巧都隨著題目的變化而失效了，故出現(xiàn)了“談數(shù)色變”的現(xiàn)象. 然縱觀歷屆高考題目，其考查的都是學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握情況，而非“絕技”，解題的思想方法都是普遍適用的通性通法. 因此，教學(xué)中切勿讓解題技巧蒙蔽了雙眼，要從一般解法出發(fā)，重視通性通法的積累，進(jìn)而擁有“以不變應(yīng)萬(wàn)變”的能力，最終提升解題準(zhǔn)確率.

例5 已知a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，則ab+bc+ca的最小值為______.

評(píng)注：已知中給出了a，b，c三個(gè)未知數(shù)對(duì)應(yīng)的方程，求ab+bc+ca的最小值的通用方法就是聯(lián)立三個(gè)方程，分別求出a，b，c的值，發(fā)現(xiàn)a，b，c的值并不唯一，故需要分類討論，因此本題不僅考查了方程思想，也考查了分類討論思想. 本題考查的就是通性通法，然很多學(xué)生解題時(shí)卻習(xí)慣從結(jié)論出發(fā)，利用基本不等式求解，希望通過對(duì)結(jié)論變形而找到解題的突破口，結(jié)果走了彎路，將一道普通的題目變成了一道難題，得不償失.

培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略

數(shù)學(xué)思想方法存在于“教”與“學(xué)”的每個(gè)角落，因此，在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中要有意識(shí)、有目的地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的提煉和總結(jié)，進(jìn)而將數(shù)學(xué)思想方法轉(zhuǎn)化為一種學(xué)習(xí)能力，這將對(duì)實(shí)現(xiàn)“終身學(xué)習(xí)”的教育目標(biāo)發(fā)揮不可估量的作用. 同時(shí)，教師也應(yīng)意識(shí)到，數(shù)學(xué)思想方法的形成是一個(gè)長(zhǎng)期的過程，對(duì)于高中學(xué)生來(lái)講，雖然其有了較強(qiáng)的邏輯思維能力，然其抽象和概況能力還較為薄弱，對(duì)問題本質(zhì)的領(lǐng)悟需要一個(gè)長(zhǎng)期的過程. 因此，教學(xué)中切勿急于求成，要讓數(shù)學(xué)思想經(jīng)歷萌芽、生長(zhǎng)、開花和結(jié)果的過程，進(jìn)而從感性認(rèn)識(shí)逐漸上升為理性認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從問題的本質(zhì)看待問題，最終將數(shù)學(xué)思想方法轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)能力. 那么教學(xué)中應(yīng)如何去培養(yǎng)呢？

1. 重視內(nèi)容深度

教學(xué)中應(yīng)重視教學(xué)內(nèi)容的深度，拓展思維的廣度，善于對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行深加工，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的提煉. 之所以要對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深加工，主要是因?yàn)閿?shù)學(xué)思想往往是隱性存在的，只有教師有目的地進(jìn)行引導(dǎo)，學(xué)生才會(huì)在知識(shí)產(chǎn)生及發(fā)展的過程中通過總結(jié)和提煉將數(shù)學(xué)思想內(nèi)化成一種數(shù)學(xué)能力，促進(jìn)學(xué)習(xí)能力的全面提升.

2. 關(guān)注生成過程

過程是思維產(chǎn)生和發(fā)展的前提，缺乏過程的教學(xué)可以理解為生搬硬套，那樣學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解是淺顯的，也就談不上數(shù)學(xué)思想方法的提煉，更不可能應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去高效地解決問題. 因此，教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多關(guān)注知識(shí)產(chǎn)生的背景，從知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過程中領(lǐng)悟問題的本質(zhì)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法的重要價(jià)值.

3. 引導(dǎo)解后反思

解題教學(xué)在教學(xué)中的重要性是不言而喻的，其是檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法掌握程度最直接也是最有效的手段之一. 解題教學(xué)中要重視解后反思，通過反思將解題過程升華至數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，從而使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解上升至一個(gè)新的高度，有利于解題效率及學(xué)習(xí)能力的提升.

總之，在教學(xué)內(nèi)容的選擇、教學(xué)策略的實(shí)施以及解后反思中都應(yīng)滲透數(shù)學(xué)思想方法，通過潛移默化的引導(dǎo)使學(xué)生形成學(xué)習(xí)能力，為實(shí)現(xiàn)“終身學(xué)習(xí)”奠基.

作者簡(jiǎn)介：崔磊（1984—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.