圓錐曲線對稱問題“轉(zhuǎn)化法”

甘肅省張掖市第二中學(xué) 紀(jì)相林

“圓錐曲線與方程”是湘教版選修(一)第2章的內(nèi)容，雖然是選修內(nèi)容，但其重要性卻不容忽視.近幾年來，“圓錐曲線對稱問題”已成為高考中頻繁出現(xiàn)的一個熱點和難點問題.因此，熟悉這類問題的常見題型，掌握和運用“轉(zhuǎn)化法”解題的方法與技巧也就顯得十分重要[1].

圓錐曲線對稱問題通常包括中心對稱和軸對稱兩大類.對于中心對稱類問題，一般采用“轉(zhuǎn)化中點法”，利用中點坐標(biāo)公式進行求解；對于軸對稱類問題，一般采用“等價轉(zhuǎn)化法”，將原問題轉(zhuǎn)化為它的等價問題進行求解[2].

下面通過對典型例題的解析，來了解和掌握運用“轉(zhuǎn)化”法來解決問題的方法與技巧.

1 轉(zhuǎn)化中點法

一般情況下，對于中心對稱類問題，主要根據(jù)“兩對稱點連線段被對稱中心平分”這一性質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化為中點問題進行解決.

x′=-4-x，y′=2-y①

因為P′(x′,y′)在橢圓C上，所以

方法與技巧:本題屬于曲線f(x,y)=0關(guān)于點Q(m,n)的對稱曲線類典型問題.解決這類問題，首先將坐標(biāo)平移，使原點移到對稱中心Q，在新坐標(biāo)系下原曲線為f(x′+m,y′+n)=0，其對稱曲線為f(-x′+m,-y′+n)=0，然后再依據(jù)x′=x-m，y′=y-n將坐標(biāo)系平移回原坐標(biāo)系，可得到對稱曲線的新方程f(2m-x,2n-y)=0，最后再把已知曲線方程中的x換成2m-x，y換成2n-y即可.

圖1

方法與技巧:在本題中，由于雙曲線與橢圓有公共焦點，且有相同的對稱軸，其四個交點組成以坐標(biāo)軸為對稱軸的矩形，我們只要研究在第一象限的情況即可解決問題.由此可見，對于一般的二次曲線問題，利用它轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式后的對稱軸和對稱中心來解決較為便捷[3].

2 等價轉(zhuǎn)化法

對于求橢圓上存在兩點關(guān)于某一條直線l對稱類問題，我們可以化繁為簡，將其轉(zhuǎn)化為等價問題來解決.

13x2-8nx+16n2-48=0

③

設(shè)l′與橢圓C的兩個交點P(x1,y1)，Q(x2,y2)，顯然x1≠x2.

圖2

假設(shè)在E上存在關(guān)于直線l對稱的兩個不同的點B(x1，y1)和C(x2，y2).

設(shè)BC的中點為M(x0，y0)，則

因為點M在直線l上，所以

2x0-y0-1=0 ④

3x0-2y0=0 ⑤

④×2-⑤,得x0=2.這表明BC的中點就是點A,當(dāng)然這是不可能的.也就是說，橢圓E上不存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點.

方法與技巧:本題仍然是采用將待證點B，C等價轉(zhuǎn)換為已知點A的間接證明思路.在具體證明過程中，首先根據(jù)已知條件求出橢圓方程，然后利用橢圓的方程、性質(zhì)和已知直線的斜率得出假設(shè)的BC中點的坐標(biāo)與橢圓E上的點A重合的反面結(jié)論，從而使原題得證.

從上述典型例題的方法與技巧的總結(jié)中，我們可以看出，運用“轉(zhuǎn)化法”解決圓錐曲線對稱問題具有較強的可行性與實用性，關(guān)鍵是要充分、靈活地利用好橢圓、直線與點的相關(guān)性質(zhì).