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    正則性方法的內(nèi)涵與理解

    2022-11-23 01:21:20曹志杰
    科技資訊 2022年23期
    關(guān)鍵詞:曲邊正則矩形

    曹志杰

    (三峽大學(xué)理學(xué)院 湖北宜昌 443002)

    微分方程解的正則性在數(shù)學(xué)研究中非常重要,此外還有其他對(duì)象的正則性。研究發(fā)現(xiàn),不同的數(shù)學(xué)對(duì)象,有不同的正則化過程和正則性要求。這給數(shù)學(xué)研究者,尤其是初級(jí)研究者帶來很大的理解障礙?;谶@種狀況,考察一般正則性與正則化的基本內(nèi)涵,給一些不同的正則性和正則化的理解提供一種“范式”是必要的。該文正是基于這種考慮,試圖為較為容易地理解和把握種類繁多的正則性和正則化現(xiàn)象,介紹一種思路。

    1 正則性概述

    研究解的正則性是微分方程求解分析中非常重要的一個(gè)方面。文獻(xiàn)[1]的第四章第六節(jié)詳細(xì)說明了數(shù)學(xué)家對(duì)微分方程求解的正則性分析過程:從古典導(dǎo)數(shù)到廣義導(dǎo)數(shù),且引出廣義函數(shù)從而將方程的求解范圍逐步擴(kuò)大以得到解的表達(dá)式,接著分析傅里葉變換的逆對(duì)應(yīng)的空間變化等內(nèi)容,為將由廣義導(dǎo)數(shù)表達(dá)的解回到古典導(dǎo)數(shù)上打下基礎(chǔ)。其實(shí)整個(gè)過程,就是先用某種方式將解表達(dá)出來,然后分析這樣做時(shí)出現(xiàn)的問題并加入條件將問題解決。微分方程解的正則性討論在碩、博士畢業(yè)論文中也屢見不鮮,比如:文獻(xiàn)[2]詳細(xì)討論了Landau-Lifshitz 方程與Maxwell 方程在自旋累積效應(yīng)下耦合系統(tǒng)解的部分正則性等性質(zhì)及三維A帶自旋擴(kuò)散的Landau-Lifshitz-Maxwell系統(tǒng)的部分正則性;文獻(xiàn)[3]利用解析半群理論、分?jǐn)?shù)冪理論、不動(dòng)點(diǎn)定理研究了兩類具有非局部條件的中立型發(fā)展方程解的存在性與正則性問題。文獻(xiàn)[4]證明在一定條件下不可壓三維Navier-Stokes 方程的弱解u是正則的;文獻(xiàn)[5-7]分別研究了三維廣義的MHD系統(tǒng)和Hall-MHD系統(tǒng)的正則性規(guī)則,Navier-Stokes方程的局部正則性條件,和三維MHD-α型模型全局吸引子的正則性。

    數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中遇到的正則,涵義往往有很大差異,如函數(shù)正則化方法、某測(cè)度是正則的、偏微分方程解的正則性估計(jì)等表達(dá),還有,如正則性公理(也叫基礎(chǔ)公理,是Zermelo-Fraenhel 集合論中的公理之一)、正則表達(dá)式(這是一種可以用于模式匹配和替換的工具,可以讓用戶通過使用一系列的特殊字符構(gòu)建匹配模式,然后把匹配模式與待比較字符串或文件進(jìn)行比較,根據(jù)比較對(duì)象中是否包含匹配模式,執(zhí)行相應(yīng)的程序)等。語義上,以上出現(xiàn)的“正則”各對(duì)應(yīng)正則(regular),或正則性(regularity),或正則化(regularize)中的某一種或幾種。在不同的數(shù)學(xué)學(xué)科背景中,這些“正則”的意義相差甚遠(yuǎn),初學(xué)者對(duì)這些差異會(huì)感到極大的困惑。這個(gè)困惑的程度,比另一個(gè)常見的數(shù)學(xué)名詞——齊次性,引起的要嚴(yán)重一些。畢竟,諸如(非)齊次線性方程組、齊次微分方程、齊次多項(xiàng)式(函數(shù))等,這些“齊次”的含義雖然不同,但其定義很清晰,理解起來一般不會(huì)有難度。

    由此可知,正則現(xiàn)象(指某對(duì)象的正則性和正則化)與某種規(guī)則相連。正則化,顧名思義,就是根據(jù)某規(guī)則,按照(某種)方式行事,這個(gè)過程中要求的對(duì)象的性質(zhì),就稱為正則性。粗略來講,正則就是在實(shí)際應(yīng)用中向某個(gè)規(guī)則靠攏,以此解決僅靠規(guī)則解決不了的“棘手”問題以及由此而產(chǎn)生的一系列相關(guān)問題:譬如函數(shù)正則化方法,是用光滑函數(shù)逼近一般函數(shù)(其光滑程度不滿足實(shí)際需要)的方法,就是函數(shù)向光滑函數(shù)靠攏之意,二者達(dá)到一定的接近程度,就可用光滑函數(shù)的方法來解決一般函數(shù)的問題;某測(cè)度是正則的,按照定義指的是對(duì)集族中的任一集合(對(duì)測(cè)度而言,是非?!半y測(cè)”的),都可找到一個(gè)“可測(cè)”的集合,使后者包含前者,并且二者的“測(cè)度”是相等的,這可理解為集族中任一集合的某度量都向某一測(cè)度靠攏,因而得到集族的一個(gè)測(cè)度。

    對(duì)方程解的正則性進(jìn)行估計(jì)是求解偏微分方程時(shí)的一個(gè)重要問題。事實(shí)上,假設(shè)解是存在的,只需要再證明某種先驗(yàn)估計(jì),解的存在性就得到證明。具體地,對(duì)于一個(gè)方程Lu=f,其中L是一個(gè)古典導(dǎo)數(shù)算子,如,物理上要求方程的解在最低二次可導(dǎo)函數(shù)空間X中,但要在這個(gè)空間X中求得方程的解,是困難的。這個(gè)空間上的算子欠缺“好”的性質(zhì),如自反性、嚴(yán)格凸及列緊性等。為此,數(shù)學(xué)家引入了“弱導(dǎo)數(shù)”及“廣義函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”等概念,將古典微分算子L“弱化”為弱算子LC。這個(gè)弱算子是哪怕對(duì)于基本的可測(cè)函數(shù),也可以對(duì)它求導(dǎo)(弱導(dǎo)數(shù)),而且這個(gè)弱導(dǎo)數(shù)算子對(duì)應(yīng)一個(gè)較好的空間(Sobolev 空間等),數(shù)學(xué)上這些空間中的算子具有非常豐富的性質(zhì)。由此人們就易于得到方程LCu=f的解,但這是“弱解”——弱算子LC對(duì)應(yīng)的解。回到原方程,我們發(fā)現(xiàn),弱解所在的空間不具有相應(yīng)的物理意義,為解決實(shí)際問題,我們還得回到古典導(dǎo)數(shù)意義下的函數(shù)空間,就是要再回到前述空間X上。這個(gè)弱解是否能與如何“回到”古典導(dǎo)數(shù)空間X中,就是原方程解的正則性估計(jì)問題??偨Y(jié)整個(gè)過程,就是為了在X中求得方程的解,我們退而求其次,選擇一個(gè)更大(條件更寬松,以致原本不可以求導(dǎo)的函數(shù)都有導(dǎo)數(shù))的函數(shù)空間,自然在其中較易得到原方程的解(是弱解),然后在對(duì)其“正則化”,即尋找條件,使得弱解能“回到”原空間X中。循著這個(gè)模式,我們就可以大體把握偏微分方程理論對(duì)具體某方程求解的過程了。

    其余部分安排如下:第2 部分從正則性(化)的角度分析黎曼積分定義,給這個(gè)過程一個(gè)正則化的理解;第3部分結(jié)合卷積的性質(zhì),利用磨光技術(shù),考察將一般函數(shù)磨光為光滑函數(shù)的過程,這也是一種正則化。最后給出該文的結(jié)論。

    2 黎曼積分過程

    積分就是為解決面積問題而提出的。求平面圖形的面積,我們自然求助于規(guī)則圖形的面積公式,那么,對(duì)不規(guī)則圖形,如何求面積?

    黎曼積分(就是一般微積分教材中的定積分)給出了基于正則性(化)思想的處理辦法——在平面圖形的曲邊逐點(diǎn)連續(xù)時(shí)用求規(guī)則圖形面積的公式得到任意不規(guī)則圖形面積的一種方法。

    回顧定積分概念的引入。任給一個(gè)平面圖形,如何得到它的精確面積?

    這里該文考慮用已有的面積公式,即希望能使用某已知求面積公式。用哪一個(gè)公式?如何用那個(gè)公式求出這種圖形的精確面積?這兩個(gè)問題都很關(guān)鍵。應(yīng)當(dāng)注意到,整塊平面的面積等于將它分割成各部分后各部分面積相加的結(jié)果。因此,下面該文的考慮思路是,首先將這一平面圖形規(guī)則的分割成幾大塊,針對(duì)其中的某一塊,在某個(gè)坐標(biāo)系下將其再分割成與某坐標(biāo)軸平行的、僅有一邊是曲線的圖形;下一步是繼續(xù)分割,讓每一個(gè)這樣的圖形越來越窄,及每一個(gè)的曲線邊的長(zhǎng)度越來越小。這樣的操作一直下去,直到這些不規(guī)則的窄長(zhǎng)的圖形幾乎可視為規(guī)則的矩形,就可以用公式計(jì)算出這樣的每一個(gè)圖形的面積,然后再把這些部分的面積加起來,就可以求得整個(gè)不規(guī)則圖形的面積。

    該過程中就使用了正則性方法,即求解時(shí)確定用某一目標(biāo)公式,然后就向這個(gè)公式靠攏,考慮在何種情況下可以正當(dāng)合理地使用這個(gè)公式。這個(gè)過程也能使研究者更深刻地理解函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)定義的深度。下文是具體過程。

    可先粗略地將任意平面劃分為I、II、III、IV四部分(見圖1),每個(gè)部分就相對(duì)規(guī)整一些。一般而言,我們考慮形如V 的圖形(見圖2)(稱為曲邊梯形,假設(shè)其中的曲邊所在曲線的方程已知,記為y=f(x);而該曲邊梯形若除去其下方一個(gè)同底的矩形,就可對(duì)應(yīng)前述四部分中的某一個(gè))的面積。對(duì)平面圖形來說,面積等于劃分后它的全部各部分面積之和,因此,前述任意圖形的面積就等于劃分后的四部分面積之和?;诖?,對(duì)曲邊梯形V 有規(guī)律地劃分,使得到的每一小部分都是一個(gè)窄的曲邊梯形。小曲邊梯形越來越像矩形,但畢竟不是,因此還不能用矩形的面積公式。

    圖1 任意平面圖形的分割

    圖2 曲邊梯形的細(xì)分

    小差距總是存在,總是不能實(shí)至名歸的用矩形面積公式來求陰影圖形的面積,怎么才能實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)呢?根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)x0處連續(xù)的概念,有

    其中Δx=x-x0,Δy=f(x)-f(x0),考慮到Δx→0 并不表示Δx=0,于是就有一個(gè)寬為Δx,長(zhǎng)為f(x0)的確定的矩形,它的面積當(dāng)然就是f(x0)Δx。當(dāng)函數(shù)y=f(x)在研究區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)處都連續(xù)時(shí),就可以給出這樣的結(jié)論:所謂曲邊梯形的面積實(shí)際上等于若干矩形面積之和,這正是黎曼和。這個(gè)過程,就是在矩形面積公式的指引下,逐步將不規(guī)則圖形的面積用這個(gè)公式處理的過程,實(shí)際是一個(gè)正則化的過程:將不規(guī)則的圖形的面積用規(guī)則圖形面積的計(jì)算公式求得,過程中涉及到平面面積的整體等于部分和屬性,及對(duì)曲線(曲邊梯形之曲邊)在研究范圍內(nèi)每一點(diǎn)的連續(xù)性等性質(zhì),這些也可以理解為曲邊梯形面積求解過程中涉及的“正則性”。以上是一維空間的情況,推廣開來,多維也有類似結(jié)論,而且,隨著空間維度的增加,涉及的正則性的研究會(huì)越來越復(fù)雜。

    為了能用矩形的面積公式,要求這個(gè)小部分是一個(gè)精確的矩形。這個(gè)過程如何向矩形靠攏呢?對(duì)曲邊提一個(gè)要求,即其上每一點(diǎn)處曲線都是連續(xù)的,這就能做到當(dāng)兩長(zhǎng)邊的距離趨于零時(shí)兩長(zhǎng)邊的差距也趨于零,從而每個(gè)窄的曲邊梯形就做成一個(gè)矩形,這就是一個(gè)正則化的過程。

    黎曼積分的這個(gè)過程中要求的曲邊上每一點(diǎn)都是連續(xù)的在物理場(chǎng)景中是一個(gè)非??量痰臈l件,這也是后來勒貝格積分(另外一種源于正則化思想求不規(guī)則圖形面積的處理方式)得以替代并在用途上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越黎曼積分的一個(gè)原因。

    3 一般函數(shù)的磨光

    在函數(shù)的使用過程中,一定的光滑性是必需的。但在實(shí)際問題中,函數(shù)的光滑性往往達(dá)不到使用的要求,因而要增加函數(shù)光滑性。對(duì)應(yīng)的操作,就是對(duì)函數(shù)的磨光。

    函數(shù)的光滑性也稱為函數(shù)的正則性。光滑性在函數(shù)的使用過程中至為重要,因而對(duì)一般的函數(shù)會(huì)盡量使其具有光滑性。這個(gè)方法稱為對(duì)函數(shù)磨光。這也是一個(gè)正則化的過程,將一般函數(shù)“磨成”光滑函數(shù)。

    考慮到卷積的性質(zhì):“若f與g中之一是可微的,則其卷積也是可微的,且其階相同”,那么對(duì)于一般的研究對(duì)象,只要找一個(gè)光滑函數(shù),二者一做卷積,一般函數(shù)就磨成光滑的了。隨后用磨成的光滑函數(shù)代替原初的研究對(duì)象,最后用卷積的逆過程回歸到原研究對(duì)象,這里面的問題可歸結(jié)為正則化的問題。

    4 結(jié)論

    微分的逆運(yùn)算是積分,那么微分方程的解就是積分的結(jié)果或是一種積分形式。而微分方程,無論常微分方程還是偏微分方程,涉及的微分一般都是古典導(dǎo)數(shù)意義下的。在古典導(dǎo)數(shù)意義下,即使初等函數(shù),求積分問題也沒有完全解決,那么研究者是如何研究一般由古典導(dǎo)數(shù)意義給出的微分方程的呢?為此,人們引入了廣義導(dǎo)數(shù),它是建立在積分過程之中:利用一般分部積分過程,定義弱導(dǎo)數(shù);又根據(jù)函數(shù)序列在可積空間中的收斂,可得強(qiáng)導(dǎo)數(shù)的概念。這兩個(gè)定義是可以互相推出的,也就是等價(jià)的。有了廣義導(dǎo)數(shù),對(duì)微分方程的研究就轉(zhuǎn)移到了可積空間,如Sobolev空間、Besov空間等,利用這些空間的性質(zhì),可分析對(duì)應(yīng)微分方程的解的各種形態(tài)。鑒于一般微分方程的復(fù)雜性,一般是將空間范圍擴(kuò)大,以找到它的解,然后在回到方程所在的恰當(dāng)?shù)目臻g。這個(gè)回到恰當(dāng)空間的過程,就是一個(gè)研究正則性的過程。什么是正則性?為什么可直接求解的微分方程無正則性研究?就是因?yàn)閷?duì)可求解的方程而言,無需再回到原空間中的緣故。這里正則性要研究的內(nèi)容就是由廣義導(dǎo)數(shù)進(jìn)行的微分方程解的分析與方程真正的解之間有何關(guān)聯(lián)、差別在哪里、還有哪些未考慮到的內(nèi)容等。

    通過考察黎曼積分過程和一般函數(shù)的磨光經(jīng)歷及微分方程的求解策略,闡釋數(shù)學(xué)問題處理過程中常用的正則性(化)思想。具體地講,就是在規(guī)則嚴(yán)格不允許使用時(shí),如何使研究對(duì)象巧妙地運(yùn)用該規(guī)則,并處理隨之而來的一系列問題,最終回到原問題上去的過程。讀者朋友見到正則現(xiàn)象時(shí),若能夠分辨具體問題中要適用的規(guī)則,和規(guī)則的要求不被滿足的情況,積極地聯(lián)系上下文,確定“正則化”過程,初步理解涉及的正則概念,該文的目標(biāo)就實(shí)現(xiàn)了。

    另外,正則也作為奇異的反義出現(xiàn),如由局部可積函數(shù)構(gòu)成的所謂正則廣義函數(shù)和不是由局部可積函數(shù)構(gòu)成的奇異廣義函數(shù)。類似的情況很多,這里就不一一詳舉,這樣的例子往往含義是清晰的。對(duì)如解的正則性這類正則性方法的使用,讀者可依據(jù)文中提到的正則內(nèi)涵,結(jié)合正則出現(xiàn)的具體環(huán)境去考慮其涵義。

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