運(yùn)用課堂學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)培養(yǎng)數(shù)學(xué)推理能力
——以《平行四邊形的性質(zhì)（2）——對(duì)角線》教學(xué)為例

姚家輝 程麗萍 林燕青

（1.閩南師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院，福建 漳州 363000；2.福建省漳州市第二中學(xué)，福建 漳州 363000）

推理一般包括合情推理和演繹推理。初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的合情推理作用舉足輕重，不僅能發(fā)展空間觀念、幾何直觀，還助力初中生創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)。演繹推理的培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的積累有著較高要求，因此在演繹推理過程中，學(xué)生符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、模型思想等方面都得到了促進(jìn)和提升。本文結(jié)合北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)《平行四邊形的性質(zhì)（2）——對(duì)角線》的教學(xué)實(shí)踐，探討課堂活動(dòng)情境中初中生推理能力培養(yǎng)及提高策略。

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，發(fā)展合情推理

數(shù)學(xué)課堂上，創(chuàng)設(shè)問題情境旨在啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維，解決實(shí)際問題，發(fā)展合情推理能力。

然而，在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生常對(duì)數(shù)學(xué)問題情境不感興趣。結(jié)合課題組教學(xué)實(shí)踐與課題研究中的案例分析，主要原因有：（1）問題情境脫離學(xué)生日常生活，所創(chuàng)設(shè)的情境脫離學(xué)生所熟知的背景，學(xué)生不能融入及理解情境，所以無法運(yùn)用實(shí)際問題中的相關(guān)量進(jìn)行分析推理；（2）問題情境的范圍太大，教師所提出的問題指向性不強(qiáng)，學(xué)生無法聚焦某個(gè)問題進(jìn)行思考，無法運(yùn)用數(shù)學(xué)思維抽象化實(shí)際情境這一重要環(huán)節(jié)。結(jié)果是學(xué)生上課就沒有了研究對(duì)象和研究目標(biāo)，被動(dòng)應(yīng)付教師問題，學(xué)生的主體性就沒有了保障，這將極大地阻礙數(shù)學(xué)課的順利進(jìn)行。

因此，教師問題情境設(shè)置應(yīng)注重與學(xué)生生活實(shí)際契合，做到心中始終有學(xué)生。教師在課堂設(shè)計(jì)的過程中，應(yīng)重視學(xué)生身邊相關(guān)生活素材的挖掘，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的實(shí)用性，然后在課堂實(shí)施的過程中將推理能力的培養(yǎng)滲透在每節(jié)課中，讓學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)思考的習(xí)慣。

在《平行四邊形的性質(zhì)（2）——對(duì)角線》一課中，教師先從學(xué)生小學(xué)就接觸的平行四邊形紙片出發(fā)，設(shè)置了如下具體操作步驟：

（1）請(qǐng)同學(xué)們過點(diǎn)O 任意畫一條直線l，直線l 分別交平行四邊形的兩邊于點(diǎn)E、F，你能畫出幾條？

（2）沿所畫的直線剪開，你得到兩個(gè)什么圖形？

（3）兩圖重疊，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

這樣分步設(shè)置可操作性強(qiáng)，操作內(nèi)容具有層次性。學(xué)生在明確具體的操作內(nèi)容后，就可以自主經(jīng)歷畫線、裁剪、拼接等過程。在此過程中，學(xué)生基本都能進(jìn)行自主操作，能在教師的引導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)問題，有針對(duì)性地進(jìn)行猜想，從而順利引出解決猜想的關(guān)鍵問題——對(duì)角線。該情境環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)貼近學(xué)生生活與認(rèn)知，引導(dǎo)其切實(shí)融入數(shù)學(xué)課堂情境，進(jìn)行合情推理，一舉多得。

二、鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，奠定推理基礎(chǔ)

學(xué)生的推理過程要做到“步步有據(jù)”，而“步步有據(jù)”的前提是學(xué)生已經(jīng)掌握性質(zhì)、判定、常見定理等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。沒有基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)生的演繹推理就無法順利進(jìn)行。為此，（1）對(duì)于教材里呈現(xiàn)的定理，教師應(yīng)足夠重視。首先，在講授新課時(shí)，教師應(yīng)通過實(shí)例讓學(xué)生理解定理所陳述的對(duì)象以及對(duì)象所具備的特征，然后再通過不同形式的問題，將定理的關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行突出考查，促使學(xué)生深入理解定理；（2）重視對(duì)學(xué)生定理表述準(zhǔn)確度的要求。性質(zhì)定理內(nèi)容的準(zhǔn)確表述是學(xué)生理解定理后的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，學(xué)生每一次準(zhǔn)確表述，其實(shí)就是對(duì)定理的特征進(jìn)行再次的深化和思考，這個(gè)環(huán)節(jié)的落實(shí)對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的發(fā)展起著重要的作用。

在實(shí)際教學(xué)過程中，教師往往忽略了學(xué)生對(duì)推理過程中依據(jù)的表達(dá)，僅關(guān)注學(xué)生的證明過程。因此，在教學(xué)中，教師有必要通過設(shè)置不同的課堂活動(dòng)，從多個(gè)方面不斷鼓勵(lì)學(xué)生完整表達(dá)證明過程中的依據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)思考計(jì)算，嚴(yán)密邏輯推理，為學(xué)生強(qiáng)化數(shù)學(xué)意識(shí)與思維奠定理論基礎(chǔ)。

例如：理解應(yīng)用“平行四邊形對(duì)角線互相平分”，教師可在課前根據(jù)“問卷星”對(duì)學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的平行四邊形的邊、角性質(zhì)進(jìn)行小測(cè)試，教師根據(jù)測(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)學(xué)生的學(xué)情進(jìn)行精準(zhǔn)的分析后，在一節(jié)課的不同環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)豐富的課堂活動(dòng)，循序漸進(jìn)，讓學(xué)生逐步理解平行四邊形的各種性質(zhì)。以下是本節(jié)課設(shè)計(jì)中的部分環(huán)節(jié)：

1.在情境引入的環(huán)節(jié)，通過畫圖、剪紙、拼接讓學(xué)生直觀感受平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的特殊性，然后設(shè)置如下問題串，讓學(xué)生思考和表達(dá)。

（1）點(diǎn)O 與對(duì)角線AC、BD 有什么關(guān)系呢？

（2）你是如何發(fā)現(xiàn)點(diǎn)O 的特殊性呢？

（3）你能用文字語言描述你的發(fā)現(xiàn)嗎？

目的是讓學(xué)生能初步表述平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)，同時(shí)學(xué)生在第（2）問中經(jīng)歷的旋轉(zhuǎn)、測(cè)量等動(dòng)手實(shí)踐，能讓學(xué)生初步感知平行四邊形的中心對(duì)稱性是關(guān)鍵。

2.在證明“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”的問題情境中，教師結(jié)合學(xué)生在情境引入環(huán)節(jié)中對(duì)所發(fā)現(xiàn)結(jié)論的描述，再次讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)三大語言的轉(zhuǎn)化，借助圖形語言和符號(hào)語言，對(duì)學(xué)生的文字表述進(jìn)行修正，讓學(xué)生在性質(zhì)定理證明的學(xué)習(xí)體驗(yàn)中，加深對(duì)該性質(zhì)定理本質(zhì)的理解。

3.例題講解、課堂練習(xí)等環(huán)節(jié)是鞏固學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的好時(shí)機(jī)，問答互動(dòng)中，教師聆聽學(xué)生作答，同時(shí)找準(zhǔn)切入點(diǎn)，提問學(xué)生，并根據(jù)課堂反饋對(duì)學(xué)生答題進(jìn)行優(yōu)化，幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，養(yǎng)成養(yǎng)好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

三、明確角色定位，拓展推理思維

引導(dǎo)學(xué)生提升數(shù)學(xué)推理能力，課堂教學(xué)是主陣地。教師應(yīng)打破傳統(tǒng)，不拘一格，科學(xué)開展學(xué)習(xí)分析，融合多樣化的講解手段，通過形式多樣的課堂活動(dòng)、多元的評(píng)價(jià)項(xiàng)目，激勵(lì)學(xué)生融入課堂，留給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間進(jìn)行探究、思考和表達(dá)，拓展學(xué)生的邏輯推理思維［1］。

要拓展學(xué)生的推理思維，教師就必須對(duì)自身角色進(jìn)行準(zhǔn)確定位，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)思維探究活動(dòng)。首先，教師應(yīng)明確探究的內(nèi)容和方向，讓學(xué)生的探究具有針對(duì)性，做到“有準(zhǔn)備、有目標(biāo)”；其次，在組織探究環(huán)節(jié)，教師應(yīng)引導(dǎo)好互動(dòng)，給學(xué)生提供適時(shí)的幫助，促進(jìn)學(xué)生探究活動(dòng)和推理的順利進(jìn)行；在活動(dòng)結(jié)束后，可借助信息技術(shù)，給學(xué)生提供平臺(tái)，讓不同的學(xué)生介紹探究的過程，解釋探究的結(jié)果，將發(fā)散思維的培養(yǎng)融入到拓展學(xué)生推理思維的活動(dòng)中，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)良好習(xí)慣的養(yǎng)成。

本節(jié)課的重點(diǎn)在于探索并證明平行四邊形的對(duì)角線性質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的推理能力。學(xué)生學(xué)情是已經(jīng)完整學(xué)習(xí)三角形教材內(nèi)容，并會(huì)利用三角形的相關(guān)性質(zhì)和判定進(jìn)行推理和證明。此外，在上一節(jié)課學(xué)習(xí)中，學(xué)生已了解平行四邊形方向（邊、角、對(duì)角線），并對(duì)數(shù)學(xué)三大語言（圖形、文字、符號(hào)）三者間的相互轉(zhuǎn)化有了初步認(rèn)識(shí)。不妨以學(xué)情為基，創(chuàng)造性運(yùn)用學(xué)科教材：結(jié)合學(xué)生已有的對(duì)中心對(duì)稱性的認(rèn)識(shí)，本節(jié)課設(shè)計(jì)了“魔術(shù)show”（情境引入環(huán)節(jié)），讓學(xué)生自主操作，大膽猜想。然后在學(xué)生經(jīng)歷了探索、發(fā)現(xiàn)、證明等過程后，讓學(xué)生進(jìn)行“魔術(shù)大揭秘”（問題解決），激發(fā)學(xué)生探究證明的熱情，引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)書寫。

在這些環(huán)節(jié)中，學(xué)生暢所欲言、一題多解，合作探究交流，不僅解題經(jīng)驗(yàn)得到了積累豐富，合情推理與演繹推理能力得到有效提升，發(fā)散性思維與啟發(fā)式思維也得到進(jìn)一步培養(yǎng)。

特別要注意的是，教師在教學(xué)中應(yīng)根據(jù)學(xué)段合理安排操作活動(dòng)和演繹推理的時(shí)間分配。從初一年級(jí)到初三年級(jí)，學(xué)生邏輯思維能力逐年提升，因此在不同的年級(jí)，操作活動(dòng)的安排應(yīng)有所區(qū)別。在初一年級(jí)，應(yīng)更重視學(xué)生在動(dòng)手操作中探索問題，發(fā)現(xiàn)結(jié)論。注重表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)、經(jīng)驗(yàn)的積累、能力的培養(yǎng)。在初二年級(jí)，操作活動(dòng)的時(shí)間分配應(yīng)較初一有所減少，應(yīng)鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上對(duì)問題進(jìn)行思考，重視學(xué)生推理能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生養(yǎng)成用推理的方式解釋數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣。在初三年級(jí)，學(xué)生的操作經(jīng)驗(yàn)、推理經(jīng)驗(yàn)等各方面都有了一定程度的積累。因此，在問題研究中，操作活動(dòng)的意圖應(yīng)定位在發(fā)現(xiàn)結(jié)論，而應(yīng)把教學(xué)的重點(diǎn)放在結(jié)論的證明和書寫上，使學(xué)生的推理具有系統(tǒng)性。

此外，教師還可以根據(jù)各校生情，在不同的年級(jí)，將尺規(guī)作圖有層次地融入課堂思考中，拓展學(xué)生的推理思維。尺規(guī)作圖要求學(xué)生“從作圖結(jié)果出發(fā)，執(zhí)果索因”。［2］教師在教學(xué)中，可以在基本尺規(guī)作圖的基礎(chǔ)上借助變式作圖等方式加深學(xué)生對(duì)問題本質(zhì)的理解，發(fā)展學(xué)生綜合解題能力，評(píng)價(jià)學(xué)生多維度推理能力，引導(dǎo)其加深對(duì)圖形的理性認(rèn)識(shí)。

四、運(yùn)用學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)，提高推理能力

教師在制定學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)項(xiàng)目時(shí)，要立足于學(xué)生的現(xiàn)有水平，周全考量評(píng)價(jià)過程中的各個(gè)因素。關(guān)于推理能力評(píng)價(jià)項(xiàng)目，除知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考等，還應(yīng)關(guān)注評(píng)價(jià)學(xué)生的解題過程和情感態(tài)度等。因?yàn)榻忸}過程不僅是充分體現(xiàn)學(xué)生主體性、綜合發(fā)展學(xué)生合情推理和演繹推理的過程，也是運(yùn)用學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)，激發(fā)情感態(tài)度、提升推理能力的過程。

教師要借助信息技術(shù)手段，設(shè)置學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)項(xiàng)目，科學(xué)分析學(xué)習(xí)過程和結(jié)果，推進(jìn)學(xué)生推理能力培養(yǎng)。教師還可以根據(jù)差異化評(píng)價(jià)項(xiàng)目及評(píng)價(jià)結(jié)果，有針對(duì)性地對(duì)學(xué)生推理能力的各個(gè)方面的發(fā)展進(jìn)行幫助和指導(dǎo)。同時(shí)，可以參考學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)結(jié)果，在保護(hù)學(xué)生自信心前提下，根據(jù)學(xué)情組建學(xué)習(xí)小組，在組內(nèi)進(jìn)行互學(xué)互助。

在教評(píng)實(shí)踐中，教師可以借助“班級(jí)優(yōu)化大師”等軟件，對(duì)學(xué)生評(píng)價(jià)項(xiàng)目進(jìn)行合理化設(shè)置。如本節(jié)課可以設(shè)置“合作交流”“數(shù)學(xué)表達(dá)”“邏輯推理”“規(guī)范書寫”“大膽質(zhì)疑”“圖形語言”“符號(hào)語言”“文字語言”“發(fā)散思維”等9 個(gè)項(xiàng)目，在課堂中利用軟件進(jìn)行學(xué)習(xí)行為記錄，根據(jù)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)項(xiàng)目，進(jìn)行過程和結(jié)果分析，然后對(duì)學(xué)生給予針對(duì)性指導(dǎo)。

在課堂教學(xué)的自主訓(xùn)練環(huán)節(jié)，教師可以讓學(xué)生通過上臺(tái)講解思路、投屏證明過程、小組合作糾錯(cuò)等活動(dòng)，引入學(xué)生評(píng)價(jià)主體，強(qiáng)化師生互動(dòng)和生生互動(dòng)，在學(xué)習(xí)過程中進(jìn)行生成性評(píng)價(jià)與激勵(lì)性評(píng)價(jià)，以推動(dòng)教學(xué)相長(zhǎng)。

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，對(duì)于圖形與幾何類問題，學(xué)生在準(zhǔn)確地表達(dá)定理內(nèi)容、合理選擇最優(yōu)方法、推理過程的嚴(yán)格書寫及輔助線的表述上均存在不同程度的問題。此時(shí)，教師可以利用軟件對(duì)存在問題的每一個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)行為進(jìn)行記錄分析，為學(xué)情評(píng)價(jià)及教學(xué)對(duì)策提供依據(jù)。值得一提的是，教師還應(yīng)充分了解并尊重學(xué)生個(gè)體的獨(dú)立性和差異性，強(qiáng)化過程性動(dòng)態(tài)評(píng)價(jià)。因此，教師在實(shí)施評(píng)價(jià)時(shí)，應(yīng)結(jié)合學(xué)生實(shí)際，注意評(píng)價(jià)方式的多樣性，甚至必要采取“延遲評(píng)價(jià)”，如在一章結(jié)束后或者某一階段學(xué)習(xí)結(jié)束后再生成對(duì)應(yīng)的學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)報(bào)告，讓學(xué)困生收獲進(jìn)步與成功，明確素養(yǎng)提升方向。例如，本節(jié)課中，在課堂小結(jié)——“收獲與感悟”環(huán)節(jié)設(shè)置了如下問題：

（1）我學(xué)會(huì)了什么知識(shí)點(diǎn)？

（2）我掌握了哪些研究問題的方法？

（3）我還想探究什么問題？

此環(huán)節(jié)可以用在每一節(jié)課中，在學(xué)生學(xué)習(xí)行為分析與自我評(píng)價(jià)中，啟發(fā)及鍛煉其數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和能力，培養(yǎng)其嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范表達(dá)的習(xí)慣，將推理能力的培養(yǎng)和滲透落實(shí)到學(xué)習(xí)行為和點(diǎn)滴生活中。

在小結(jié)環(huán)節(jié)中，教師可以組織學(xué)生合理使用思維導(dǎo)圖，踐行“數(shù)學(xué)思考”。［3］教師可根據(jù)本節(jié)課或者本章知識(shí)結(jié)構(gòu)的特征，采用不同形式的思維導(dǎo)圖進(jìn)行整合。通過“可視化”的導(dǎo)圖，讓學(xué)生熟悉知識(shí)之間的聯(lián)系，在解決問題過程中循章依法，強(qiáng)化邏輯。

在本節(jié)課中，教師還要注意學(xué)生對(duì)性質(zhì)、定理的描述是否準(zhǔn)確，如發(fā)現(xiàn)學(xué)生表述不嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，并給予適當(dāng)?shù)膸椭?，使學(xué)生能夠科學(xué)地表達(dá)。同時(shí)及時(shí)記錄下相應(yīng)的學(xué)習(xí)分析評(píng)價(jià)，通過每節(jié)課的記錄積累學(xué)生的成長(zhǎng)歷程，讓學(xué)生樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

五、結(jié)語

學(xué)生是教師工作的中心，發(fā)展初中生推理能力，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，需要教師在教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)深入地思考，精心地設(shè)計(jì)，將推理能力培養(yǎng)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)及評(píng)價(jià)始終。同時(shí)，要充分利用學(xué)習(xí)分析評(píng)價(jià)，將合情推理和演繹推理進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，提升學(xué)生推理能力，使學(xué)生真正感悟數(shù)學(xué)之美。