高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)學(xué)習(xí)方法分析

馮弋軒

（黑龍江省大慶市大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué) 黑龍江大慶 163000）

引言

三角函數(shù)在高中階段屬于初等函數(shù)，學(xué)生需要根據(jù)教材中的內(nèi)容以及教師的講解進(jìn)行學(xué)習(xí)。同時(shí)，還需要建立空間想象能力和邏輯思維能力，這樣才能有效借助函數(shù)解決問題。通常情況下，三角函數(shù)的考試點(diǎn)主要有解析函數(shù)，分析函數(shù)象限，確定函數(shù)性質(zhì)，利用三角函數(shù)解決問題。首先，學(xué)生應(yīng)當(dāng)端正態(tài)度，正確面對(duì)學(xué)習(xí)三角函數(shù)過程中遇到的困難，然后要找到適合自己學(xué)習(xí)的方法，解決這些困難。筆者在具體總結(jié)過程中發(fā)現(xiàn)，三角函數(shù)的題目很復(fù)雜，如解決三角形問題，三角恒等變換等，需要學(xué)生有充足的知識(shí)儲(chǔ)備，才能夠正確解答。我把三角函數(shù)問題分成三類，第一類是正弦函數(shù)，第二類是余弦函數(shù)，第三類是正切函數(shù)。這些函數(shù)在考試中和高考中都會(huì)占有較高的分值，也同時(shí)是三角函數(shù)最核心的內(nèi)容。另外，伴隨著高考體制的不斷改革，對(duì)學(xué)生的要求也不僅僅是在成績(jī)上，更多的是關(guān)注其綜合能力的提升。因此，我們不僅僅要關(guān)注題目本身，還應(yīng)當(dāng)關(guān)注題目滲透的各類其他元素，如價(jià)值觀解題思路等。只有掌握這些，我們才能融會(huì)貫通，舉一反三。

一、高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)學(xué)習(xí)的問題分析

通過觀察現(xiàn)階段高中學(xué)生在數(shù)學(xué)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中,常常會(huì)出現(xiàn)以下幾個(gè)問題，第一個(gè)問題，學(xué)生沒有重視三角函數(shù)知識(shí)的體系構(gòu)建。雖然學(xué)生在初中學(xué)習(xí)時(shí)已經(jīng)接觸過函數(shù)關(guān)系，但高中的三角函數(shù)對(duì)初中的函數(shù)來講難度更高，學(xué)生也需要有更深刻的認(rèn)識(shí)。首先要了解到三角函數(shù)的重要性，其次要對(duì)三角函數(shù)的所有知識(shí)形成串聯(lián)。但一些學(xué)生卻存在僥幸心理，認(rèn)為高中三角函數(shù)和初中三角函數(shù)相同，課堂上就沒有認(rèn)真聽講，在具體解答問題時(shí)明顯就會(huì)出現(xiàn)問題。例如題目變化多種多樣，但學(xué)生卻找不到解題思路。這是由于高中階段的三角函數(shù)已經(jīng)發(fā)生了本質(zhì)變化，如果學(xué)生沒有形成清楚的認(rèn)知，在解題時(shí)也會(huì)思維受阻。第二個(gè)問題，沒有端正學(xué)習(xí)態(tài)度。由于高中階段的教育并不屬于國(guó)家規(guī)定的義務(wù)教育階段，一些學(xué)生在課堂上認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)較難，也會(huì)出現(xiàn)畏難心理，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知不足也會(huì)有偷懶心態(tài)。課堂上沒有認(rèn)真聽講，課下作業(yè)不會(huì)做，長(zhǎng)期下去，就會(huì)現(xiàn)如何性循環(huán)。還有一些學(xué)生雖然在課堂上認(rèn)真聽講，但無法跟上教師的講課思路，不知道教師的重點(diǎn)所在，課堂筆記沒有認(rèn)真記錄，在課下復(fù)習(xí)知識(shí)時(shí)就會(huì)無從下手。還有一部分學(xué)生由于理解能力較慢，即使課堂上認(rèn)真記筆記，但是課后作業(yè)的完成過程中依舊會(huì)有各種各樣的問題。一些學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)并沒有利用數(shù)形結(jié)合思想，或者畫出的圖并不正確，這樣也會(huì)影響解題過程。第三個(gè)問題，學(xué)生不會(huì)正確使用公式。高中三角函數(shù)的特殊性應(yīng)當(dāng)引起學(xué)生的重視，在解答題目時(shí)并不能僅僅使用一般性公式，而是要將所有公式靈活使用，這樣才能夠提高解題效率，促進(jìn)數(shù)學(xué)能力的不斷提升。

因此，我認(rèn)為要想學(xué)好三角函數(shù)，首先就應(yīng)當(dāng)轉(zhuǎn)變自己對(duì)三角函數(shù)的態(tài)度，摒棄思維模式的固化，而是要善于探究各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，逐漸提高自己的自信心[1]。

二、高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)學(xué)習(xí)的方法分析

1.關(guān)于理論知識(shí)的學(xué)習(xí)

正確解答三角函數(shù)的問題，首先需要我們有足夠的理論知識(shí)，如對(duì)于函數(shù)的公式、函數(shù)的性質(zhì)等都應(yīng)當(dāng)熟記于心，并且在題目中也應(yīng)當(dāng)熟練運(yùn)用。在三角函數(shù)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)中有著復(fù)雜特點(diǎn)，并且需要記憶的公式非常多，如果通過死記硬背的形式，不僅不能理解，在具體應(yīng)用時(shí)也會(huì)出現(xiàn)混亂。針對(duì)這樣的現(xiàn)象，我認(rèn)為在學(xué)習(xí)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)，應(yīng)當(dāng)在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行記憶，并且要善于思考，真正理解公式和性質(zhì)。實(shí)踐證明，學(xué)生在借助這樣的方法之后，能夠?qū)θ呛瘮?shù)的定義加深理解，并且在使用過程中，也會(huì)熟練運(yùn)用。平常我也會(huì)讓學(xué)生重視積累，將三角函數(shù)的知識(shí)用思維導(dǎo)圖的形式進(jìn)行展現(xiàn)。這樣一來，不斷優(yōu)化我頭腦中的知識(shí)體系。在具體使用時(shí)，也能借助題目的要求，快速抽取并準(zhǔn)確應(yīng)用。因此，在理論知識(shí)學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生應(yīng)多多思考、多多推敲、多多觀察、多多記憶，并且還要使用零碎的時(shí)間對(duì)理論知識(shí)增強(qiáng)理解[2]。

2.在訓(xùn)練習(xí)題中的注意事項(xiàng)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開習(xí)題的訓(xùn)練，教師通常會(huì)布置多樣的數(shù)學(xué)習(xí)題，每一樣習(xí)題的考察目標(biāo)和使用的知識(shí)點(diǎn)也均不相同。由此，我們能看出三角函數(shù)有著廣泛的多變性。對(duì)于不同的習(xí)題，應(yīng)當(dāng)注意挖掘背后的含義，重視積累，這樣才能在后期解決時(shí)保證準(zhǔn)確性，也能避免學(xué)生錯(cuò)誤使用公式或知識(shí)點(diǎn)，增加題目的解答難度。首先，在進(jìn)行習(xí)題訓(xùn)練時(shí)，既要保證數(shù)量，又要保證質(zhì)量。習(xí)題很重要，但這并不代表著多多做習(xí)題，數(shù)學(xué)成績(jī)就能提升。同樣的習(xí)題，重復(fù)做毫無意義，在做習(xí)題時(shí)，也應(yīng)當(dāng)重視多樣性和技巧性，探索解題技巧與三角函數(shù)內(nèi)在的規(guī)律，并且要善于總結(jié)和觀察，這樣在后期也能形成有關(guān)聯(lián)的記憶，便于解決問題。其次，錯(cuò)題非常重要，每一次出錯(cuò)都代表著我們對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的掌握并不熟練，因此，對(duì)待錯(cuò)題，要抱著溫故知新的態(tài)度，找到錯(cuò)誤的出現(xiàn)原因，并尋求正確的解答方法。必要的時(shí)候要重復(fù)觀看錯(cuò)題，這樣能夠加深自己的記憶，幫助我們掌握正確的學(xué)習(xí)方法。最后，對(duì)待教師布置的習(xí)題也應(yīng)當(dāng)用心去做。教師布置的習(xí)題有很大的代表性和典型性，可以充分幫助學(xué)生鍛煉大腦思維，找到解決思路和解決辦法。若遇到不懂的問題，學(xué)生也應(yīng)當(dāng)善于尋求教師的幫助，借助教師的專業(yè)講解，幫助我們夯實(shí)三角函數(shù)的知識(shí)。

3.在課下要按時(shí)復(fù)習(xí)

在課堂上，我們不僅要努力學(xué)習(xí)，積極聽講，在課下也應(yīng)當(dāng)根據(jù)自己的學(xué)習(xí)不足之處展開針對(duì)性的復(fù)習(xí)。在復(fù)習(xí)三角函數(shù)知識(shí)過程中，也可以選擇很多方法，因此，在復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)當(dāng)根據(jù)教師的教學(xué)目標(biāo)，科學(xué)開展復(fù)習(xí)，既要關(guān)注新學(xué)的知識(shí)，同時(shí)也要注意對(duì)舊知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，這樣才能達(dá)到溫故而知新的效果。在強(qiáng)化學(xué)習(xí)三角函數(shù)的效果時(shí)，并不是通過借助大量的課后練習(xí)題進(jìn)行復(fù)習(xí)，而是應(yīng)當(dāng)選取科學(xué)的方法進(jìn)行。例如，觀察課堂上的習(xí)題，回憶課堂上做的筆記，找到教師的講解內(nèi)容等，只有通過多個(gè)角度進(jìn)行，才能不斷總結(jié)實(shí)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)然，我們也需要注意掌握三角函數(shù)的方法不是一蹴而就的，而是應(yīng)當(dāng)在日常學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)的點(diǎn)點(diǎn)滴滴中逐步進(jìn)行的。我們也應(yīng)當(dāng)全面了解自己的學(xué)習(xí)情況，做到笨鳥先飛，勤能補(bǔ)拙。

4.關(guān)于三角函數(shù)公式的具體學(xué)習(xí)方法

高中階段三角函數(shù)的公式有很多，如半角公式，差化積公式，倍角公式，積化和差公式，三角函數(shù)公式是解決問題的基本內(nèi)容，對(duì)于公式各種變量的理解，也應(yīng)當(dāng)更加深入。雖然公式整體量較多，難度較高，但是只要找到自己的方法，就能夠在記憶上占有優(yōu)勢(shì)。我們學(xué)習(xí)新的知識(shí)時(shí)，也應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)關(guān)注對(duì)舊的公式進(jìn)行復(fù)習(xí)，找到如何利用所學(xué)的公式，推導(dǎo)出新的公式。在這個(gè)過程中，相信我們能夠提高知識(shí)的選取能力以及知識(shí)的總結(jié)能力，并且還能加深對(duì)公式的記憶效果。例如，通過象限加深公式記憶。這就需要我們既要了解象限的相關(guān)內(nèi)容，同時(shí)也要了解象限和公式之間的聯(lián)系，只有讓舊知識(shí)和新知識(shí)之間搭建橋梁，我們才能借助這個(gè)橋梁自由往返于兩種知識(shí)之間。在復(fù)習(xí)函數(shù)公式時(shí)，也要重點(diǎn)關(guān)注推導(dǎo)過程，只有熟練了解每個(gè)公式的推導(dǎo)區(qū)別和相同點(diǎn)，在具體使用過程中，才能快速準(zhǔn)確地選出需要的公式，解決題目中所面臨的困難。

5.關(guān)于三角函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)方法

三角函數(shù)性質(zhì)也是在高考經(jīng)?？嫉降膬?nèi)容。學(xué)生如果能夠深入理解三角函數(shù)的性質(zhì)內(nèi)容在解題時(shí)難度也會(huì)降低，并且還能保證高效。當(dāng)我們學(xué)習(xí)了圖像和性質(zhì)的相關(guān)內(nèi)容之后，再進(jìn)行深度性質(zhì)剖析，能夠在復(fù)雜的題目中找到解題思路，使解答更加直觀和簡(jiǎn)便。例如，誘導(dǎo)公式能夠詮釋三角函數(shù)中角的周期性，這一性質(zhì)有著廣泛的應(yīng)用性，可以將角度較大的函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榻嵌容^小的函數(shù)公式。這樣一來，再借助函數(shù)公式的相關(guān)內(nèi)容就能科學(xué)有效地解決三角函數(shù)的具體問題。除此之外，在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，奇偶性和單調(diào)性也有著容易理解的優(yōu)點(diǎn)，但是如果我們對(duì)函數(shù)性質(zhì)和圖像之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系不能夠正確學(xué)習(xí)。那么，我們?cè)谑褂眯再|(zhì)解決問題時(shí)就會(huì)有一定的困難。因此，我們要強(qiáng)化關(guān)于三角函數(shù)性質(zhì)的具體使用，多多在實(shí)踐中進(jìn)行鍛煉，利用不同的題型進(jìn)行總結(jié)，找出該類題目的解決規(guī)律。通常情況下，我們能夠發(fā)現(xiàn)，題目和圖像一般會(huì)為我們的解題思路提供更多的參考，因?yàn)閳D像的內(nèi)容中往往有著函數(shù)性質(zhì)，單純看圖像也能找到關(guān)于性質(zhì)的很多潛在知識(shí)，所以在有圖的題目解答中，我們可以把圖像作為切入點(diǎn)，直接找到函數(shù)圖像繪制的方法，并借助函數(shù)性質(zhì)達(dá)到數(shù)形結(jié)合解答題目的目的[3]。

6.關(guān)于基本解題規(guī)律的學(xué)習(xí)方法

在解答題目時(shí)，我們能夠發(fā)現(xiàn)有很多規(guī)律，如果掌握這些規(guī)律，并且正確使用這些規(guī)律，我們就能夠快速找到正確的解答方法。通過做一些高考真題或者教師布置的習(xí)題，可以總結(jié)出，通常情況下，三角函數(shù)相關(guān)的題目有很多相似性，在解題思路中也會(huì)有著一致性，因此，在我們面對(duì)三角函數(shù)題目時(shí)，首先應(yīng)當(dāng)分析，然后確定基本的解題思路，最后，再利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行正確解題。在看題目時(shí)，也應(yīng)當(dāng)認(rèn)真思考題目中給出的條件，確定需要用到哪些三角函數(shù)的公式。例如，在最值和周期題目的解答中，我們通常會(huì)將基礎(chǔ)公式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的表達(dá)式，然后了解到解題思路和求解過程之后，就要對(duì)應(yīng)的找到解題方法。一般我們會(huì)用到定義法、消參法、構(gòu)造法、數(shù)形結(jié)合法、特代入法、排除法以及待定系數(shù)法等。關(guān)于方法的選擇，我們也應(yīng)當(dāng)明確相應(yīng)的條件和參數(shù)，只有正確選擇方法，才能正確解答題目。例如，定義法，我們要根據(jù)相關(guān)的定義解答問題，通常情況下，三角函數(shù)題目較簡(jiǎn)單可以利用這種方法。消參法，是指如果能夠觀察題目，找到題目背后隱含的性質(zhì)，我們可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算過程，將函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而正確解答題目。

7.深度掌握解題思路，提高解題效果

針對(duì)一些學(xué)生仍然通過死記硬背記憶三角函數(shù)概念公式等的現(xiàn)象，我們?cè)诰唧w學(xué)習(xí)中，應(yīng)當(dāng)摒棄這樣的生搬硬套，而是想辦法提高解題效率，避免出現(xiàn)解題過程中思維混亂的情況。我們可以從題目的規(guī)律入手，找到符合自己能力的解題方法，逐步探索和完善，將三角函數(shù)知識(shí)應(yīng)用的更加高效。在高考中出現(xiàn)三角函數(shù)時(shí)，考點(diǎn)是比較固定的，我們使用的方法也是固定的，只要結(jié)合不同的題型，選擇不同的解題方法就可以。但是我們?cè)诜椒ㄟx擇中不能忽略限定條件，而是應(yīng)當(dāng)多角度思考。例如，在解答三角形函數(shù)問題時(shí)，需要注意一題多解。例如，5cos x+12 sinx=13求tan x，該道三角函數(shù)可以用構(gòu)造方程組法來解答。首先，通過5cos x+12 sinx=13以及sin 2 x+cos 2x=1，我們可以將題目中的cos x進(jìn)行消除，順利求出tan x。另外，我們還可以使用代數(shù)換元法，讓tan x=t直接代入到原來的公式中，就可以順利找到答案。當(dāng)然，不同的方法有著不同的解題過程。為了避免煩瑣，我們也需要通過積累，第一時(shí)間找到解題思路，避免方法選擇出現(xiàn)錯(cuò)誤或者是在解題過程中浪費(fèi)太多時(shí)間。

8.與函數(shù)整體框架相結(jié)合

一些學(xué)生認(rèn)為，三角函數(shù)是一種特殊的函數(shù)結(jié)構(gòu)，因此，要從幾何的角度來解決。但我認(rèn)為，這樣的方法是片面的，因?yàn)槿呛瘮?shù)也是函數(shù)的基本構(gòu)成部分，它與函數(shù)有著共同的特點(diǎn)。在學(xué)習(xí)時(shí)，我們要將三角函數(shù)看作是特殊的函數(shù)，并觀察其關(guān)系。當(dāng)然，我們也可以使用幾何方法進(jìn)行解決，但具體的解決過程也應(yīng)當(dāng)立足整體，借助具象化的方法解答函數(shù)關(guān)系。學(xué)生也要在教師的指導(dǎo)下，學(xué)會(huì)把三角函數(shù)放入到整個(gè)函數(shù)的體系框架中，解決問題。只有明確三角函數(shù)是從函數(shù)而來，才能真正利用三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行快速求解。除此之外，學(xué)生還可以與數(shù)形結(jié)合互相構(gòu)建聯(lián)系，豐富解題方法。在解答題目時(shí)，借助三角函數(shù)的圖像，我們會(huì)獲得很多的信息，而圖像中的每一種信息，都有可能為我們的解題思路提供幫助，也有可能出現(xiàn)阻礙。因此，我們要善于找到那些有利的信息，避免受到不利的信息干擾。再通過三角函數(shù)圖像，在不同坐標(biāo)軸方向上的伸長(zhǎng)和縮短，以及不同相位角的變化，對(duì)題目中的所有信息進(jìn)行重組。針對(duì)直線與三角函數(shù)圖像相交的部分所形成的圖像面積的大小問題，求解時(shí)，我們也可以借助繪圖的方法確立直線與三角函數(shù)曲線的相交點(diǎn)，再根據(jù)所包圍的面積區(qū)域進(jìn)行求解，這樣也是在有效借助幾何知識(shí)解決問題。我們也要將三角函數(shù)的幾何意義以及函數(shù)表達(dá)式或者圖像三方面通過結(jié)合的形式，不斷豐富自己關(guān)于三角函數(shù)的知識(shí)儲(chǔ)備[4]。

結(jié)語

總而言之，作為一名高中生，首先應(yīng)當(dāng)意識(shí)到自己在學(xué)習(xí)中所面臨的各種困難和挑戰(zhàn)，同時(shí)，對(duì)于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度也應(yīng)當(dāng)進(jìn)行端正，關(guān)注公式、定義、概念等基本的知識(shí)，然后善于觀察，善于思考，善于總結(jié)，將三角函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行羅列，借助不同的學(xué)習(xí)方法，勤加練習(xí)，這樣才能真正做到以不變應(yīng)萬變，促進(jìn)自身數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。除此之外，我們也要善于借助教師的幫助和學(xué)生的配合，在不斷交流和探索中找到更合適的解題方法，一來能夠構(gòu)建良好的師生關(guān)系，生生關(guān)系，二來讓我們?cè)谳p松有效學(xué)習(xí)中獲得知識(shí)。