波前編碼對同軸反射系統(tǒng)失調(diào)像散鈍化研究

黃浩陽， 王合龍， 陳建發(fā)， 許飛翔， 劉學松

(1.光電控制技術(shù)重點實驗室，河南 洛陽 471000;2.中國航空工業(yè)集團公司洛陽電光設備研究所，河南 洛陽 471000)

1 概述

光學系統(tǒng)的成像質(zhì)量受到各種光學像差的制約，傳統(tǒng)光學設計過程中為了提升光學系統(tǒng)的成像性能，需要對各類光學像差進行校正和平衡，從而使會聚光束的彌散斑接近衍射極限，盡可能完整地對目標信息進行采集。1976年，天文學家在一張?zhí)厥馄毓獾男强請D像中發(fā)現(xiàn)了“雙節(jié)點”像散現(xiàn)象(如圖1所示)，并對此開展了一系列研究。SHACK，BUCHROEDER等提出了矢量像差理論，而后THOMPSON詳細分析了三階、五階矢量像差的多節(jié)點性質(zhì)和視場相關(guān)性[1-2]。研究顯示，已校正三階像差的系統(tǒng)在失調(diào)時會出現(xiàn)特殊的多節(jié)點像差，影響系統(tǒng)的成像質(zhì)量。矢量像差理論為反射系統(tǒng)的失調(diào)校正以及初始結(jié)構(gòu)設計提供了一個良好的分析工具[3-5]。

圖1 雙節(jié)點像散現(xiàn)象

隨著計算機數(shù)據(jù)處理能力的增強，計算光學成像技術(shù)迅速發(fā)展，其將傳統(tǒng)光學設計與數(shù)字圖像處理技術(shù)有機結(jié)合的設計理念，為光學成像開辟了一條新的道路，逐步發(fā)展出了波前編碼、廣域高分辨成像、單像素成像、光場成像等多條分支[6-7]，其中，波前編碼是計算光學較為典型的應用技術(shù)。波前編碼技術(shù)最早由美國科羅拉多大學的學者DOWSKI和CATHEY于1995年提出[8]，利用非旋轉(zhuǎn)對稱的掩膜板對波前相位進行調(diào)制，再通過一定的復原算法恢復圖像信息，從而擴大光學系統(tǒng)的焦深。隨后國內(nèi)外相關(guān)研究迅速開展[9-13]，國內(nèi)圍繞波前編碼的研究取得了許多進展，掩膜板構(gòu)型也發(fā)展出了高次方型、三角函數(shù)型等不同形式。三次相位板擴展景深的本質(zhì)是通過引入特定的相位使系統(tǒng)對離焦像差不敏感，基于這一思路，2017年，史要濤[14]研究了波前編碼系統(tǒng)對簡單光學系統(tǒng)初級像差的鈍化作用并將相位板應用于共形整流罩的優(yōu)化。

本文從矢量像差的角度出發(fā)，通過穩(wěn)相法推導了典型的三次方相位板對同軸光學系統(tǒng)在微小失調(diào)量狀態(tài)下產(chǎn)生的失調(diào)像散的鈍化作用。設計了一套卡塞格林折反射望遠鏡進行了仿真驗證，將三次相位板與會聚鏡組融合置于望遠鏡組出瞳處實現(xiàn)相位調(diào)制，將元件設置一定的偏心后對比了系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)(MTF)，利用CODEV進行了成像仿真，并利用算法對采集的模糊圖像進行了復原。

2 光學系統(tǒng)的失調(diào)像差

2.1 波像差與矢量像差理論

理想光學系統(tǒng)能夠?qū)⑼晃稂c發(fā)出的光匯聚于一點，像方空間的波前是理想球面波，但對于一般光學系統(tǒng)而言，匯聚于像面的波前由于受到各種像差的影響而不再是標準球面波。用波像差W表示真實波前與標準球面波之間的光程差，W可表示為視場矢量H、光瞳孔徑矢量ρ的冪級數(shù)，并可與正交的澤尼克圓多項式一一對應。在旋轉(zhuǎn)對稱光學系統(tǒng)的像差場中，系統(tǒng)繞對稱軸旋轉(zhuǎn)時H，ρ的模及二者的夾角是不變的，如圖2所示。

圖2 視場矢量與光瞳矢量示意圖

因此，波像差可展開為

(1)

式中：k=2p+m;l=2n+m；φ表示視場矢量與光瞳矢量的夾角；

|h

|,

|ρ

|分別為視場矢量、光瞳矢量的模長。

在光學系統(tǒng)中，元件的偏心或傾斜會破壞系統(tǒng)的對稱性，旋轉(zhuǎn)對稱的像差理論無法處理此類問題。1976年，Bok天文望遠鏡對一片星空進行了9次曝光，照片出現(xiàn)了特殊的雙節(jié)點像散現(xiàn)象，即僅在兩個節(jié)點處無像散，SHACK及其學生對此展開了研究，提出了矢量像差理論。在偏心傾斜系統(tǒng)中，像差場的對稱中心不再是光軸與入瞳中心的交點，但其分布未發(fā)生改變。在像面處像差場對稱中心的位置發(fā)生了如圖3所示的偏移。

圖3 有效視場矢量示意圖

像差場對稱中心相對光軸光學與像面交點的偏移量用矢量σ表示，系統(tǒng)的像散、慧差、球差等以σ末端為中心對稱分布，每個元件的偏心和傾斜對σ都有一定的貢獻量。用Haj來表示有效視場矢量，代替式(1)中的視場矢量，即可得到失調(diào)系統(tǒng)的矢量波像差。

為方便計算，SHACK定義了不同于點積和叉積的新運算法則——矢量乘法法則，兩矢量A，B相乘后模長為二者模的乘積，AB的夾角為A，B兩個分量夾角之和，兩矢量相乘后仍為矢量，數(shù)學表達方式為兩矢量連在一起，不加任何符號。矢量乘法示意圖見圖4。

圖4 矢量乘法示意圖

2.2 光學系統(tǒng)的失調(diào)像差

三級矢量波像差中，像散和場曲表示為

W222(H·ρ)2+W220(H·H)(ρ·ρ)。

(2)

通常像散是以弧矢像面為參考定義的，借助三角函數(shù)運算與矢量乘法展開后可得到用中間像面定義的像散和場曲為

(3)

式中，H2，ρ2為按照乘法法則計算的矢量。對于像散項，使用有效視場矢量代入式(3)后，整理可得

(4)

由上述公式可知，光學系統(tǒng)即使已經(jīng)校正了三級像散，失調(diào)后仍會產(chǎn)生視場一次相關(guān)像散和視場恒量像散。

3 波前編碼對失調(diào)像散的鈍化作用

大口徑反射式光學系統(tǒng)的成像質(zhì)量受到彗差和像散影響較大，本文針對失調(diào)系統(tǒng)的像散開展研究，分析典型的三次相位板波前編碼成像系統(tǒng)對于失調(diào)引起的像散的鈍化作用。

3.1 波前編碼理論基礎

波前編碼系通過在光瞳處添加具有特殊相位調(diào)制功能的掩膜板對波前進行編碼調(diào)制，一個經(jīng)過波前調(diào)制的光學系統(tǒng)，在入瞳處波前的相位分布可用含有波像差的廣義光瞳函數(shù)P表示為

(5)

式中，k為波矢，此處作為標量參加運算。非相干光學系統(tǒng)的傳遞函數(shù)OTF可表示為廣義光瞳函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)，即

(6)

式中，u，v分別為空間坐標x，y的空間頻率。對于含有快變相位因子的函數(shù)積分，被積函數(shù)快速振蕩，無法求出解析解，此時一維情況下可按照穩(wěn)相法計算，二維情況下可用最快速下降法計算。二者本質(zhì)相同，利用振蕩的相位項僅在穩(wěn)相點(駐點)處對積分有貢獻的特性，利用泰勒展開對被積函數(shù)作近似處理，最終求得積分解。對于積分

(7)

其積分值近似等于各駐點x=xi處積分的總和，若在積分區(qū)域內(nèi)僅有一個駐點x=x0，則其值等于無窮區(qū)域積分。在鞍點處對被積函數(shù)作泰勒展開并整理，得到結(jié)果為

(8)

式中，π/4為菲涅爾積分算得的常數(shù)項。

3.2 失調(diào)像散的鈍化特性

采用典型的三次方相位板對系統(tǒng)進行編碼調(diào)制，含有失調(diào)三級像散的光瞳函數(shù)可表示為

(9)

先考慮式(4)中第一項視場二次方像散，系數(shù)1/2對推導過程影響不大，為計算方便先略去。

(10)

式中，θ為視場相關(guān)矢量H2與x軸的夾角。根據(jù)上文所述矢量乘法法則，光瞳相關(guān)矢量ρ2=(x2-y2)ei+2xyej。將ρ2代入光學傳遞函數(shù)并展開后可得

(11)

分離變量并進行積分，定義積分

(12)

(13)

用ψ表示像散第一項對OTF的貢獻，推導過程中省略了歸一化系數(shù)，對結(jié)果分析無影響。觀察發(fā)現(xiàn)，當相位板系數(shù)α取得足夠大時，像散中第一項對OTF影響較小可以忽略。

圖5 像面處像差場偏移矢量

綜上，當相位板參數(shù)α取得非常大時，傳遞函數(shù)可近似為式(14)，雖然其值略小但不同空間頻率下的OTF幾乎不受式(4)中失調(diào)像散WAST3的影響，因此經(jīng)過三次相位板編碼的光學系統(tǒng)對于失調(diào)產(chǎn)生的像散項均不敏感。

(14)

4 仿真驗證

以一個具有外部冷光闌的卡式折反光學系統(tǒng)為例，設計參數(shù)如表1所示。采用長波探測器，像元大小30 μm×30 μm，前端卡式折反望遠系統(tǒng)放大率約8倍，物理尺寸不超過250 mm×250 mm×250 mm。

表1 光學系統(tǒng)設計參數(shù)

優(yōu)化后的光學系統(tǒng)如圖6所示。

圖6 光學系統(tǒng)圖

在實現(xiàn)100%冷光闌效率的同時將會聚鏡組的入瞳優(yōu)化至第一片透鏡處，在第一面上加工三次自由曲面以實現(xiàn)相位調(diào)制，與前端望遠系統(tǒng)光瞳匹配后，系統(tǒng)可良好成像。將相位板置于會聚系統(tǒng)入瞳處可以使其對來自望遠鏡組不同視場的平行光調(diào)制作用相同，確保不同視場的傳遞函數(shù)一致性良好。

為便于裝調(diào)，設計過程中對卡式主次鏡單獨進行了優(yōu)化，使得一次像點處成像質(zhì)量良好，主次鏡成像的調(diào)制傳遞函數(shù)(MTF)接近衍射極限，如圖7所示。

圖7 主次鏡單獨成像的MTF

設計會聚系統(tǒng)時，將相位板與鏡組進行一體化設計，使用透鏡第一面承擔相位調(diào)制功能，第二面承擔一定的光焦度，系統(tǒng)不增加額外相位板，僅使用3片透鏡完成會聚鏡組和波前編碼的設計，并使用CODEV與Matlab聯(lián)合優(yōu)化計算得到最優(yōu)相位板參數(shù)。

最終自由曲面參數(shù)為10-5量級，元件口徑20 mm左右，其矢高變化平緩無突變。現(xiàn)有的自由曲面加工精度可達亞微米量級，目前市場應用的精密單點金剛石車削技術(shù)可以滿足加工要求。計算全息補償(CGH)法可對自由曲面進行檢測，目前應用較為成熟，根據(jù)相位板面型設計對應的CGH元件后，使用干涉儀測試元件面型。

在CODEV中使用多重結(jié)構(gòu)對光學系統(tǒng)的次鏡設置微小失調(diào)，失調(diào)狀態(tài)Z1，Z2，Z3，Z4的次鏡傾斜角度分別為0°，0.1°，0.2°，0.3°。

若系統(tǒng)不進行波前編碼，相位板參數(shù)設置為0，在不同失調(diào)狀態(tài)下系統(tǒng)MTF如圖8所示。

圖8 常規(guī)系統(tǒng)不同狀態(tài)下MTF

而波前編碼系統(tǒng)在不同失調(diào)狀態(tài)下的MTF如圖9所示。可見，經(jīng)過波前編碼調(diào)制的光學系統(tǒng)在不同失調(diào)量下MTF一致性相對較好，且并未出現(xiàn)截止，能夠?qū)崿F(xiàn)信息的采集。通常在設計過程中，次鏡的傾斜公差控制在0.1°之內(nèi)，因此本文設置最大0.3°的偏移量能夠證明相位板的有效性。

圖9 波前編碼系統(tǒng)不同狀態(tài)下MTF

波前編碼系統(tǒng)采集到圖像后，需要進行計算解碼，本文使用超拉普拉斯先驗快速去卷積算法[15]對模糊的中間像進行復原，算法模型為

(15)

式中：MN，i分別表示1幅M×N的圖像及其中的第i個像素；括號內(nèi)第一項為保真項；λ為懲罰因子；第二項是基于超拉普拉斯模型的正則項，F(xiàn)1和F2為梯度算子濾波器，通常取F1=(1-1)和F2=(1-1)T來獲取圖像的水平梯度與豎直梯度；h表示先驗PSF；f表示清晰圖像；g為采集到的模糊圖像。

利用CODEV的二維圖像仿真功能對光學系統(tǒng)的成像進行仿真，并利用算法對模糊圖像進行復原，復原后結(jié)果對比情況如圖10所示。

圖10 常規(guī)系統(tǒng)和波前編碼系統(tǒng)成像對比

由圖10可知，添加了XY多項式自由曲面進行波前編碼的光學系統(tǒng)經(jīng)過計算解碼后最終成像效果良好，而無編碼的光學系統(tǒng)成像質(zhì)量隨著失調(diào)量增大而逐漸變差。

在計算過程中，由于失調(diào)系統(tǒng)的PSF與無失調(diào)時的PSF存在一定的差異，先驗信息不夠準確，因此復原圖像中會出現(xiàn)“偽像”，對成像質(zhì)量有一定影響。但整體而言，絕大多數(shù)高頻信息得到了良好的復原。

通常，圖像的復原效果用均方誤差(MSE)和峰值信噪比(PSNR)以及主觀評價法來評判，近年來，結(jié)構(gòu)相似性指數(shù)(SSIM)也逐漸被作為圖像評價指標使用。SSIM包含了圖像的亮度、對比度以及結(jié)構(gòu)3個方面，由于人眼的視覺特性，SSIM相較于PSNR更加符合人眼對于圖像質(zhì)量的判斷。不同離焦量下有編碼光學系統(tǒng)和無編碼光學系統(tǒng)的成像客觀評價數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 常規(guī)系統(tǒng)與波前編碼系統(tǒng)成像PSNR及SSIM

綜合客觀評判和主觀評判，波前編碼和復原重建對不同失調(diào)狀態(tài)下光學系統(tǒng)的成像性能有良好的改進作用。

5 結(jié)論

本文從矢量像差的基本理論出發(fā)，推導了光學系統(tǒng)出現(xiàn)傾斜時產(chǎn)生的失調(diào)像散，從理論上計算了三次相位板對失調(diào)像散的鈍化作用。利用卡式折反光學系統(tǒng)進行了仿真驗證，結(jié)果表明，三次相位板可在一定程度上使得光學系統(tǒng)對元件傾斜帶來的失調(diào)像散不敏感，經(jīng)過計算解碼后，系統(tǒng)成像效果良好，這對于加工裝調(diào)過程中不可避免的微小偏差有抑制作用，對提高復雜環(huán)境下工作的光學系統(tǒng)的環(huán)境適應性具有一定價值。