一種基于Jeffrey散度的魯棒圖像分割方法

單曉英，任迎春

(嘉興學(xué)院：a.平湖師范學(xué)院；b.數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，浙江嘉興 314000)

圖像分割是計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向，其目的是將圖像中感興趣的部分準(zhǔn)確地分割出來，為后續(xù)的圖像分析提供依據(jù).由于成像設(shè)備不完善和外界干擾，真實(shí)圖像中經(jīng)常出現(xiàn)灰度不均現(xiàn)象.灰度不均的圖像，其待分割區(qū)域的灰度存在重疊范圍，給圖像分割帶來挑戰(zhàn).

近年來，人們提出了很多圖像分割方法，其中主動(dòng)輪廓模型(Active Contour Models，簡(jiǎn)稱ACMs)根據(jù)最小化能量泛函得到的偏微分方程來指導(dǎo)曲線的演化，可以獲得高精度的閉合分割曲線，該類方法一直受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.[1-3]ACMs可以分為基于邊界的分割模型[4-5]和基于區(qū)域的分割模型.[6-9]前者利用圖像梯度信息構(gòu)造邊界停止函數(shù)推動(dòng)曲線演化并最終得到目標(biāo)區(qū)域的輪廓線，代表性算法有測(cè)地線模型(Geodesic Active Contour,簡(jiǎn)稱GAC)[10]、距離正則化水平集演化模型(Distance Regularized Level Set Evolution，簡(jiǎn)稱DRLSE)[11]等.因?yàn)槌浞掷昧四繕?biāo)區(qū)域內(nèi)外的梯度信息，基于邊界信息的主動(dòng)輪廓模型對(duì)于邊界清晰的圖像分割質(zhì)量較好，但在分割弱邊界圖像時(shí)質(zhì)量較差.后者利用區(qū)域的灰度統(tǒng)計(jì)信息指導(dǎo)曲線向目標(biāo)輪廓逼近，在分割弱邊界或灰度不均圖像時(shí)可以取得較好的效果.例如，局部圖像擬合模型(Local Image Fitting，簡(jiǎn)稱LIF)根據(jù)局部區(qū)域在演化曲線的內(nèi)外高斯加權(quán)平均灰度函數(shù)可擬合圖像灰度.[12]采用K-均值理論并最小化輸入圖像和每個(gè)像素點(diǎn)附近的局部聚類中心之間的差異，可得到一種局部灰度聚類模型(Local Intensity Clustering，簡(jiǎn)稱LIC).[13]在LIC模型基礎(chǔ)上，用一組給定的光滑正交基函數(shù)的線性組合估計(jì)偏置場(chǎng)，可得到局部不均灰度聚類模型(Local Inhomogeneous Intensity Clustering，簡(jiǎn)稱LINC)，進(jìn)一步提高了模型的分割精度.[14]通過構(gòu)造局部擬合圖像及其平方擬合圖像的混合區(qū)域能量泛函(Hybrid Region Image Fitting Energy Functional，簡(jiǎn)稱HRIF)，使灰度不均圖像分割和偏置場(chǎng)校正可以同時(shí)進(jìn)行.[15]上述基于區(qū)域的分割模型能有效分割灰度不均圖像，但對(duì)演化曲線的初始位置和形狀較敏感.另外，許多現(xiàn)有主動(dòng)輪廓模型利用歐氏距離定義其外部能量約束項(xiàng)并通過該約束項(xiàng)度量分割圖像與原始圖像之間的差異，最終根據(jù)類內(nèi)方差最小準(zhǔn)則分割圖像.如果圖像存在灰度突變或噪聲，會(huì)導(dǎo)致該區(qū)域灰度值方差變大，方差的不穩(wěn)定會(huì)造成計(jì)算距離值的不穩(wěn)定，從而導(dǎo)致分割結(jié)果的不穩(wěn)定.Jeffrey散度是對(duì)稱的KL散度，受方差不穩(wěn)定性影響較小，[16-17]在模式識(shí)別和計(jì)算機(jī)視覺中被廣泛應(yīng)用.[18-20]

針對(duì)以上問題，本文提出一種新的圖像分割方法.首先，根據(jù)Jeffrey散度構(gòu)建圖像擬合項(xiàng)以提升算法的灰度不均分割能力；其次，整合灰度擬合項(xiàng)及長(zhǎng)度正則項(xiàng)、符號(hào)距離函數(shù)懲罰項(xiàng)得到總能量泛函，并通過最小化能量泛函同時(shí)實(shí)現(xiàn)偏置場(chǎng)修正和圖像分割.為提高關(guān)于初始位置的魯棒性和分割效率，本文提出一種新的偏置場(chǎng)初始化方法，在一些醫(yī)學(xué)圖像、合成圖像和自然圖像上的實(shí)驗(yàn)表明，與現(xiàn)有ACMs算法相比，本文所提模型不僅對(duì)初始輪廓具有較好的魯棒性，而且還具有更高的分割精度和分割效率.

1 相關(guān)工作

1.1 LIC模型

為實(shí)現(xiàn)灰度不均圖像分割，局部灰度聚類模型LIC將圖像建模為

u(x) =B(x)J(x)+N(x)

(1)

其中J(x)是真實(shí)圖像，B(x)為變化平緩的偏置場(chǎng)，N是加性噪聲.在每個(gè)像素y的局部區(qū)域Oy內(nèi)應(yīng)用K-means聚類算法,[21]可以得到LIC模型的局部能量泛函：

(2)

(3)

給出，在兩相分割即只將圖像分為背景和目標(biāo)兩個(gè)不相交區(qū)域情形下，式(3)可改寫為：

(4)

其中ν和μ為正的常值系數(shù)，Mi(φ)為Ωi的隸屬函數(shù)且有M1(φ)=H(φ)和M2(φ)=1-H(φ)，H(x)為Heaviside函數(shù)，[22]L(φ)為符號(hào)距離函數(shù)懲罰項(xiàng)，R(φ)為長(zhǎng)度正則項(xiàng)函數(shù).偏置場(chǎng)B(x)和演化曲線內(nèi)外區(qū)域的灰度均值c1、c2可由

(5)

(6)

(7)

求出.由于建模時(shí)融入了偏置場(chǎng)和灰度信息，LIC具有同時(shí)進(jìn)行圖像分割和偏置場(chǎng)校正的能力.然而，該模型對(duì)初始化輪廓位置非常敏感，容易陷入局部最優(yōu).

1.2 LINC模型

在LIC模型基礎(chǔ)上提出的局部不均灰度聚類模型LINC，其能量泛函為：

(8)

其中g(shù)(y)為15個(gè)四階正交勒讓德多項(xiàng)式函數(shù)，wT為相應(yīng)多項(xiàng)式函數(shù)的系數(shù).LINC模型具有一定的處理灰度不均圖片的能力，但其處理強(qiáng)灰度不均圖片的能力較差，而且關(guān)于演化曲線的初始位置較敏感.

1.3 HRIF模型

為解決分割灰度不均圖像時(shí)遇到的邊界泄漏和分割不充分問題，文獻(xiàn)[15]提出了一種基于混合區(qū)域圖像擬合模型HRIF，其能量函數(shù)為：

(9)

其中I(x)表示原始圖像，IEFI(x)表示原始圖像的擬合圖像，ISFI(x)表示原始圖像平方I2(x)的擬合圖像，P(φ)和L(φ)分別為長(zhǎng)度正則項(xiàng)和符號(hào)距離函數(shù)懲罰項(xiàng)，μ和ν為對(duì)應(yīng)權(quán)重.

HRIF模型在分割灰度不均圖像時(shí)還可以進(jìn)行偏置場(chǎng)修正，一定程度上解決了弱邊界泄露問題，但該算法對(duì)初始輪廓曲線的魯棒性較差.

2 引入Jeffrey散度的魯棒圖像分割方法

2.1 基于Jeffrey散度的相似性度量

在度量圖像相似性時(shí)，傳統(tǒng)的方法是基于歐氏距離或Kullback-Leibler(KL)散度定義外部能量約束項(xiàng)并通過最小化原圖像與分割得到的圖像的類內(nèi)方差尋求最優(yōu)劃分.如果遇到圖像局部灰度變化強(qiáng)烈或存在噪聲，會(huì)造成該區(qū)域灰度值方差變大，而方差在主動(dòng)輪廓模型能量泛函構(gòu)建時(shí)具有重要地位，方差的不穩(wěn)定會(huì)影響圖像分割的質(zhì)量.Jeffrey散度是KL散度的改進(jìn)版本，數(shù)值穩(wěn)定性較好，在圖像檢索、圖像配準(zhǔn)和圖像分割領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用.[19，23-24]

假定S=[s1,s2,…,sn]和V=[v1,v2,…,vn]為兩個(gè)向量(或矩陣)，n為相應(yīng)的維度，基于Jeffrey散度的距離計(jì)算公式如下：

(10)

當(dāng)S和V對(duì)應(yīng)維度的數(shù)值越接近時(shí)，其差異性就越??；當(dāng)它們各維度上的數(shù)值完全相等時(shí)，其距離為0；另外，Jeffrey散度本身具有對(duì)稱的性質(zhì)，可以直接作為距離使用.

2.2 基于Jeffrey散度的圖像灰度擬合項(xiàng)

如文獻(xiàn)[22-24]所述，當(dāng)圖像存在嚴(yán)重灰度不均現(xiàn)象時(shí)，利用歐氏距離計(jì)算演化曲線內(nèi)外區(qū)域像素灰度的差異可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的分割結(jié)果.基于此，本文引入Jeffrey散度來衡量分割前后兩圖像區(qū)域間的灰度差異，圖像擬合項(xiàng)定義如下：

EJIFT(φ,B,c1,c2)=

(11)

其中c1和c2分別是曲線演化過程中圖像在inside(T)和outside(T)的灰度均值.

基于Jeffrey散度的圖像擬合項(xiàng)可以提高模型處理灰度不均圖像的能力，同時(shí)還可以進(jìn)行偏置場(chǎng)修正.

2.3 總能量泛函

E(φ,B,c1,c2)=λEJIFT(φ,B,c1,c2)+μR(φ)+νL(φ)=

μR(φ)+νL(φ)

(12)

其中,λ、ν和μ為正的常值系數(shù).

根據(jù)變分原理和最速下降法，可以得到式(12)的演化方程為

(13)

其中?為梯度算子，div(·)為散度算子.

2.4 偏置場(chǎng)初始化策略

由于圖像灰度變化趨勢(shì)與偏置場(chǎng)變化趨勢(shì)是一致的.在能量泛函最小化過程中，偏置場(chǎng)估計(jì)和圖像分割相輔相成、互相影響.合適的偏置場(chǎng)初始化方法可以提升模型的分割精度和分割效率.因此，將偏置場(chǎng)初始化為：

(14)

其中Ωx為以x為中心、r為半徑的局部圓形區(qū)域，n為Ωx中像素點(diǎn)的個(gè)數(shù)，m為給定圖像u(x)的均值.由式(1)、式(14)，可得:

(15)

一般來說，目標(biāo)邊界位于圖像灰度變化較劇烈的區(qū)域.校正后的圖像J0在目標(biāo)邊界附近的灰度會(huì)大于或小于m，而其他區(qū)域的灰度約等于m.因此,新的偏置場(chǎng)初始化方法可以確保偏置場(chǎng)的變化趨勢(shì)與整體圖像灰度的變化趨勢(shì)是一致的.

綜上，本文所提分割模型的實(shí)施步驟如下：

步驟1：初始化水平集函數(shù)φ；

步驟2：根據(jù)式(14)初始化偏置場(chǎng)B；

步驟3：根據(jù)式(6)、式(7)分別計(jì)算c1和c2；

步驟4：根據(jù)式(13)更新水平集φ；

步驟5：根據(jù)式(5)計(jì)算B；

步驟6：判斷φ是否收斂，若不收斂則返回步驟3.

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果討論

本文的實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Intel(R) Core(TM) i7-8565U，CPU@1.80GHz，RAM 16.00GB,Windows10操作系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)算法的工具為MATLAB 2011b.除另有說明外，在所有實(shí)驗(yàn)中均使用以下參數(shù)：高斯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差σ=3，ε=1，Δt=0.1，ν=1，λ=100，μ=0.002×255×255以及局部圓形區(qū)域Ωx的半徑r設(shè)置為20.

3.1 灰度不均圖像分割實(shí)驗(yàn)

圖1展示了本文所提模型的分割過程.兩幅圖像呈現(xiàn)了明顯的灰度不均.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文所提模型能夠快速且準(zhǔn)確地定位到目標(biāo)邊界，具有很高的演化效率.

注:第1列為原始圖像及白色初始化輪廓,第2列為經(jīng)過1次迭代后的分割結(jié)果,第3列為本文模型的最終分割結(jié)果

圖2分別展示了原始圖像、本文所提模型的偏置場(chǎng)初始值、分割結(jié)果以及偏置場(chǎng)的最終估計(jì)值.從圖2的結(jié)果可以看出，本文最終估計(jì)出的偏置場(chǎng)和偏置場(chǎng)的初始值與原始圖像的整體灰度變化趨勢(shì)相似，這與前文中關(guān)于偏置場(chǎng)的分析是一致的.圖2的分割結(jié)果進(jìn)一步證明了本文所設(shè)計(jì)的偏置場(chǎng)初始化方法的合理性和有效性.

注:從左至右圖像分別為原始圖像、初始化偏置場(chǎng)、分割結(jié)果和模型最終計(jì)算出的偏置場(chǎng)

3.2 初始輪廓魯棒性實(shí)驗(yàn)

圖3給出了本文模型對(duì)兩幅灰度不均圖像在不同初始輪廓下的分割結(jié)果.

注:黑色曲線表示初始化輪廓,白色曲線表示相應(yīng)分割結(jié)果

圖4給出了本文所提模型對(duì)兩幅噪聲圖像在不同初始化輪廓下的分割結(jié)果.

注:第一行和第三行的白色曲線表示初始化輪廓,第二行和第四行的白色曲線表示相應(yīng)分割結(jié)果

從圖3和圖4的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，在各種不同初始化曲線下，本文模型均能成功分割出目標(biāo).這是因?yàn)楸疚哪Ｐ腿诤狭似脠?chǎng)校正和圖像分割，使兩者相輔相成，確保圖像灰度變化趨勢(shì)與偏置場(chǎng)變化趨勢(shì)的一致性.另外，由于本文所提的偏置場(chǎng)初始化方法模型(14)對(duì)各像素的局部鄰域做了均值化處理，這在一定程度上消除了噪聲帶來的影響.

圖3和圖4的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，無論是灰度不均圖像還是噪聲圖像，本文模型對(duì)初始化曲線均具有較好的魯棒性.

3.3 噪聲圖像分割實(shí)驗(yàn)

圖5為本文所提模型在不同程度噪聲污染情況下的3幅自然圖像上的分割結(jié)果.從圖5的分割結(jié)果可以看出，本文所提模型可以分割一定程度的噪聲污染圖像.

注:第1列為原始圖像,第2列至第5列依次為添加speckle噪聲(均值為0,方差為0.005)、speckle噪聲(均值為0,方差為0.03)、Gaussian噪聲(均值為0,方差為0.005)、Gaussian噪聲(均值為0,方差為0.03)的分割結(jié)果

3.4 分割效率及分割精度比較

本節(jié)將從分割效率和分割精度兩個(gè)方面展示本文所提模型的優(yōu)越性能.分割效率包括完成分割的迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間，分割精度包括骰子系數(shù)(Dice Similarity Coefficient，簡(jiǎn)稱DSC)和Jaccard相似度(Jaccard Similarity，簡(jiǎn)稱JS)兩個(gè)常用評(píng)估指標(biāo)，定義如下：

(16)

其中,B為參考的分割標(biāo)準(zhǔn)，A為測(cè)試模型的分割結(jié)果，N(·)表示某一區(qū)域的像素?cái)?shù)目，∪和∩表示兩區(qū)域的并或交算子.DSC和JS值在0到1之間，它們的數(shù)值越接近1，表明算法的分割質(zhì)量越高.

圖6為本文所提模型與LIC、LINC和 HRIF分別在兩幅灰度不均合成圖像(A和B)、兩幅醫(yī)學(xué)圖像(C和D)和兩幅自然圖像(E和F)上的分割結(jié)果.

從圖6可以看出，對(duì)于第1行和第2行的灰度不均圖像，本文模型和 HRIF均能分割出理想結(jié)果，而LINC和LIC提取目標(biāo)邊界的能力不足，尤其是LINC在給出的兩幅灰度不均圖像均分割失敗.對(duì)于第3行和第4行的血管圖像，本文所提模型和LINC分割質(zhì)量比LIC和 HRIF的分割質(zhì)量要高.對(duì)于第5行和第6行的自然圖像，本文所提模型分割結(jié)果優(yōu)于LIC、 HRIF和LINC模型.

從圖6的分割結(jié)果可知，本文所提模型在針對(duì)灰度不均圖像、醫(yī)學(xué)圖像及自然圖像時(shí)均具有較好的分割性能，這是因?yàn)楸疚哪Ｐ屠肑effrey散度構(gòu)建圖像灰度擬合項(xiàng)，相比其他三種模型，具有更強(qiáng)的目標(biāo)邊界提取能力.

表1和表2分別列出了4種模型分割6幅圖像時(shí)的迭代次數(shù)和分割時(shí)間，用加粗顯示的數(shù)據(jù)是用時(shí)最短的迭代次數(shù)和分割時(shí)間，用斜體加粗顯示的數(shù)據(jù)是用時(shí)最長(zhǎng)的迭代次數(shù)和時(shí)間.從表1和表2的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，本文所提模型迭代次數(shù)最少，執(zhí)行分割的時(shí)間也最短.這是因?yàn)楸疚哪Ｐ驮O(shè)計(jì)的偏置場(chǎng)初始化方法更加有效，可以加速算法的收斂過程.

表3和表4分別列出了4種模型分割6幅圖像時(shí)的JS值和DSC值，最大的JS值和DSC值用加粗字體標(biāo)出，最小的JS值和DSC值用斜體加粗標(biāo)出，可以看出，本文模型在JS值和DSC值兩個(gè)分割指標(biāo)上均取得了最大值，這與圖6的分割結(jié)果相一致.

總之，本文模型不僅具備較好的圖像分割能力，具有較高的分割效率.

注:圖像A和圖像B為合成圖像,圖像C和圖像D為醫(yī)學(xué)圖像,圖像E和圖像F為自然圖像.從左到右:第1列為原始圖像,第2列至第5列依次為本文模型、LIC模型、LINC模型和 HRIF模型的分割結(jié)果

表1 本文模型與LIC、LINC和 HRIF在分割圖6的6幅圖像之迭代次數(shù)比較

表2 本文模型與LIC、LINC和 HRIF在分割圖6的6幅圖像時(shí)之時(shí)間比較 s

表3 本文模型與LIC、LINC和 HRIF分割圖6的6幅圖像之JS系數(shù)比較

表4 本文模型與LIC、LINC和 HRIF分割圖6的6幅圖像之DSC系數(shù)比較

4 結(jié)論

針對(duì)現(xiàn)有基于區(qū)域的主動(dòng)輪廓模型分割灰度不均圖像時(shí)初始位置魯棒性較差的問題，本文提出一種基于Jeffrey散度相似性度量的圖像分割算法，建立了基于Jeffrey散度的灰度擬合項(xiàng)，整合了長(zhǎng)度正則項(xiàng)、符號(hào)距離函數(shù)懲罰項(xiàng)和灰度擬合項(xiàng)構(gòu)建總能量泛函，并通過最小化能量泛函實(shí)現(xiàn)了偏置場(chǎng)修正和灰度不均圖像分割，引入了一種新的偏置場(chǎng)初始化方法以提高算法的分割效率和初始輪廓曲線的魯棒性.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文模型不僅對(duì)初始輪廓曲線具有較好的魯棒性，而且具有更高的分割精度和分割效率.