固體材料的塑性功率方程與后繼屈服函數(shù)

陳敬虞

(嘉興學(xué)院 建筑工程學(xué)院，浙江嘉興314001)

對(duì)固體材料的塑性屈服研究由來(lái)已久，研究發(fā)現(xiàn)，一類固體材料的塑性屈服與靜水壓力無(wú)關(guān)，如碳鋼、銅、鋁等金屬材料；另一類固體材料的塑性屈服與靜水壓力相關(guān)，如巖石、混凝土、土體等材料，而兩類固體材料的初始屈服函數(shù)和后繼屈服函數(shù)都是不同的.[1]

20世紀(jì)80年代，隨著熱現(xiàn)象和力現(xiàn)象耦合關(guān)系的研究進(jìn)展，歐洲一些學(xué)者通過(guò)吸收不可逆過(guò)程熱力學(xué)理論和理性熱力學(xué)理論的合理成分，形成了較完善的內(nèi)變量熱力學(xué)理論(Thermo-dynamics with Internal Variables，T.I.V).近年來(lái)，內(nèi)變量熱力學(xué)理論所取得的成果豐富和發(fā)展了連續(xù)介質(zhì)力學(xué)本構(gòu)關(guān)系理論，使人們從物理學(xué)能量耗散的角度深入了解不可逆過(guò)程現(xiàn)象的物理本質(zhì)，為研究建立連續(xù)介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系模型提供了新的思路和方法.現(xiàn)代塑性理論是通過(guò)引入內(nèi)變量來(lái)描述固體材料在發(fā)生塑性變形過(guò)程中，固體材料內(nèi)部細(xì)觀結(jié)構(gòu)的變化，用內(nèi)變量作為自變量表示塑性應(yīng)變、后繼屈服函數(shù)、塑性勢(shì)函數(shù)和自由能函數(shù)等.[2-8]

本文依據(jù)現(xiàn)代內(nèi)變量塑性理論，給出塑性屈服與靜水壓力無(wú)關(guān)和塑性屈服與靜水壓力有關(guān)的兩類固體材料的塑性功率方程，并由塑性功率方程得到用內(nèi)變量表示兩類固體材料的后繼屈服函數(shù)(加載函數(shù))，并建立了塑性功率方程與后繼屈服函數(shù)的聯(lián)系，總結(jié)出由固體材料塑性功率方程得到后繼屈服函數(shù)的方法.

1 固體材料的塑性功率方程或塑性功方程

連續(xù)介質(zhì)熱力學(xué)理論給出的可變形連續(xù)體，在等溫變形過(guò)程中的熱力學(xué)第一定律的微分形式為

(1)

(2)

將式(2)代入式(1)，得

(3)

(4)

(5)

式(4)和式(5)聯(lián)立，得

(6)

式(6)稱為由內(nèi)變量表示的連續(xù)變形體塑性功率方程或塑性功方程.

2 塑性屈服與靜水壓力無(wú)關(guān)的固體材料的塑性功率方程與后繼屈服函數(shù)

(7)

固體材料的后繼屈服是很復(fù)雜的問(wèn)題，目前，塑性力學(xué)理論依據(jù)許多金屬材料的實(shí)驗(yàn)結(jié)果給出了加載面(后繼屈服面)的3種模型，即等向強(qiáng)化模型、隨動(dòng)強(qiáng)化模型和組合強(qiáng)化模型.下面分別給出這3種模型對(duì)應(yīng)的塑性功率方程，并由塑性功率方程推導(dǎo)出3種模型對(duì)應(yīng)的后繼屈服函數(shù).

2.1 加載面等向強(qiáng)化模型的塑性功率方程和后繼屈服函數(shù)

加載面等向強(qiáng)化模型理論認(rèn)為，材料在某一方向荷載下發(fā)生強(qiáng)化后，則在相反方向必有相同程度的強(qiáng)化，即后繼屈服面在應(yīng)力空間中的中心位置及形狀保持不變，只是隨著塑性變形增大而逐漸等向擴(kuò)大.

當(dāng)塑性屈服與靜水壓力無(wú)關(guān)時(shí)，具有等向強(qiáng)化特性的固體材料的塑性功率方程有如下形式：

(8)

(9)

定義函數(shù)

(10)

(11)

由式(11)就可得到具有等向強(qiáng)化特性固體材料的加載函數(shù)或后繼屈服函數(shù)

(12)

2.2 加載面隨動(dòng)強(qiáng)化模型的塑性功率方程和后繼屈服函數(shù)

加載面隨動(dòng)強(qiáng)化模型理論認(rèn)為，在塑性變形的過(guò)程中，屈服面的大小和形狀都不改變，只是在應(yīng)力空間做剛性移動(dòng)，即屈服面的中心位置隨塑性變形而變化.該模型在一定程度上可以反映許多金屬材料的包辛格效應(yīng).

當(dāng)塑性屈服與靜水壓力無(wú)關(guān)時(shí)，具有隨動(dòng)強(qiáng)化特性的固體材料塑性功率方程可表示為

(13)

其中αij(ξβ)是由內(nèi)變量ξβ決定的背應(yīng)力，k0是初始屈服等效應(yīng)力的一個(gè)常數(shù).由塑性功率方程決定的塑性功率函數(shù)可表示為

圖1 加載面的三種強(qiáng)化模型

(14)

(15)

由式(15)可得到具有隨動(dòng)強(qiáng)化特性固體材料的后繼屈服函數(shù)或加載函數(shù)為

(16)

2.3 加載面組合強(qiáng)化模型的塑性功率方程和后繼屈服函數(shù)

加載面組合強(qiáng)化模型理論認(rèn)為，在塑性變形的過(guò)程中，屈服面的形狀、大小和位置都隨內(nèi)變量ξβ的演化而變化，組合強(qiáng)化模型可以更好地反映許多金屬材料的塑性變形過(guò)程的包辛格效應(yīng).塑性屈服與靜水壓力無(wú)關(guān)的材料，其后繼屈服函數(shù)對(duì)應(yīng)的加載面的3種強(qiáng)化模型如圖1所示.

當(dāng)塑性屈服與靜水壓力無(wú)關(guān)時(shí)，具有組合強(qiáng)化特性的固體材料的塑性功率方程可表示為

(17)

則由塑性功率方程決定的塑性功率函數(shù)為

(18)

(19)

由式(19)就可得到具有組合強(qiáng)化特性固體材料的后繼屈服函數(shù)或加載函數(shù)為：

(20)

3 塑性屈服與靜水壓力有關(guān)的固體材料的塑性功率方程和后繼屈服函數(shù)

土體是由固體顆粒、顆粒間孔隙中的水和空氣組成的混合物.土體在排水條件下，在比較大的壓力作用下孔隙比減小，壓力撤去后會(huì)殘留較大的塑性體積變形，是典型的塑性屈服與靜水壓力有關(guān)的固體材料.由式(6)可得此類固體材料的塑性功率方程為

(21)

下面給出土體在常規(guī)三軸應(yīng)力狀態(tài)(二向應(yīng)力狀態(tài))和三向應(yīng)力狀態(tài)下，用內(nèi)變量表示的塑性功率方程和后繼屈服函數(shù).

3.1 土體在常規(guī)三軸應(yīng)力狀態(tài)下的塑性功率方程和后繼屈服函數(shù)

英國(guó)劍橋大學(xué)的Thurairajiah博士通過(guò)劍橋黏土和砂土的系列常規(guī)三軸壓縮實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)分析，得到了土體在常規(guī)三軸壓縮應(yīng)力狀態(tài)下的塑性功率方程，為劍橋本構(gòu)模型的建立奠定了重要基礎(chǔ).隨后Roscoe&Burland對(duì)Thurairajiah博士的模型進(jìn)行了修正，并建立了土體彈塑性本構(gòu)關(guān)系的修正劍橋模型.Collins等利用內(nèi)變量熱力學(xué)理論，對(duì)修正劍橋模型進(jìn)行分析，給出土體在常規(guī)三軸應(yīng)力狀態(tài)下的塑性功率方程為[10]

(22)

(23)

由式(22)和式(23),得塑性功率函數(shù)為

聯(lián)立上面的兩個(gè)方程，得到土體在常規(guī)三軸應(yīng)力狀態(tài)下的后繼屈服函數(shù)為

(24)

(25)

圖2 修正劍橋模型加載面隨內(nèi)變量的演化

3.2 土體在三向應(yīng)力狀態(tài)下的塑性功率方程和后繼屈服函數(shù)

依據(jù)塑性功率方程式(17)和土體在常規(guī)三軸應(yīng)力狀態(tài)下的塑性耗散函數(shù)式(23)，假設(shè)塑性屈服與靜水壓力有關(guān)的固體材料一般在三向應(yīng)力狀態(tài)下的塑性耗散函數(shù)為

(26)

聯(lián)立式(21)、式(26)，可得塑性屈服與靜水壓力有關(guān)的固體材料的塑性功率方程：

(27)

由塑性功率方程得到的塑性功率函數(shù)為

(28)

聯(lián)立上面兩式，可得包含應(yīng)力和內(nèi)變量的后繼屈服函數(shù)的表達(dá)式為

(29)

(30)

圖3 黏土帽蓋本構(gòu)模型加載面

4 結(jié)論

塑性屈服與靜水壓力無(wú)關(guān)、塑性屈服與靜水壓力有關(guān)的兩類固體材料的塑性功率方程是不同的.本文依據(jù)內(nèi)變量塑性理論，給出兩類固體材料的塑性功率方程，并通過(guò)數(shù)學(xué)演繹得到了固體材料的后繼屈服函數(shù)：

第一，塑性屈服與靜水壓力無(wú)關(guān)的固體材料的塑性功率方程為

(31)

式(31)是塑性屈服與靜水壓力無(wú)關(guān)的固體材料加載面(后繼屈服面)的組合強(qiáng)化模型的塑性功率方程，當(dāng)k(ξβ)=k0為常數(shù)時(shí)，就是隨動(dòng)強(qiáng)化模型對(duì)應(yīng)的塑性功率方程；當(dāng)αij(ξβ)=0，就是各向同性強(qiáng)化模型對(duì)應(yīng)的塑性功率方程.

第二，塑性屈服與靜水壓力有關(guān)的固體材料的塑性功率方程為

(32)

第三，由塑性功率方程得到塑性功率函數(shù)為

(33)

f(σij,ξβ)=0

(34)