MPCK視域下初中有理數(shù)運(yùn)算的教學(xué)研究*

王譽(yù)錕 金 晶

（黃岡師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 湖北黃岡 438000）

一、問題提出

筆者通過調(diào)研發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時經(jīng)常出現(xiàn)偏差，感覺難以適應(yīng)，逐漸對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生畏難心理。而部分教師的教學(xué)方法和行為存在以下幾個問題：忽視學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗，不重視推導(dǎo)運(yùn)算法則的由來；忽視培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，不利于良好運(yùn)算習(xí)慣的養(yǎng)成；注重學(xué)生的運(yùn)算熟練程度，不注重總結(jié)運(yùn)算思路，擠壓學(xué)生思考時間；過度關(guān)注學(xué)生的運(yùn)算過程，對算理缺少重視；一味強(qiáng)調(diào)“標(biāo)準(zhǔn)算法”與“常規(guī)算法”，不利于學(xué)生的思維發(fā)散。此外，許多教師缺乏先進(jìn)的教學(xué)理念，對運(yùn)算教學(xué)持有片面觀點，導(dǎo)致教學(xué)效果不突出，也不利于學(xué)生樹立正確的學(xué)習(xí)觀念。

本文擬針對學(xué)生在有理數(shù)運(yùn)算中存在的問題，運(yùn)用MPCK理論剖析數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)過程，嘗試提出相應(yīng)的教學(xué)建議，為一線教師的教學(xué)及學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供借鑒與思考。

二、MPCK視域下初中有理數(shù)運(yùn)算的教學(xué)

1.理論概述

MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge），即數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識，由香港中文大學(xué)黃毅英教授等學(xué)者結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，在PCK的基礎(chǔ)上提出的數(shù)學(xué)教師從事專業(yè)教學(xué)所應(yīng)具備的核心知識。MPCK結(jié)構(gòu)模型主要由MK（數(shù)學(xué)學(xué)科知識）、CK（有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識）和PK（一般教學(xué)法知識）三部分融合而成。該理論的本質(zhì)是教師如何將數(shù)學(xué)知識的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，以增強(qiáng)學(xué)生對于數(shù)學(xué)的理解，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同時加深數(shù)學(xué)教師對專業(yè)發(fā)展的認(rèn)識[1]。

2.基本維度

中學(xué)數(shù)學(xué)教師的MPCK水平對有理數(shù)運(yùn)算教學(xué)有較大的影響。MPCK視閾下的有理數(shù)運(yùn)算教學(xué)主要包括以下三個方面：

（1）MK維度下的有理數(shù)運(yùn)算教學(xué)

MK是指數(shù)學(xué)教師應(yīng)具備的學(xué)科基礎(chǔ)知識。教師對此知識要有一個多角度、立體化的認(rèn)識，即知曉某一特定知識的產(chǎn)生背景、思想方法等，準(zhǔn)確把握知識本質(zhì)，明晰縱橫向聯(lián)系。該維度主要解決“教什么”的問題。教師通過分析課程標(biāo)準(zhǔn)對有理數(shù)運(yùn)算的目標(biāo)要求以及分析教材內(nèi)容和架構(gòu)確定教學(xué)重點，主要包括設(shè)定明確的教學(xué)目標(biāo)，確定貫穿教學(xué)的思想，設(shè)置課堂教學(xué)的情境，呈現(xiàn)有梯度的課堂問題。

（2）CK維度下的有理數(shù)運(yùn)算教學(xué)

CK主要是指教師從學(xué)生層面了解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識，即從知識、思想方法、能力素養(yǎng)方面準(zhǔn)確把握學(xué)生的現(xiàn)有學(xué)情和“最近發(fā)展區(qū)”情況，確定教學(xué)難點，解決“學(xué)什么”的問題。從知識層面，教師要對學(xué)生在有理數(shù)運(yùn)算時可能存在的誤解和遇到的困難進(jìn)行預(yù)判和教學(xué)預(yù)設(shè)，分析學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗和認(rèn)知水平，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)特點和思維習(xí)慣，明確哪些問題的解決對學(xué)生難度不大抑或存在難度。在思想方法和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)層面，讓學(xué)生感知解決有理數(shù)運(yùn)算問題的過程，注重發(fā)現(xiàn)、歸納等學(xué)習(xí)體驗，經(jīng)歷合情推理的全過程[2]。

（3）PK維度下的有理數(shù)運(yùn)算教學(xué)

“為美好生活加油”是中國石化的企業(yè)使命，中國石化青工委也積極踐行綠色低碳戰(zhàn)略，廣泛傳播綠色環(huán)保理念，倡導(dǎo)綠色生活方式，組織動員青年開展“光盤行動”、植綠護(hù)綠、綠色出行、垃圾分類等環(huán)保實踐，大力開展以綠色生產(chǎn)為主題的“青年文明號”“青年綠色生產(chǎn)示范崗”創(chuàng)建活動，提升青年環(huán)保意識和環(huán)保技能，助力綠色企業(yè)創(chuàng)建。

PK是指教師在MK和CK的基礎(chǔ)上具體落實數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的方法，主要解決“怎么教”的問題[2]。針對學(xué)生存在的有理數(shù)運(yùn)算問題，教師要思考如何有效安排教學(xué)流程和教學(xué)活動，以及如何根據(jù)課堂教學(xué)反饋做出有效調(diào)整，幫助學(xué)生理解和解決疑點和困惑，實現(xiàn)知識體系的進(jìn)一步建構(gòu)。

三、案例呈現(xiàn)與剖析

1.基礎(chǔ)知識層面，學(xué)生對運(yùn)算符號和運(yùn)算法則缺乏深入理解與實踐

存在問題：學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)時，經(jīng)常會出現(xiàn)死記硬背運(yùn)算法則、對“+”“-”的本質(zhì)存在理解偏差的情況。學(xué)生在小學(xué)算術(shù)的思維定式下，機(jī)械理解“正負(fù)號表示具有相反意義的量”，認(rèn)為“加法表示增加，減法表示減少”。在案例1中，學(xué)生在執(zhí)行乘法分配律時錯誤地轉(zhuǎn)換“+”“-”，從而導(dǎo)致錯誤的結(jié)果。在實際數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不注意推導(dǎo)運(yùn)算法則的由來，忽視學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗，以致學(xué)生無法真正理解和內(nèi)化運(yùn)算法則。

從MK的角度：教師要對基礎(chǔ)知識進(jìn)行“二次開發(fā)”，概括、提煉和升華運(yùn)算法則和運(yùn)算符號的“生長點”與“延伸點”，使學(xué)生形成多維、立體化的理解。同時，教師要準(zhǔn)確診斷學(xué)生錯誤認(rèn)識的根本原因，如知識負(fù)遷移、關(guān)聯(lián)性知識混淆等。教師還應(yīng)注重學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的整體思維發(fā)展，為學(xué)生提供表達(dá)想法的機(jī)會，幫助學(xué)生建立合理的知識結(jié)構(gòu)體系，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力奠定基礎(chǔ)。

從CK的角度：學(xué)生在以往的學(xué)習(xí)和生活中已具備一定的運(yùn)算基礎(chǔ)，教師應(yīng)善于利用學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生不斷同化、順應(yīng)新算法，建立知識間的聯(lián)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)遷移能力。教師可采用“錯例展示”的方式，讓學(xué)生判斷錯解與正解之間的差異，分析產(chǎn)生錯解的原因，使學(xué)生在頭腦中形成認(rèn)知差，有“一探究竟”的沖動，讓其在“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)不斷加深對運(yùn)算知識的認(rèn)識和解讀。在此過程中，教師要時刻以“引領(lǐng)者”身份通過提問、舉例等表征方式引導(dǎo)學(xué)生探究，體會知識的發(fā)生發(fā)展過程，提高學(xué)生對知識的感知和運(yùn)用能力。

從PK的角度：教師在課堂教學(xué)中，應(yīng)充分利用信息技術(shù)的動畫、視頻等方式支持教學(xué)，通過創(chuàng)設(shè)生活情境，使學(xué)生在生活實例中感知數(shù)學(xué)符號的抽象過程，使“正負(fù)號表示具有相反意義的量”這一數(shù)學(xué)意義生動化、具體化。

2.運(yùn)算習(xí)慣層面，學(xué)生缺乏良好的觀察能力

存在問題：在日常學(xué)習(xí)中，多數(shù)學(xué)生缺少運(yùn)算前的準(zhǔn)備工作——觀察，表現(xiàn)出運(yùn)算求解的盲目性，對題干與問題“一帶而過”，結(jié)果不僅耗時耗力，且正確率較低。案例2涉及的是有理數(shù)乘除混合運(yùn)算，由于學(xué)生沒有仔細(xì)觀察題目特征，就按運(yùn)算法則從左向右依次計算，直到運(yùn)算至 ×0 后才“恍然大悟”。實際教學(xué)中，教師往往更強(qiáng)調(diào)具體的運(yùn)算過程。因此，良好的觀察能力是學(xué)生進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算不可或缺的內(nèi)容，教師也需提高對其重要性的認(rèn)識。

從MK的角度：教師應(yīng)“突出條件化知識的教學(xué)”[3]，引導(dǎo)學(xué)生明確以下幾個問題：運(yùn)算類型，即觀察題目中包含有理數(shù)的哪些運(yùn)算；題目特征，即觀察是否包含特殊運(yùn)算內(nèi)容或條件，是否與已知條件存在某種聯(lián)系；運(yùn)算方法，即是綜合信息形成整體運(yùn)算思路的過程。此過程不僅可以鍛煉學(xué)生分析問題的能力，且為之后思考具體算法提供基礎(chǔ)。

3.數(shù)學(xué)思考層面，學(xué)生缺乏利用題干探求算法的能力

案例3：已知a,b互為倒數(shù)，c,d互為相反數(shù)，m為最大的負(fù)整數(shù)，n的絕對值為2，試求的值。

存在問題：在有理數(shù)運(yùn)算的練習(xí)中，部分學(xué)生理論知識扎實，但實際做題時卻經(jīng)常出錯，其中部分原因是由于數(shù)學(xué)思考導(dǎo)致，即無法提取、運(yùn)用有效信息尋求運(yùn)算思路。日常檢測和考試的范圍來源于書本，為提高試題區(qū)分度和難度，往往“隱藏”運(yùn)算條件。而學(xué)生對已知條件無從下手，常表現(xiàn)出無法正確表達(dá)題目的顯性條件，無法深挖出隱藏條件。在教學(xué)中，教師一味地進(jìn)行機(jī)械訓(xùn)練，增加運(yùn)算熟練程度，擠壓學(xué)生思考的時間，學(xué)生無法將所學(xué)與題目條件建立聯(lián)系，不利于培養(yǎng)思維能力。

從MK的角度：對于案例3，學(xué)生常因題目條件冗長、問題繁雜，而感到懈怠和無助。在數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)時，教師需展示數(shù)學(xué)思維過程（即如何利用題目條件逐步轉(zhuǎn)化為已學(xué)知識）。這包括由已知條件可獲得什么信息，此過程亦能檢驗學(xué)生的基礎(chǔ)知識是否扎實；觀察運(yùn)算問題，由條件得到的信息能否直接應(yīng)用進(jìn)行求解；信息與問題之間是否存在某種聯(lián)系，以及是否需要“二次轉(zhuǎn)化”?！笆谌艘贼~，不如授人以漁”，數(shù)學(xué)教師應(yīng)讓學(xué)生學(xué)會“舉一反三”，以類似的思維過程應(yīng)對其他問題。

從PK的角度：教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考時，要充分利用圖形、圖示，或直觀模型，促進(jìn)學(xué)生對題目信息深入理解與適當(dāng)轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)其對運(yùn)算思路的有效探求。同時，貫徹問題驅(qū)動教學(xué)理念，在講解過程中發(fā)揮“腳手架”的作用，注重師生互動和學(xué)生的學(xué)情分析，促使學(xué)生有效地開展學(xué)習(xí)活動，培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想。最后，教師要引導(dǎo)學(xué)生及時反思思路的形成與發(fā)展過程，讓學(xué)生積累有關(guān)數(shù)學(xué)問題思考的實踐智慧。

4.在問題解決層面，學(xué)生不理解運(yùn)算程序蘊(yùn)含的算理

存在問題：學(xué)生運(yùn)算時機(jī)械地執(zhí)行教師傳授的運(yùn)算規(guī)則與程序，但對其中蘊(yùn)含的算理、適用條件并不清晰，以致學(xué)生在實際計算時頻頻出現(xiàn)錯誤使用法則和運(yùn)算律、遺漏運(yùn)算程序的現(xiàn)象。對于案例4，導(dǎo)致學(xué)生錯誤的原因有：一是類比乘法分配律，認(rèn)為除法亦具有分配律；二是試圖按原式的倒數(shù)進(jìn)行技巧運(yùn)算，便機(jī)械地顛倒被除數(shù)與除數(shù)的位置，但對最終答案取運(yùn)算結(jié)果的倒數(shù)產(chǎn)生疑惑。調(diào)研發(fā)現(xiàn)，部分教師過度關(guān)注學(xué)生的具體運(yùn)算操作過程，而對算理重視程度不夠。

從MK的角度：學(xué)生掌握運(yùn)算技能固然重要，但更應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握技能背后的“數(shù)學(xué)”。這是數(shù)學(xué)教師MK能力發(fā)展是否完善的表現(xiàn)之一。結(jié)合具體的運(yùn)算過程，對其算理進(jìn)行適當(dāng)揭示，逐步加強(qiáng)學(xué)生對其運(yùn)算意義的深入理解，既是數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)習(xí)的必要環(huán)節(jié)，也是進(jìn)一步提升學(xué)生對某一數(shù)學(xué)運(yùn)算理解水平的基本手段[4]。對于案例4的教學(xué)，教師首先要明確除法沒有分配律的根本原因是，在進(jìn)行除法運(yùn)算時被除數(shù)與除數(shù)不能交換位置。其次，教師應(yīng)解釋將原式被除數(shù)與除數(shù)顛倒位置進(jìn)行運(yùn)算的原理是想運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡便運(yùn)算，由于運(yùn)算的結(jié)果即是原式結(jié)果的倒數(shù)，所以最終答案應(yīng)取倒數(shù)。

從PK的角度：教師是否能把對教學(xué)理論與學(xué)習(xí)理論的認(rèn)識落實到具體教學(xué)中，是檢驗教師是否具有教學(xué)法知識的主要體現(xiàn)。教師在揭示算理時，要以“問題串”的方式，引導(dǎo)學(xué)生加深對運(yùn)算過程的直觀理解與幾何解釋，積極參與問題求解，培養(yǎng)其解決問題的良好圖式。同時，根據(jù)不同層次學(xué)生的課堂反饋進(jìn)行分層教學(xué)，設(shè)置有梯度的練習(xí)題及時鞏固提高，循序漸進(jìn)地實現(xiàn)由“不知”到“理解”到“掌握”再到“實踐運(yùn)用”的過程[5]，讓不同的學(xué)生得到不同的數(shù)學(xué)發(fā)展。

5.擇優(yōu)運(yùn)算層面，學(xué)生無法選擇最佳算法

存在問題：能否擇優(yōu)運(yùn)算是學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力強(qiáng)弱的表現(xiàn)之一。研究發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生的算法單一化，且對運(yùn)算題目缺乏全面思考和深究，不能實現(xiàn)算法優(yōu)化，無法選擇最佳算法。對于案例5，由于學(xué)生沒有觀察到每個因式的一般特征，以致無法找到最佳算法的“癥結(jié)”所在，而選擇直接相乘再相加的方法稍顯不實際。教師在教學(xué)中不應(yīng)一味強(qiáng)調(diào)“標(biāo)準(zhǔn)算法”與“常規(guī)算法”，更重要的是分析運(yùn)算方法是否適當(dāng)，運(yùn)算過程是否合理，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注重運(yùn)算過程及運(yùn)算結(jié)果的合理呈現(xiàn)與恰當(dāng)表達(dá)[4]。

從MK的角度：對于有理數(shù)運(yùn)算，教師不能僅僅就題論題，而應(yīng)注重對知識的概括，對思想方法的提煉，使學(xué)生能從多角度看待問題，發(fā)展靈活的解題策略，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對相應(yīng)運(yùn)算規(guī)則的掌握與運(yùn)用能力[4]。教師在教學(xué)時，應(yīng)重點探索如何把案例5的每個因式展開為的形式，以及發(fā)現(xiàn)因式展開后的規(guī)律，讓學(xué)生盡可能發(fā)掘多樣化算法，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性與靈活性。

從CK的角度：教師可根據(jù)實際教學(xué)情況對數(shù)學(xué)運(yùn)算材料進(jìn)行變式，以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)運(yùn)算的深度理解、牢固掌握與靈活運(yùn)用[4]。為防止產(chǎn)生“一言堂”的效果，教師應(yīng)讓學(xué)生通過交流、合作等方式發(fā)現(xiàn)因式的規(guī)律，培養(yǎng)其合作問題解決（CPS）的能力，同時密切關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，了解學(xué)生的認(rèn)知障礙，為學(xué)生的探究式學(xué)習(xí)提供良好支持。

從PK的角度：教師在講解時，要給學(xué)生提供適切的學(xué)習(xí)評價與反饋，為學(xué)生積極表達(dá)見解、揭示思維嚴(yán)謹(jǐn)性、師生共同探究創(chuàng)造條件。同時，教師要善于運(yùn)用啟發(fā)式問題，幫助學(xué)生體會一般解法的不合理性，增強(qiáng)學(xué)生尋找最優(yōu)解法的積極性，實現(xiàn)由“學(xué)會”到“會學(xué)”的過程。