略論小學(xué)數(shù)學(xué)課堂模型思想的滲透
——基于對課例的“層次析出模型”分析

鐘勇為 嵇晨昕 李珠

（1.江蘇大學(xué)教師教育學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013；2.松江區(qū)洞涇學(xué)校，上海 松江 201619）

這個(gè)世界到處充斥著各種模型，人們利用它認(rèn)識社會、改造世界，為人類造福。就學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)而言，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)模型進(jìn)而培植模型思想，是其重要的使命與任務(wù)。何謂數(shù)學(xué)模型？張奠宙教授認(rèn)為泛指“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的概念和數(shù)學(xué)規(guī)律”，微觀而言乃“具體問題中的關(guān)系及其特性的反映”［1］。模型思想作為一種旨在通過建立并分析數(shù)學(xué)模型以解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)思想，早已被世人關(guān)注和重視。早在1989 年，美國科學(xué)院便向國家遞交報(bào)告，明確提出將數(shù)學(xué)建模引入到數(shù)學(xué)教育改革是一項(xiàng)最為急迫的任務(wù)。我國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》亦明確把構(gòu)建模型思想視為學(xué)生體會數(shù)學(xué)和外部世界聯(lián)系的基本途徑。2022 年，數(shù)學(xué)建模首次列入全國高中教學(xué)計(jì)劃。然而，省察當(dāng)下我國數(shù)學(xué)課堂，因教師缺乏模型思想滲透意識與能力而導(dǎo)致學(xué)生建模素養(yǎng)不高的問題，依然較為突出。在此情勢下，尋求實(shí)踐哲學(xué)的指引，從現(xiàn)實(shí)課例中汲取經(jīng)驗(yàn)、培育智慧以滿足基礎(chǔ)教育之所需，便成了業(yè)界的不二選擇。

一、研究背景

我國對數(shù)學(xué)教學(xué)模型思想滲透的研究發(fā)軔于21世紀(jì)初，興于2012 年前后。史寧中、馬云鵬等人基于數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)的關(guān)系所總結(jié)的數(shù)學(xué)模型思想涵義［2］，在業(yè)界反響較大。對于小學(xué)數(shù)學(xué)課堂模型思想滲透存在的問題，如教師對模型思想理解偏狹、學(xué)生對非常規(guī)問題不接納以及應(yīng)用模型思想方法分析和解決問題的意識缺乏［3］，研究界主要?dú)w結(jié)為教師的認(rèn)識誤區(qū)和教學(xué)素質(zhì)低下。對此，徐斌艷教授從學(xué)生心理的發(fā)展特征、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)以及教學(xué)原則等方面，提出了模型思想滲透的可行性原則、主動學(xué)習(xí)與指導(dǎo)學(xué)習(xí)相結(jié)合原則等四大原則［4］。

近十年，國內(nèi)外研究者開始由構(gòu)建宏觀理論轉(zhuǎn)向探究微觀策略，對模型思想滲透的教學(xué)過程提出了不少獨(dú)到的見解。譬如，許衛(wèi)兵的“三字真言”即“磨·?！つА保?］，袁紅的“四階段說”即現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化、模型求解、數(shù)學(xué)建模思想解答和現(xiàn)實(shí)問題解答驗(yàn)證四個(gè)階段［6］，溫迪（Wendy）的“兩流程說”即數(shù)學(xué)角度的建模流程和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方法的建模流程［7］，以及馬塞拉（Marcela）的“問題分類說”即先將數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分類并依此達(dá)成數(shù)學(xué)建模［8］，等等。雖然研究者的闡釋不盡相同，但提出的基本流程大都內(nèi)蘊(yùn)有問題假設(shè)（認(rèn)識模型）、建立模型、解決問題以及檢驗(yàn)等旨趣特征。此外，還有一些研究者就模型思想滲透的策略發(fā)表有不少高見。梳理整合之，大致可歸結(jié)為注重聯(lián)系生活、強(qiáng)化學(xué)生的過程化參與以及提升問題解決的靈活性。

透過眾多理論成果不難發(fā)現(xiàn)，此類研究的基本旨趣是——倡導(dǎo)在數(shù)學(xué)化的過程中滲透模型思想，強(qiáng)調(diào)在講練中增強(qiáng)學(xué)生解決問題的能力。比照基礎(chǔ)教育實(shí)踐需求，現(xiàn)有研究有待進(jìn)一步深化滲透策略研究。優(yōu)秀的課堂教學(xué)實(shí)例，具有良好的示范與引領(lǐng)作用。而且，思維乃行為之導(dǎo)向，教學(xué)行為映射出教師的教學(xué)策略。因而，本文試圖在揭示優(yōu)秀課例中的師生教學(xué)行為基礎(chǔ)上，透析此類行為背后的價(jià)值與運(yùn)思，借此總結(jié)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂滲透模型思想的基本方略。

二、研究設(shè)計(jì)

（一）研究的對象與問題

本研究的對象是《平行與垂直》課例中的模型滲透，該課例在全國第十三屆深化小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革觀摩交流會中榮獲一等獎。之所以選擇其作為研究對象：一是它具有優(yōu)質(zhì)課的品質(zhì)特征，所運(yùn)用的教學(xué)策略具有可借鑒性；二是課例是模型思想在圖形與幾何中的呈現(xiàn)，模型思想滲透意識濃郁。本研究的問題是該獲獎?wù)n例在數(shù)學(xué)模型思想滲透方面有何過人之處以及我們可以從中獲得何種滲透方略啟示。

（二）分析框架：“層次析出模型”

華東師范大學(xué)顧小清教授在弗蘭德斯（Flanders）20 世紀(jì)創(chuàng)建的課堂互動分析系統(tǒng)（FIAS）基礎(chǔ)上進(jìn)行升級改造，研制了基于信息技術(shù)的互動分析編碼系統(tǒng)（ITIAS）。它包括教師行為、學(xué)生行為、沉寂和技術(shù)四大類，內(nèi)含18 個(gè)具體觀察維度。ITIAS 經(jīng)過多次驗(yàn)證與改進(jìn)后，目前已成為國內(nèi)較為成熟的課堂教學(xué)量化分析工具。本研究運(yùn)用ITIAS 分析課例視頻中的教學(xué)行為，旨在為揭示課例如何開展模型思想滲透提供必要支撐。如人所言，“當(dāng)前對教與學(xué)行為的分析多集中在對參與者之間互動的顯性分析，對深度互動的挖掘不夠”［9］。僅有教學(xué)行為的數(shù)據(jù)分析，難以全面達(dá)成對模型思想滲透“秘訣”的揭示。為避免步入“片面化、數(shù)據(jù)中心主義和技術(shù)至上主義”的誤區(qū)，本研究尋求開展“以‘協(xié)同’辯證方法論為基本立場的教育研究”［10］。

從實(shí)踐論角度看，對課堂教學(xué)行為及其技藝（經(jīng)驗(yàn)）的綜合研判與科學(xué)總結(jié)，離不開對教學(xué)三大要素狀態(tài)和教學(xué)任務(wù)與手段運(yùn)用情況的把握。因而，除對教學(xué)行為特點(diǎn)進(jìn)行分析外，還要基于教師素養(yǎng)與模型思想滲透進(jìn)程的內(nèi)在聯(lián)結(jié)，做進(jìn)一步的跨維度融合分析，以還原和揭示教學(xué)行為實(shí)施者的初衷之同時(shí)，從中汲取“意義”進(jìn)而揭示模型思想滲透的可行路徑。由此，我們構(gòu)建了模型思想滲透研究的“層次析出模型”（見圖1）：外環(huán)即行為揭示層，旨在客觀揭示四個(gè)教學(xué)行為的特征；中環(huán)即融合分析層，旨在闡明課例在課堂把控、教材處置和師生互動的應(yīng)然與實(shí)然；內(nèi)環(huán)即方略提煉層，旨在從中環(huán)的融合分析中提煉和總結(jié)滲透方略。上述三個(gè)層次相互關(guān)聯(lián)、層層遞進(jìn)——融合分析層既從行為揭示層獲取事實(shí)與依據(jù)，又同時(shí)為方略提煉層提供價(jià)值與內(nèi)容。其邏輯進(jìn)路體現(xiàn)為一個(gè)由外到內(nèi)、層層析出的過程，故得此模型之名。

圖1 層次析出模型示意圖

（三）研究方法

基于上述分析框架，本研究采用內(nèi)容分析法和經(jīng)驗(yàn)總結(jié)法。前者通過運(yùn)用NVivo 軟件對課例視頻進(jìn)行客觀、系統(tǒng)和定量的描述，以揭示課例教師行為的特點(diǎn)及其“智慧”之處。具體而言：首先，建立項(xiàng)目，導(dǎo)入、轉(zhuǎn)錄課例視頻，采用三秒一段的拆分方式，將內(nèi)容進(jìn)行細(xì)化處理。本視頻時(shí)長為41 分24 秒，最終被拆分成828 個(gè)教學(xué)片段；其次，對數(shù)據(jù)進(jìn)行節(jié)點(diǎn)編碼，即對視頻進(jìn)行解釋說明；再次，對編碼進(jìn)行整合，導(dǎo)出數(shù)據(jù)，并基于ITIAS 繪制表格，進(jìn)行共時(shí)態(tài)分析；最后，從動態(tài)維度對課例的進(jìn)程進(jìn)行歷時(shí)態(tài)分析，揭示模型思想滲透的設(shè)計(jì)與流程。后者體現(xiàn)在——對視頻觀察、日常積累的關(guān)于模型思想滲透的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，做出理性的概括與提煉并進(jìn)行必要的論證，以形成具有普遍指導(dǎo)意義的模型思想滲透方略。

三、結(jié)果分析：課例教學(xué)行為的實(shí)然狀況

（一）靜態(tài)斷面掃描：教學(xué)行為的共時(shí)態(tài)分析

ITIAS 顯示，教師行為占比約54%，學(xué)生行為占比為25%，而沉寂和技術(shù)分別占15%和6%左右，從時(shí)長上可判斷教師注重指導(dǎo)。教師行為主要集中在講授和總結(jié)部分。教師接受情感行為主要是師生間的問好，起到融洽氣氛、拉近師生距離的作用。教師認(rèn)可或復(fù)述學(xué)生的觀點(diǎn)等采納意見行為共出現(xiàn)49 次，約占教師行為總數(shù)的11%。提問行為共發(fā)生143 次，提問開放性問題與提問封閉性問題在其中的占比大致相當(dāng)。講授行為共發(fā)生101 次，占教師行為總數(shù)的23%，整個(gè)教學(xué)過程的12%左右。指示行為的占比與講授行為基本持平。由此可推斷，課例教師較為注重精講和促進(jìn)學(xué)生思考。

學(xué)生行為出現(xiàn)了207 次，尚不及教師行為的一半，且發(fā)生頻率起伏較大。從應(yīng)答行為看，被動回答共出現(xiàn)140 次。而主動回答只有46 次，主動提問欠缺，說明學(xué)生主要是跟隨教師的引導(dǎo)進(jìn)行思考。學(xué)生回答問題的行為發(fā)生頻率高于教師提問行為的頻率，表明學(xué)生能較快地掌握所學(xué)新知，從側(cè)面反映出學(xué)生上課的集中程度、聽課效率以及思維參與度較好。

沉寂（行為）共發(fā)生123 次，約占整個(gè)行為的15%，且變化波動明顯。其中，無助教學(xué)的混亂共出現(xiàn)27 次，除學(xué)生回答問題時(shí)話筒傳遞導(dǎo)致的停頓外，還發(fā)生在教師提問后學(xué)生出現(xiàn)的短暫“靜默”狀態(tài)，說明無助教學(xué)的混亂在此不是真正的混亂。思考行為共發(fā)生37 次，主要表現(xiàn)為教師提問之后的靜思以及同伴答問的判斷。練習(xí)行為共發(fā)生59 次，約占沉寂行為總數(shù)的一半。練習(xí)在此主要是檢測學(xué)生對模型的認(rèn)識情況和促進(jìn)學(xué)生對模型的理解與掌握。

技術(shù)行為主要反映技術(shù)與教學(xué)之間的聯(lián)結(jié)，共發(fā)生52 次，在四大類行為中占比最低（約6%）。但教師操作技術(shù)在其中占多數(shù)（41 次），表明該教師具有將技術(shù)融入學(xué)科教學(xué)的意識，并具有一定的實(shí)操行為，在一定程度上起到提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、促進(jìn)學(xué)生掌握知識以及幫助學(xué)生化抽象為具體（刻畫模型結(jié)構(gòu)）的作用。

將上述四種行為在單位時(shí)間的變化情況，經(jīng)過處理放置在同一折線圖中（見圖2），可發(fā)現(xiàn)其在單位時(shí)間內(nèi)的動態(tài)變化特征：其一，教師行為與學(xué)生行為之間的變化基本趨同，表明師生的互動較為頻繁，并形成了師生雙向互動的態(tài)勢；其二，教師行為與沉寂的動態(tài)特征呈現(xiàn)出此消彼長態(tài)勢，表明教師的教與學(xué)生的學(xué)具有一定交換性和動變性，不僅僅局限于教師的教；其三，學(xué)生行為和沉寂的變化具有一致性，折射出教師在教學(xué)中注重學(xué)生的主體性地位；其四，技術(shù)行為與言語行為（包括教師行為和學(xué)生行為）的變化亦呈此消彼長態(tài)勢，側(cè)面反映出技術(shù)行為在一定程度上起到了輔助教學(xué)的作用。

圖2 四種行為單位時(shí)間變化對比圖

（二）動態(tài)流程透視：教學(xué)行為的歷時(shí)態(tài)省察

如果說對教學(xué)行為的共時(shí)態(tài)分析，可以揭示教師在師生角色地位、互動方式以及技術(shù)運(yùn)用等問題的認(rèn)識與處置。那么，對教學(xué)行為的歷時(shí)態(tài)直描，則可以更全面地了解教師在模型思想滲透的舉措及其所折射出的運(yùn)思與“智慧”。課例的教學(xué)過程大致分為四個(gè)階段。

1.情境導(dǎo)入：創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入模型

課例伊始，教師問學(xué)生：“同學(xué)們在生活中見過平行和垂直嗎？”這個(gè)提問的作用有二：一是促進(jìn)學(xué)生將生活與數(shù)學(xué)進(jìn)行聯(lián)系，形成“數(shù)學(xué)與生活是密不可分或數(shù)學(xué)來源于生活”的意識；二是激發(fā)學(xué)生的自主思考，積極地從已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)中搜尋信息。在學(xué)生短暫思考后，教師繼而提問：“你是怎樣理解平行和垂直的？”引導(dǎo)學(xué)生將自己所理解的平行和垂直畫出來，并將部分同學(xué)的作品進(jìn)行展示。經(jīng)過學(xué)生獨(dú)立的思考與操作，在教師尚未講解的情況之下，學(xué)生初步感知平行與垂直的模型概念與結(jié)構(gòu)，為后期深層次學(xué)習(xí)模型打開通道。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生對所理解的平行與垂直進(jìn)行歸納、總結(jié)，以培養(yǎng)其用數(shù)學(xué)語言、符號表達(dá)數(shù)學(xué)模型的意識和習(xí)慣。

2.合作探究：點(diǎn)撥導(dǎo)學(xué)，構(gòu)建模型

讓學(xué)生初步感知模型后，教師引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)書本知識，發(fā)現(xiàn)與之前理解的不同之處，并做出相應(yīng)的糾錯。此舉有利于培育學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、自主學(xué)習(xí)的能力，還有助于幫助其了解模型的具體概念及核心特征。在學(xué)生初步建立模型結(jié)構(gòu)后，接著教師與學(xué)生一同概括：“平行”指的是兩條不相交的直線，用“∥”表示，讀作a 平行于b，可以用a 平行于b、b 平行于a 以及a 與b 互相平行三種方式表示。在強(qiáng)化這些基本知識后，教師繼而出示一幅圖，讓學(xué)生進(jìn)行評價(jià)。通過教師的點(diǎn)撥與講解，學(xué)生再次理解平行的含義，并掌握“直線是可以無限延伸的”這一知識點(diǎn)，在辨析中逐漸加深對模型結(jié)構(gòu)特征的掌握。對于垂直部分的教學(xué)，亦基本與平行相似，通過一問一答的方式引導(dǎo)學(xué)生對垂直進(jìn)行學(xué)習(xí)，包括垂直的定義、表示、讀法和寫法。

3.練習(xí)鞏固：問題探究，應(yīng)用模型

當(dāng)學(xué)生學(xué)會從問題條件中歸納數(shù)學(xué)信息并構(gòu)建模型之后，為鞏固所學(xué)的模型，教師開始指引學(xué)生練習(xí)并利用模型進(jìn)行并探究、解決實(shí)際問題。首先，讓學(xué)生觀察課件中所展示的立體圖形，要求指出其中的平行線和垂直線；隨后，引導(dǎo)學(xué)生將注意力集中在教室這個(gè)空間，將立體圖形和教室空間進(jìn)行結(jié)合，再次引導(dǎo)學(xué)生說出教室里隱藏的平行線和垂直線；接著，教師利用習(xí)題的講練，解釋平行的前提條件：在同一平面內(nèi)。不難發(fā)現(xiàn)，教師在滲透數(shù)學(xué)模型時(shí)，注重與其他數(shù)學(xué)知識的結(jié)合（如立體幾何）。事實(shí)也應(yīng)如此，數(shù)學(xué)模型意識的培養(yǎng)或滲透，離不開學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識、空間觀念等素養(yǎng)的支撐與輔助。進(jìn)言之，學(xué)生從認(rèn)識模型到應(yīng)用模型的過程，亦是其感受數(shù)學(xué)模型應(yīng)用價(jià)值和數(shù)學(xué)文化的過程。

4.小結(jié)拓展：歸納總結(jié)，驗(yàn)證模型

在應(yīng)用模型的基礎(chǔ)上，教師首先通過系列提問，引導(dǎo)學(xué)生對平行和垂直進(jìn)行分類和歸納，總結(jié)出這兩個(gè)模型應(yīng)用的范圍與類型；其次，通過多媒體課件展示生活中的平行與垂直，并通過一句“希望同學(xué)們課后帶著數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界”，來幫助學(xué)生建立模型應(yīng)用的意識，將模型帶入生活之中；最后，通過詢問學(xué)生教學(xué)體會，借此呼吁學(xué)生“帶著自己的收獲回到自己的課堂”，由此表達(dá)用生活驗(yàn)證、解釋模型之愿望。

四、討論：模型思想滲透要面對的幾對關(guān)系

模型思想滲透彰顯教師對教學(xué)進(jìn)程、教材內(nèi)容等要素的處置。事實(shí)上，任何教學(xué)要素其范疇內(nèi)部都存有若干不同的甚至相互對立的關(guān)系因子，需要我們加以認(rèn)識并妥善處理。對于數(shù)學(xué)課堂模型思想滲透這么一項(xiàng)頗具挑戰(zhàn)性的教學(xué)微觀活動，至少要面對如下三對關(guān)系。

（一）課堂把控的“收”與“放”

課堂教學(xué)的“放”“收”平衡問題，可謂一直困擾著一線教師。小學(xué)數(shù)學(xué)課堂模型思想滲透亦有此困：一方面，課堂需要“收”即注重知識歸納與綜合，以高效引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)語言表達(dá)特定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；另一方面，“收”得過緊又不利于學(xué)生激活思考、培育創(chuàng)造性思維能力，故而需要放手讓學(xué)生獨(dú)立思考、積極探索，但又不能任其自流、天馬行空。合理的做法是尋求“收”“放”有度、“收”“放”有方。

“收”“放”有度意味著教師能適時(shí)地把主動權(quán)交給學(xué)生，讓其充分發(fā)揮主動性和創(chuàng)造性。鑒于小學(xué)生身心特點(diǎn)、學(xué)習(xí)特征及模型思想滲透要求，教師行為占比不宜超過70%，且其中的講授行為不宜超過教師行為的一半。在本課例，教師行為占比較為合理，講授行為也不多（僅占教師行為的23%）。學(xué)生或獨(dú)立思考，或參與討論，似亂非亂，多數(shù)能自覺地在條件框架與問題情境下，尋求解決問題的方法和路徑。一旦發(fā)現(xiàn)學(xué)生觀點(diǎn)、思路有誤或游離主題，教師須及時(shí)點(diǎn)撥、引導(dǎo)，給予扶持式的“收”以聚焦升華主題。因而，課堂看似“收”得嚴(yán)實(shí)，但教師點(diǎn)撥有方、導(dǎo)學(xué)得體，促成了學(xué)生心智活動真正地“放”。

“放”是手段、基礎(chǔ)，“收”是目的、升華。“收”“放”有方意味著教師善于依循數(shù)學(xué)思想滲透的一般流程，巧設(shè)環(huán)節(jié)，靈活開展活動。在導(dǎo)入和分析模型時(shí)，可通過提問、圖片或游戲等創(chuàng)設(shè)情境，誘發(fā)學(xué)生質(zhì)疑、探索，并激活學(xué)生的想象力、轉(zhuǎn)換與構(gòu)造能力和直覺思維，從而為構(gòu)建模型進(jìn)行鋪墊、點(diǎn)撥和導(dǎo)向；在構(gòu)建和應(yīng)用模型時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化，促成“事理”躍升為“數(shù)理”，在思維的聚合與發(fā)散的交替結(jié)合中，求解數(shù)學(xué)問題，解決生活實(shí)際問題。本課例，教師或講授、或沉寂；時(shí)而讓學(xué)生自主想象、練習(xí)展示，時(shí)而提問歸納、指引導(dǎo)學(xué)。正是這一系列靈活的“收”“放”，促成了一個(gè)張弛合宜的模型化過程?？梢姡卸鹊摹胺拧焙瓦m時(shí)的“收”，應(yīng)交替進(jìn)行、融為一體。

（二）教材處置的“破”與“立”

近二十年來，教育界一直呼吁“用教材教”。但將教材內(nèi)容轉(zhuǎn)化為實(shí)用有趣且富有意義的教學(xué)內(nèi)容并非易事。更何況，如崔允漷教授所言，“清晰的目標(biāo)是‘用教材教’的依據(jù)和前提，沒有相對統(tǒng)一的清晰目標(biāo)，倡導(dǎo)‘用教材教’是相當(dāng)危險(xiǎn)的”［11］。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，如何結(jié)合教材內(nèi)容滲透模型思想，在專家編寫的教科書中是找不到明晰的目標(biāo)和路徑的。筆者認(rèn)為，踐行“用教材教”理念，教師應(yīng)尋求有“破”有“立”，“破”“立”結(jié)合。

“破”意味著教師摒棄“教知識”的舊觀念、舊做法。知識僅僅是人類生活中的符號體系，它唯有跟具體情境結(jié)合起來才有價(jià)值。進(jìn)言之，關(guān)涉學(xué)生成長的“硬核”是應(yīng)用知識的智慧而非掌握知識的能力，這也是業(yè)界一直強(qiáng)調(diào)教學(xué)要“授人以漁”的重要緣由。數(shù)學(xué)教學(xué)更是如此。對于絕大多數(shù)人而言，數(shù)學(xué)知識在實(shí)踐中的應(yīng)用極為有限，但包括數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想在內(nèi)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)卻大有用處。數(shù)學(xué)教學(xué)的要旨便是以數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)為手段，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。為此，教師必須摒棄“學(xué)生掌握知識、能做題就行”之類的想法，遠(yuǎn)離知識注入式教學(xué)，注重提升學(xué)生的觀察、抽象、類比、遷移、分析以及綜合等能力，以開啟其智慧、涵養(yǎng)其心性。課例中，教師沒有落入“教知識”的傳統(tǒng)窠臼，而是尋求將生活與數(shù)學(xué)模型聯(lián)系起來，讓學(xué)生充分感知數(shù)學(xué)模型的意義和價(jià)值，這是用知識教的表現(xiàn)。

“立”意味著教師以學(xué)生建模為目的旨?xì)w，樹立和培植轉(zhuǎn)合、活用教材知識的意識與能力。促成學(xué)生用好數(shù)學(xué)知識、形成解題方法論，有賴于教師聚焦建模目標(biāo)，彰顯理解、整合、轉(zhuǎn)構(gòu)和活化教材知識的意識與能力。教師既要引導(dǎo)學(xué)生把不同時(shí)段甚至不同學(xué)科習(xí)得的教材知識，在課堂教學(xué)中進(jìn)行整合與轉(zhuǎn)化，從而構(gòu)建一批數(shù)量可觀、易于理解、包涉面更大的數(shù)學(xué)模型與范例，又要以身作則指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)知識與思想，去觀照、審視現(xiàn)實(shí)生活中的問題，彰顯整合思維、化歸思維與和合思維，從而擴(kuò)充模型來源素材的同時(shí)，促成模型注“我”。課例小結(jié)拓展部分，教師通過課件和號召性言語，將學(xué)生的生活世界與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)行聯(lián)結(jié)，較好地體現(xiàn)并詮釋了“模型來源于生活，服務(wù)于生活”的特征與內(nèi)涵。

（三）師生互動的“深”與“淺”

葉瀾教授曾指出：“教學(xué)過程的內(nèi)在邏輯應(yīng)當(dāng)是多向互動、動態(tài)生成，教師與學(xué)生之間是一種對話、合作與溝通的關(guān)系。”［12］師生之間的對話與合作所形成的互動性影響，對于教學(xué)的順利開展、教學(xué)質(zhì)量的提升意義顯要。如合理地提問，可有效地在師生之間建立起互動的紐帶。然而，如前所述，學(xué)生主動提問和同伴討論缺乏，且主動回答不及整個(gè)教學(xué)行為的6%，是否說明課例教師不注重互動行為或者說互動失敗了呢？筆者并不那么認(rèn)為，因?yàn)槭軙r(shí)間與教學(xué)任務(wù)所限，課堂實(shí)踐中的師生互動行為必然是有“深”有“淺”，關(guān)鍵要看實(shí)際效果。而師生互動行為的成效受制于互動方式的豐富性與層次性，更取決于互動內(nèi)容的開放性與深刻性。

淺層次的互動行為主要存在于教師接受情感、鼓勵表揚(yáng)以及師生簡單的問答層面，此類行為達(dá)成活躍學(xué)習(xí)氣氛、激發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī)以及串聯(lián)教學(xué)環(huán)節(jié)的功效即可，不必在此“濃墨重彩”。但互動方式的豐富性和層次性要予以保證。豐富性意味著問答、練習(xí)和討論這傳統(tǒng)“三大件”盡可能齊全，有時(shí)還得增加表演、游戲等互動方式。層次性意味著提問和練習(xí)設(shè)計(jì)具有多維性、層次感。課例中的互動便較好地體現(xiàn)了層次性。如學(xué)生做練習(xí)分成了三個(gè)部分，由淺入深，類型豐富多樣，為學(xué)生理解模型、運(yùn)用模型解決問題奠定了基礎(chǔ)。鑒于小學(xué)生認(rèn)知能力與思維特點(diǎn)，模型思想滲透應(yīng)彰顯“層層剝筍”特點(diǎn)，提問與課堂練習(xí)設(shè)計(jì)的層次性不容輕視。

深層次的互動主要體現(xiàn)并有賴于互動內(nèi)容的開放性和深刻性。開放性意指所提問題和練習(xí)內(nèi)容具有明顯的發(fā)散性和綜合性，能引發(fā)和促進(jìn)學(xué)生多維思考、多技能參與和綜合學(xué)力歷練。課例教師針對學(xué)生的回答，引導(dǎo)學(xué)生對書本內(nèi)容進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，比較和探查自己所理解的平行和垂直有何不足，便體現(xiàn)了開放性特點(diǎn)。深刻性意指講授、所提問題和練習(xí)內(nèi)容具有較強(qiáng)的拓展性和啟迪性，能幫助學(xué)生建立模型，并將自己所理解的模型用以解決實(shí)際問題。省察課例滲透“平行與垂直”模型之過程，不啻為一種以問題解決為目標(biāo)指向的變式訓(xùn)練、學(xué)生思維拓展訓(xùn)練，其互動的深刻性不言而喻。

五、結(jié)論與啟示

（一）主要發(fā)現(xiàn)

整合并提煉前述研討的“意義碎片”發(fā)現(xiàn)，課例在促成模型思想滲透方面教學(xué)得法、成效明顯，并彰顯出如下特點(diǎn)。

1.數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)內(nèi)容設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)化不僅是模型思想滲透的要求，而且是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的終極目標(biāo)。課例教師善于構(gòu)建生活與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)結(jié)，從背景材料、問題設(shè)計(jì)和思維拓展這三個(gè)維度對學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，教材處置“破”“立”結(jié)合，尋求“生活問題數(shù)學(xué)化”。這種運(yùn)用數(shù)學(xué)語言分析問題、探究規(guī)律的綜合設(shè)計(jì)，促成了學(xué)習(xí)內(nèi)容生活化的同時(shí)，讓數(shù)學(xué)問題“原型化”，有利于學(xué)生培養(yǎng)符號意識、問題意識，體會數(shù)學(xué)模型對現(xiàn)實(shí)世界的描摹與反映，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，進(jìn)而有助于學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型思想解決實(shí)際問題。

2.過程化的學(xué)生主體參與

學(xué)生作為模型思想滲透的主體，唯有其自主性、能動性和創(chuàng)造性受到激發(fā)，才能激趣、化難和啟智。課例教師為促成學(xué)生實(shí)現(xiàn)直觀與抽象的相互轉(zhuǎn)化，其提問、講授和練習(xí)設(shè)計(jì)等，都尋求彰顯學(xué)生的主體性和參與性——不僅內(nèi)容貼近學(xué)生的生活世界，注重師生互動方式的豐富性與層次性和互動內(nèi)容的開放性與深刻性，而且還善于引導(dǎo)學(xué)生主動地建構(gòu)知識，從數(shù)學(xué)問題中歸納模型、建立模型，從而讓教學(xué)成為一個(gè)學(xué)生全程參與和深切體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)問題、求解問題和應(yīng)用問題的過程。

3.有序化的教學(xué)進(jìn)程把控

中小學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)尚不厚實(shí)，對其進(jìn)行模型思想滲透須遵循由淺入深，從概念理解到靈活變換的順序邏輯。課例教師不但善于運(yùn)用問答法和演示法，依循學(xué)生的身心發(fā)展特點(diǎn)和現(xiàn)有水平基礎(chǔ)，安排適量的教學(xué)內(nèi)容和合理的思考時(shí)間，促成四大教學(xué)行為交替發(fā)生、有序開展。而且，還深諳數(shù)學(xué)建模之道，對于模型思想滲透進(jìn)程掌控自如，“收”“放”有方——在學(xué)生初次認(rèn)識模型時(shí)，注重概念辨析和特征揭示，以幫助其把握模型的基本結(jié)構(gòu)與旨趣；在學(xué)生理解模型后，則逐漸加深問題的復(fù)雜性、靈活性和發(fā)散性。

（二）滲透方略啟示

模型思想滲透是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)永恒的主題，是個(gè)技術(shù)活、系統(tǒng)活。教師須不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化滲透策略，以免讓模型思想滲透落入低效難為的窘境。基于課例啟示并按照數(shù)學(xué)建模的一般流程，我們提出如下小學(xué)數(shù)學(xué)課堂模型思想滲透方略。

1.背景材料生活化。認(rèn)識模型作為模型思想滲透的第一步驟，需要教師創(chuàng)設(shè)必要的意義背景，尋求背景材料生活化。背景材料生活化有兩方面的意蘊(yùn)：一是所設(shè)立的問題來源于學(xué)生的生活世界，契合學(xué)生認(rèn)知；二是所創(chuàng)設(shè)的主題情境生活化，契合生活常態(tài)。背景材料生活化，便于對學(xué)生進(jìn)行多維啟發(fā)、綜合陶冶，這種烘托與鋪墊利于其發(fā)現(xiàn)問題、認(rèn)識模型。當(dāng)然，教師提供的背景材料可不完全源自學(xué)生的真實(shí)生活事件，模擬可操作的生活性事件、學(xué)生認(rèn)知發(fā)展到一定階段后所產(chǎn)生的內(nèi)在邏輯需要等，都可成為素材。

2.圖式構(gòu)建兼容化。在分析模型這一階段，需要促成學(xué)生構(gòu)建與模型相兼容的思維圖式，以準(zhǔn)確把握模型核心特征。教師要兼顧學(xué)生思維特點(diǎn)與數(shù)學(xué)模型特征，巧妙設(shè)計(jì)、耐心鋪墊和精心指引。最為緊要的是通過一系列包涉性與延展性俱佳的操作，增進(jìn)學(xué)生對問題的理解以達(dá)成其對模型的兼容，即深度把握和完整表達(dá)模型。學(xué)生構(gòu)建與模型相兼容的思維圖式，有賴于其彰顯模型感受意識、問題表征與理解意識，這絕非一蹴而就之事。“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)文化的教學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)”［13］。鑒于模型的抽象性、圖式構(gòu)建的復(fù)雜性以及小學(xué)生思維的直觀性和簡單性，教師要給予學(xué)生足夠的精神自由與思維空間，讓其浸淫于“數(shù)學(xué)文化”去感悟、碰撞與兼容，從而增強(qiáng)思維轉(zhuǎn)化能力進(jìn)而培植模型思維。

3.模型建構(gòu)參與化。美國泰德·霍奇森（Ted Hodgson）等人的數(shù)學(xué)建模過程特征圖表明，“現(xiàn)實(shí)問題情境是對系統(tǒng)地闡述問題的簡化，而系統(tǒng)地闡述問題是對現(xiàn)實(shí)情境的檢驗(yàn)”［14］。系統(tǒng)地闡述問題實(shí)際上是一種建立模型以解釋、解決問題的數(shù)學(xué)化過程。過程參與是學(xué)生實(shí)現(xiàn)從問題情境中抽象出模型的前提與要求，做好下面兩點(diǎn)比較重要：一是充分保障學(xué)生的主體地位，引導(dǎo)和助推同伴交流與互動，取長補(bǔ)短。學(xué)生生成所需的系列化、結(jié)構(gòu)化思維，固然離不開教師的指導(dǎo)，但生生之間的“辯論”亦不可或缺。它可以快速地促使學(xué)生意識到自身的不足，提取自己所缺失的那部分信息，從而有利于其完整的認(rèn)識模型；二是引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)化的眼光去審視、表達(dá)問題。教師既要善于指導(dǎo)學(xué)生通過觀察和思考問題情境，從中捕捉到可操作的數(shù)學(xué)信息和數(shù)學(xué)符號。又要巧妙引導(dǎo)學(xué)生概括模型結(jié)構(gòu)，嘗試用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行總結(jié)和表達(dá)，以提升其數(shù)學(xué)化意識進(jìn)而培育其模型思想。

4.問題解決變式化。模型思想滲透的最終結(jié)果是應(yīng)用模型，即將靜態(tài)的模型思想轉(zhuǎn)變成動態(tài)的、數(shù)學(xué)化的思維過程和解決思路。要實(shí)現(xiàn)這樣的轉(zhuǎn)變，進(jìn)行相關(guān)問題訓(xùn)練是理所應(yīng)當(dāng)?shù)模阂皇菍で笳蠢C的交替運(yùn)用?？隙ǖ睦C能夠從正面為學(xué)生提供證明，以直接明了的方式告知學(xué)生所用模型的類型，學(xué)生能夠快速從所學(xué)知識中提取信息、解決問題。否定例證則能夠從變化的角度促進(jìn)學(xué)生對所用模型的核心特征加以理解和鞏固，以不變應(yīng)萬變。交替運(yùn)用正反兩種問題思路，可幫助學(xué)生透過表面解讀深層次的表達(dá)含義，從而有效提升其對所學(xué)模型的認(rèn)識與理解；二是增強(qiáng)各種變式訓(xùn)練。正反例證利于輔助學(xué)生概念學(xué)習(xí)，而變式訓(xùn)練則利于促進(jìn)學(xué)生問題解決能力的提升。教師要有目的、有計(jì)劃地組織一題多變、一題多解和一模多用等習(xí)題訓(xùn)練，使其看到問題想到相關(guān)知識、模型，看到知識、模型想到相關(guān)問題，從而拓展學(xué)生的多向思維，培養(yǎng)其全方位、多層次分析與解決問題的能力。

國際之間的綜合國力競爭，歸根結(jié)底是教育尤其是基礎(chǔ)教育之間的競爭。在國際競爭愈發(fā)倚重科技創(chuàng)新的當(dāng)下，筆者探討小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想滲透問題，唯愿有關(guān)部門和人員對此愈加重視，切實(shí)改進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，積極提升小學(xué)生運(yùn)用模型思想解決實(shí)際問題的能力，為這波“后浪”的奔涌推波助瀾。